Конспект урока 'Применение различных способов разложения на множители'

Тема урока: Применение различных способов для разложения на множители.

Цель урока: научить учащихся разложить многочлен на множители, применив последовательно несколько способов разложения (вынесение общего множителя за скобки, группировка членов, формулы сокращенного умножения); развивать логическое мышление, самостоятельность, умение рассуждать.

Оборудование:

1. Алгебра: Учебник для 7 класса общеобразовательных организаций / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. - 5-е изд. - М.: Просвещение, 2015. - стр. 186 - 190.

2. Электронное приложение к учебнику «Алгебра - 7»

3. Таблицы 20 - 22.

№ 20. Формулы сокращенного умножения.

№ 21. Разложение на множители (лист 1).

№ 22. Разложение на множители (лист 2).

Литература:

1. Звавич Л. И. и др. Дидактические материалы по алгебре для 7 класса /Л. И. Звавич, Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1995. - стр. 43 - 44.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С. Сборник задач и контрольных работ по алгебре для 7 класса. - М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1999. стр. 37.

План урока

1. Повторение

   1. формулы сокращенного умножения:

a² + 2ab +b² = (a + b)²;

a² - 2ab + b² = (a - b)²;

a² - b² = (a - b)(a +b);

a³ + b³ = (a +b)(a²- ab +b²);

a³ - b³ = (a - b)(a² +ab +b²).

2. Вынесите общий множитель за скобки:

а) 7a +7b; б)16y³ - 12y²; в) - 3b(b - 2) + 7(b -2)².

3) Разложите на множители многочлен:

ab - 2b + 3a - 6.

4) Представьте трехчлен в виде квадрата трехчлена: 4х² + 12х + 9

2. Объяснение нового материала.

Пример 1.

Разложить на множители многочлен 10а³ - 40а.

Пример 2.

Разложить на множители многочлен 18 х³ + 12 х² + 2х.

3. Закрепление. № 934, 937, 939, 940, 949.

4. Подведение итогов урока.

5. Домашнее задание: п. 38, № 936, 938, 941.

Ход урока.

Учитель. Ребята, давайте повторим пройденный материал. Вспомните, пожалуйста, формулы сокращенного умножения. (Ученики по очереди записывают на доске формулы).

a² + 2ab +b² = (a + b)²;

a² - 2ab + b² = (a - b)²;

a² - b² = (a - b)(a +b);

a³ + b³ = (a +b)(a²- ab +b²);

a³ - b³ = (a - b)(a² +ab +b²).

Задание 1. Вынесите общий множитель за скобки:

а) 7a +7b; б)16y³ - 12y²; в) - 3b(b - 2) + 7(b -2)².

Решения: а) 7a + 7b = 7(a + b);

б) 16y³ - 12y² = 4y²(4y - 3);

в) - 3b(b - 2) + 7(b - 2) = (b - 2)(- 3b + 7).

Задание 2. Разложите на множители многочлен:

ab - 2b + 3a - 6.

Сгруппируем его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель:

ab - 2b + 3a - 6 = (ab - 2b) +( 3a - 6).

В первой группе вынесем за скобки множитель b, а во второй множитель 3:

(ab - 2b) + (3a - 6) = b(a - 2) + 3(a - 2).

Каждое слагаемое получившегося выражения имеет множитель а - 2,

вынесем этот общий множитель за скобки:

b(a - 2) + 3(a - 2) = (a - 2)(b +3).

Итак, ab - 2b + 3a - 6 = (a - 2)(b +3).

Задание 3. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена:

4х² + 12х + 9.

Первое слагаемое представляет собой квадрат выражения 2х, третье - квадрат числа 3. Так как второе слагаемое равно удвоенному произведению 2х и 3, то этот трехчлен можно представить в виде квадрата суммы 2х и 3:

4х² + 12х + 9 = (2х)² + 2·2х·3 + 3² = (2х + 3)².

Учитель. Для разложения многочленов на множители мы применяли вынесение общего множителя за скобки, группировку, формулы сокращенного умножения. Сегодняшняя тема является обобщающей. Откройте тетради, записывайте число и тему урока. Иногда удается разложить многочлен на множители, применив последовательно несколько способов. Заметим, что начать преобразование следует, если это возможно, с вынесения общего множителя за скобки.

Пример 1. Разложить на множители многочлен 10а³ - 40а. члены этого многочлена имеют общий множитель 10а. вынесем этот множитель за скобки:

10а³ - 40а = 10а(а² - 4).

Разложение на множители можно продолжить, применив к выражению а² - 4 формулу разности квадратов. В результате получим в качестве множителей многочлены более низких степеней.

Имеем: 10а(а² - 4) = 10а(а + 2)(а - 2).

Значит, 10а³ - 40а = 10а(а + 2)(а - 2).

Пример 2. Разложить на множители многочлен

18 х³ + 12 х² + 2х.

Все члены многочлена имеют общий множитель 2х. вынесем его за скобки: 18 х³ + 12 х² + 2х = 2х (9х² + 6х + 1).

Трехчлен 9х² + 6х +1 можно представить в виде квадрата двучлена:

9х² + 6х +1 = (3х + 1)².

Итак, 18 х³ + 12 х² + 2х = 2х(3х + 1)².

Открыли учебники, решаем № 934.

(Ученики по очереди выполняют задание на доске)

1. 5x² - 5y² = 5( x² - y²) = 5( x - y)(x + y);

б) am² - an² = a(m² - n²) = a(m - n)(m + n);

в) 2ax² - 2ay² = 2a(x² - y²) = 2a(x -y)(x +y) и т.д.

№ 937. Докажите тождество:

a³ - b³ = (a - b)(a +b)(a² +b²)(a¹ + b¹).

Решение: a³ - b³ = (a¹)² - (b¹)² = (a¹ - b¹)(a¹ + b¹) =

= ((a²)² - (b²)²)(a¹ +b¹) = (a² - b²)(a² + b²)(a¹ + b¹) =

= (a - b)(a + b)(a² +b²)(a¹ +b¹).

№ 939. Чтобы разложить на множители сначала надо выносить общий множитель за скобки, затем применить формулы сокращенного умножения.

а) 3х² + 6ху + 3у² = 3(х² + 2ху + у²) = 3( х + у)²;

б) - m² + 2m - 1 = - (m² - 2m + 1²) = - (m - 1)²;

в) - 4x - 4 - x² = - (2² + 2·2x + x²) = - ( 2 + x)² ;

г) 6p² + 24q² + 24 pq = 6(p² + 4q² + 4pq) = 6(p² + 2p·2q + (2q)²) =

= 6(p +2q)²;

д) 45x + 30 ax + 5a²x = 5x(9 + 6a +a²) = 5x(3² + 2·3a + a²) = 5x(3 +a)²;

е) 18 cx² - 24cx + 8c = 2c( 9x² - 12x + 4) = 2c((3x)² - 2·3x·2 + 2²) =

= 2c(3x - 2)².

№ 940. Разложить на множители выражение х⁶ - у⁶, представив его в виде:

а) разности квадратов; б) разности кубов.

а) х⁶ - у⁶ = (х³)² - (у³)²=((х³) - (у³))((х³) + (у³));

б) х⁶ - у⁶ = (х²)³ - (у²)³ = (х - у)(х² +ху +у²).

№ 949. Решить уравнение:

а) х³ - х = 0, выносим за скобки общий множитель х,

х·(х² - 1) = 0, применяем формулу разности квадратов,

х·(х - 1)·(х + 1) = 0 , произведение равно нулю тогда и только

тогда, когда равно нулю один из множителей,

х = 0, х - 1 = 0, х + 1 = 0,

х = 1, х = - 1.

Ответ: 0; 1; -1.

Пункт б) (учащиеся) решение у доски с комментированием

9х - х³ = 0,

х·( 9 - х²) =0,

х·(3 - х)·(3 + х) = 0,

х = 0, 3 - х = 0, 3 + х = 0,

х = 3, х = - 3,

Ответ : 0; 3; -3.

Учитель: пункт в) решаем вместе х³ + х² = 0,

Выносим за скобки общий множитель х², получим:

х²( х + 1) = 0,

х² = 0, х + 1 = 0

х = 0, х = -1.

Ответ: 0; -1.

Пункт г) решите самостоятельно.

Учитель: (Выставляю оценки особо отличившимся учащимся). Откройте дневники, пишите домашнее задание п. 38, № 936, 938, 941.

Урок окончен, отдыхайте.