Способы решения квадратных уравнений

МАОУ Гимназия № 36

Кафедра математики

СПОСОБЫ

РЕШЕНИЯ

КВАДРАТНЫХ

УРАВНЕНИЙ

Разработала

учитель математики

Гайдук Янина Сергеевна

г. Краснодар

2015

ПРЕДИСЛОВИЕ

Решение квадратных уравнений - очень важная тема для изучения курса математики средней школы. Умение быстро, рационально и правильно решать квадратные уравнения облегчает прохождение многих тем курса математики.

Данное методическое пособие предназначено для учащихся 89 классов. В пособии рассмотрены все типы квадратных уравнений, а также способы их решения: как стандартные, так и способы, не рассмотренные в школьном курсе. На каждый способ приведён пример решения уравнения. Рассмотрен демонстрационный вариант, где для каждого конкретного уравнения указан рациональный способ решения. Также предложены 2 варианта заданий для самостоятельного решения, к которым приводятся ответы.

Цель данного пособия - научить детей решать любое квадратное уравнение, выработать умение выбрать нужный, рациональный способ решения; подготовить к решению уравнений, сводящимся к квадратным.

Способы решения квадратных уравнений:

Уравнение вида ax²+bx+c=0, где a,b,c - числа,a0, называются квадратными.

I. Решение неполных квадратных уравнений.

Квадратное уравнение называется неполным, если хотя бы один из коэффициентов b и c равен 0.

Коэффициент, равный нулю

b=0

c=0

b=0 и c=0

Вид

ax²+c=0

ax²+bx=0

ax²=0

Решение

ax²=-c

x²=-

x(ax+b)=0

x=0 или ax+b=0

x²=0

Корни

Если то корней нет,

Если то

x_1,2=.

x₁=0

x₂=-

x=0

Пример 1

5x²-10=0;

5x²=10;

x²=2;

x=.

Ответ: .

Пример 2

x²+3=0;

x²=-3;

x²=-3

нет корней, т.к. x².

Ответ: корней нет

Пример 3

2x²+5x=0;

x(2x+5)=0;

x=0 или 2x+5=0;

x=-2,5.

Ответ: 0; -2,5.

Пример 4

x²=0;

x²=0;

x=0.

Ответ: 0.

.

II. Решение полных квадратных уравнений.

1. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена.

Вспомним формулы сокращённого умножения: (ab)²=a²2ab+b².

Рассмотрим алгоритм решения квадратных уравнений данным способом на примере x²-6x-7=0;

1) Запишем коэффициент b как произведение двойки на некоторое число: b=2n:

x²-6x-7= x²-23x-7.

2) Число n показывает второе слагаемое в искомом квадрате двучлена: n=3.

Для того, чтобы получить квадрат двучлена, нужно прибавить 3² и одновременно вычесть его:

x²-23x-7= x²-23x+9-9-7.

3) Выделим квадрат двучлена:

x²-6x-7=(x-3)²-16.

4) Решим полученное уравнение:

(x-3)²-16=0;

(x-3)²=16;

x-3=4 или x-3=-4;

x=7 x=-1.

Ответ: 7; -1.

Пример:

x²+8x-1=0;

x²+24х-1=0;

x²+24х+16-16-1=0;

(x+4)²=17;

x+4= или x+4=;

x=-4 x=-4.

Ответ: -4 .

2. Корни уравнения ax²+bx+c=0.

Частный случай №1:

Если a+b+c=0, то x₁=1, x₂=.

Частный случай №2:

Если a + c=b, то x₁=-1, x₂=.

Пример 1

x²-2009x+2008=0;

a=1, b=-2009,c=2008;

a+b+c=1-2009+2008=0, следовательно,

x₁=1, x₂=.

Ответ: 1; 2008.

Пример 2

3x²+4x-7=0;

a+b+c=3+4-7=0, следовательно,

x₁=1, x₂=.

Ответ: 1, .

Пример 1

x²+2000x+1999=0;

a + c=1+1999=2000=b, следовательно,

x₁=-1, x₂=.

Ответ: -1, .

Пример 2

3x²-2x-5=0;

a + c=3-5=-2=b, следовательно,

x₁=-1, x₂=.

Ответ: -1, .

3. Теорема Виета:

Числа x₁ и x₂ - корни приведённого квадратного уравнения x²+px+q=0, тогда и только тогда, если: x₁ + x₂ =-p и x₁ x₂ =q.

Пример 1

x²-5x+6=0;

x₁ + x₂ =5 и x₁ x₂ =6,

следовательно x₁=2 и x₂=3.

Ответ: 2; 3.

Пример 2

x²+3x-10=0;

x₁ + x₂ =-3 и x₁ x₂ =-10,

следовательно x₁=-5 и x₂=2.

Ответ: -5; 2.

4. Метод «переброски» старшего коэффициента.

В некоторых случаях бывает удобно решать сначала не данное уравнение, а уравнение, полученное «переброской» старшего коэффициента a.

Корни квадратных уравнений

связаны соотношением: и .

Пример 1

;

;

;

;

.

Ответ: ; .

Пример 2

;

;

;

;

.

Ответ: ; -.

5. Решение квадратных уравнений, у которых второй коэффициент чётный (через D₁).

Эта формула помогает избежать громоздких вычислений, упрощает процесс нахождения корней, если ax²+bx+c=0, b=2k, где k- целое число. Тогда находим - сокращённый дискриминант ()

Если D₁, то корней нет. Если D₁=0, то один корень.

Если D₁, то два корня: X_1,2=.

Пример 1:

3x²+12x+2=0;

D₁=, следовательно, два корня

X₁=,

X₂= .

Ответ: .

Пример 2:

3x²-8x+5=0;

D₁=, следовательно, два корня

X₁=,

X₂= .

Ответ: 1; .

6. Решение квадратных уравнений по формуле.

ax²+bx+c=0; D=b²-4ac,

Если D, то два корня: X_1,2=

Если D=0, то один корень x=.

Если D, то корней нет

Перед решением уравнения обратить внимание на следующие выводы:

1) Если a , то целесообразно умножить обе части уравнения на -1;

2) Если все коэффициенты квадратного уравнения имеют общий делитель, то целесообразно разделить на него обе части уравнения;

3) Если хотя бы один из коэффициентов квадратного уравнения является дробным, то целесообразно обе части уравнения умножить на такое число, чтобы получилось уравнение с целыми коэффициентами.

Пример 1

12x²+7x+1=0;

a=12, b=7, c=1;

D= 7²-4=1, следовательно, два корня

X₁=,

X₂=.

Ответ: ,.

Пример 2

x²-12x+36=0;

a=1, b=-12, c=36;

D=(-12)²-

-4, следовательно, один корень

x=.

Ответ: 6.

Пример 3

7x²-25x+23=0;

a=7, b=-25, c=23;

D=(-25)²- 4 =

625-644=- 19<0,

следовательно, корней нет.

Ответ: корней нет.

Пример 4

y²-2y+2=0

Умножим обе части уравнения на 2:

y²-4y+4=0

Решим через D₁:

D₁=(-2)²-1=0, следовательно, один корень:

x= .

Ответ: 2.

III. Демонстрационный вариант.

Решить квадратные уравнения наиболее рациональным способом:

1. 5x²+4x-9=0;

Это уравнение легко решить, пользуясь первым частным случаем:

a+b+c=5+4-9=0, следовательно,

x₁=1, x₂=.

Ответ: 1; .

2. x²+7x+12=0;

Это уравнение легко решить, пользуясь теоремой Виета:

x₁ + x₂ =-7 и x₁ x₂ =12, следовательно x₁=-3и x₂=-4.

Ответ: -3; -4.

3. x²-x+=0;

Коэффициенты этого уравнения надо умножить на 9, чтобы все коэффициенты стали целыми числами:

9x²-12x+4=0;

Это уравнение целесообразно решить через D₁:

a=9, b=-12, c=4

D₁=(-12/2)²-94=36-36=0, следовательно, один корень

x==.

Ответ: .

4. -3x²-8x-5=0;

Коэффициенты этого уравнения надо умножить на -1:

3x²+8x+5=0;

a=3, b=8, c=5

Это уравнение целесообразно решить, пользуясь вторым частным случаем:

a + c=-3-5=-8=b, следовательно,

x₁=-1, x₂=.

Ответ: -1; .

5. 3x²-11x-1=0;

a=3, b=-11, c=-1

Это уравнение решаем по формуле:

D=(-11)²-4(-1)= =121+12=133, следовательно, два корня

x₁=, x₂=.

Ответ: .

6. -t²+5t-9=0;

Коэффициенты этого уравнения надо умножить на -1:

t²-5t+9=0;

Это уравнение решаем по формуле:

D=25-4=25-36=-11, следовательно, корней нет.

Ответ: корней нет.

7. 8x²+20x+12=0;

Коэффициенты этого уравнения надо разделить на общий множитель 4:

2x²+5x+3=0;

a=2, b=5,c=3

Это уравнение целесообразно решить, пользуясь вторым частным случаем:

a + c=2+3=5=b, следовательно,

x₁=-1, x₂=.

Ответ: -1; .

8. x²-18=0;

x²=18;

x=;

x=.

Ответ: .

9. 4x²-5x=0;

x(4x-5)=0;

x=0 или 4x-5=0;

4x=5;

x=1,25.

Ответ: 0; 1,25.

10. ;

Умножим обе части этого уравнения на 6, чтобы все коэффициенты стали целыми числами:

3(x²+4)-2(3-x)=6;

3x²+12-6+2x-6=0;

3x²+2x=0;

x(3x+2)=0;

x=0 или 3x+2=0;

x=-.

Ответ: 0; -.

IV. Задания для самопроверки.

I вариант. II вариант.

1. Решите уравнение, выделяя квадрат двучлена:

а) x²+12x+20=0; а) x²+4x-2=0;

б) x²-8x-9=0; б) x²-6x+8=0.

2. Решите квадратное уравнение, применив один из частных случаев:

а) x²-1999x+1998=0; а) x²+2000x-2001=0;

б) 8x²-5x-3=0; б) 100x²-150x+50=0;

в) 4x²+9x+5=0; в) 10x²+13x+3=0.

3. Решите квадратное уравнение, пользуясь теоремой Виета:

а) x²-8x-9=0; а) x²+8x+15=0;

б) x²-2x-15=0; б) x²+7x-8=0;

в) x²-5x+k=0; в) x²+ kx+18=0;

x₁=-3.Найдите k и x₁=3.Найдите k и

второй корень ур-ния. второй корень ур-ния.

4. Решите уравнение методом «переброски»:

5x²+8x+3=0; 3x²-8x-3=0;

5. Решите уравнение по второй формуле (через D₁):

а) 5x²+8x-4=0; а) 5x²+14x-3=0;

б) 7x²+6x-1=0; б) x²-16x+28=0.

6. Решите уравнение по формуле:

а) 2x²+2x+3=0; а) 4x²-4x+1=0;

б) x²-6x+9=0; б) 6x²+3x-1=0.

в) 3x -x²+10=0; в) 2x -x²+3=0;

7. Решите уравнение наиболее рациональным способом:

1) 5x²-4x-1=0; 1) 3x²-7x+4=0;

2) 2x²-x+3=0; 2) 3x²-x+2=0;

3) x²+6=5x; 3) x²+12=7x;

4) 7x²+8x+1=0; 4) 7x²+6x-1=0;

5) 3x²-2x+1=0; 5) x²+8x+16=0;

6) x²-4x-21=0; 6) x²-7x-9=0;

7) x²-4x-=0; 7) x²+x+=0;

8) -8x²-2x+3=0; 8) -2x²+4x-3=0;

9) 9x²+21x+6=0; 9) 10x²-6x+2=0;

10) 4x²=7x; 10) 3x²=5x;

11) 3x²-9=0; 11) 7x²-4=0;

12) (x-2)²=3x-8; 12) (x+3)²=2x+6;

13) (x-5)²-36=0; 13) (x+3)²-18=0;

14) ; 14);

15) . 15) .

Ответы к заданиям для самопроверки.

I вариант.

1. а)-2;-10; б)-1;9.

2. а)1;1998; б)1;-3/8; в)-1;-5/4.

3. а)-1;9; б)-3;5; в)k=-24, x₂=8.

4. -1;-0,6.

5. а)-2;0,4; б)-1;1/7.

6. а) нет корней; б)3; в)-2;5.

7. 1) 1; 0,2;

2) нет корней;

3) 2;3;

4) -1;-1/7;

5) нет корней;

6) -3;7;

7) ;

8) -3/4;1/2;

9) -1/3;-2;

10) 0;7/4;

11) ;

12) 3;4;

13) -1;11;

14) нет корней;

15) 4;3,2.

II вариант.

1. а); б)2;4.

2. а) 1;-2001; б)1;0,5; в)-1;-0,3.

3. а)-5;-3; б)1;-8; в)k=-9, x₂=6.

4. 3;-1/3.

5. а)-3;0,2; б)2;14.

6. а)0,5; б); в)3;-1.

7. 1) 1;4/3;

2) нет корней;

3) 3;4;

4) -1;1/7;

5) -4;

6) ;

7) -1;-0,5;

8) нет корней;

9) нет корней;

10) 0;5/3;

11) ;

12) -1;-3;

13) ;

14) 2;5/6;

15) 2;-2.

2,15,4,13,6,11,8,9

16,1,14,3,12,5,10,7