Уравнения, содержащие модули.

Использование равносильных преобразований

1.1. Уравнение вида

Рассмотрим простейшее уравнение вида:

где число.

Если то решений нет.

Если то .

Если то или .

Примеры.

Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

Решение:

а)

или .

б)

, то уравнение решений не имеет.

в)

г)

или

д)

или

е)

или

ж)

нет решений.

Ответ: а)

б) нет решений

в) 1,4

г)

д) 2; 12

е)

ж) нет решений

1.2. Уравнение вида

Примеры.

Решите уравнения:

а)

б)

Решение:

а)

б)

или

Ответ: а)

б) .

1.3. Уравнение вида

Примеры.

Решите уравнения:

а)

б) .

Решение:

а)

Запишем уравнение в виде ,

Получили уравнение вида

Оно равносильно неравенству:

Данное уравнение можно было бы решить иначе, используя свойство модуля:

тогда уравнение примет вид:

Получили уравнение вида

б)

Уравнение равносильно неравенству

Ответ: а)

б)

1.4. Уравнение вида

Рассмотрим уравнение:

Решение:

Большое количество ошибок при решении задач этого типа вызвано тем, что учащиеся, освобождаясь от модуля, забывают учесть условия, при которых модуль был раскрыт с тем или иным знаком.

Рассмотрим первый случай, когда Тогда модуль в левой части уравнения раскрывается со знаком «+», то есть уравнение примет вид:

Поскольку (верно), то значение является корнем данного уравнения.

Во втором случае . Тогда модуль раскрывается со знаком «-», и исходное уравнение переписывается в виде:

Поскольку значение не удовлетворяет условию (8+2=10, 10<0 неверно), то оно не является корнем уравнения.

Ответ: .

Уравнение вида можно решать двумя способами. Первый, стандартный, основан на раскрытии модуля, исходя из его определения, и заключается в переходе к совокупности (объединению) двух систем:

Именно этим способом был решен выше приведенный пример.

Второй способ состоит в переходе от исходного уравнения к равносильной системе:

Первый способ рациональнее применять в случае сложного выражения для функции и не очень сложного для функции Второй способ удобнее использовать, если выражение для функции не сложно.

Пример.

Решите уравнение:

Решение:

В нашем случае

Выражение для функции «проще», используем второй способ решения. Для этого запишем систему, равносильную исходному уравнению:

имеет корни

Уравнение решений не имеет.

Оба корня удовлетворяют неравенству

Ответ:

Решив уравнение первым способом, можно убедиться, что в этом случае он менее рационален.

1.5. Уравнение вида

Пример.

Решите уравнение:

Решение:

В нашем случае

Тогда исходное уравнение будет равносильно системе:

Ответ:

1.6. Уравнение вида

Пример.

Решите уравнение:

Решение:

Заметим, что

Тогда уравнение будет равносильно системе:

Ответ:

1.7. Уравнение вида

Пример.

Решите уравнение:

Решение:

Так как при любых , то исходное уравнение равносильно системе

Ответ: 2.

Полезно знать, что

Покажем, как можно решить уравнение Перейдем к равносильной системе уравнений:

Ответ: 0.

1.8. Уравнение вида

.

Пример.

Решите уравнение:

Решение:

В нашем случае

.

Уравнение будет равносильно неравенству:

Ответ:

1.9. Уравнение вида .

Пример.

Решите уравнение:

Решение:

Уравнение равносильно неравенству:

Разделим обе части неравенства на 6

Ответ:

1.10. Уравнение вида .

Уравнение равносильно объединению уравнений:

Примеры.

Решите уравнения:

а)

б)

Решение:

а)

б)

Решим каждое уравнение совокупности:

Первое уравнение имеет корни .

Для второго уравнения найдем дискриминант D=

Его корни

Ответ: а) 0; 1

б) 1; 6