Урок алгебры где, вы ознакомитесь с понятиями критиче¬ской точки функции, научитесь находить критические точки и точки экстремума функции с помощью ее производной

Зам.Дир по УВР_______________ Утверждаю

№_____ Дата_________

Предмет Алгебра

Класс 10

Тема урока: КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ И ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ

Цели урока: Изучив данную тему, вы ознакомитесь с понятиями критической точки функции, научитесь находить критические точки и точки экстремума функции с помощью ее производной.

Тип урока: Изучения нового материала.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Приветствие учащихся, проверка готовности класса к уроку, организация внимания учащихся, раскрытие общих целей урока и плана его проведения.

2. Этап проверки домашнего задания.

Задачи: Установить правильность, полноту и осознанность выполнения д/з всеми учащимися, выявить пробелы в знаниях и способах деятельности учащихся. Определить причины возникновения затруднений, устранить обнаруженные пробелы.

3.Этап актуализации.

Задачи: обеспечение мотивации учения школьников, включение в совместную деятельность по определению целей урока. Актуализировать субъективный опыт учащихся. №261. Повторить п 3

4. Формирование новых понятий и способов действия.

При исследовании функции и построении ее графика нужно не только уметь определять промежутки возрастания и убывания функций, которые вы научились находить с помощью производной по предыдущему параграфу, а также уметь находить критические точки и экстремумы. С понятием экстремума функции вы ознакомились в § 3.

</ Определение. Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками.

Точками экстремума могут быть только критические точки.

Введем необходимое условие существования экстремума функции.

Теорема. Если точка х₀ является точкой экстремума и в окрестности этой точки функция f (х) имеет производную, то производная в этой точке равна нулю, т.е. f'(x₀) = 0.

Но теорема, обратная этой теореме, не всегда верна, т.е. не обязательно, чтобы всякая критическая точка была точкой экстремума.

Пример 1. Дана функция г/ = лс³ - 1. Найдем производную функции /' (х) = Зх². Решим уравнение f '(х)= 0, тогда Зх² = 0 или х = 0. f (0) = 3 • 0 = 0, но экстремума в этой точке функция не имеет (рис. 57).

Поэтому сформулируем достаточные условия существования экстремума (максимума и минимума).

Теорема. Если функция f(х) в точке х₀ непрерывна, а на интервале (а; х₀)

f '(х) > 0, на интервале (х₀; b) f '(х) < 0, то точка х₀ является точкой максимума.

Теорема. Если функция f (х) в точке х₀ непрерывна, а на интервале (а; х₀) f '(x) < 0, на интервале (х₀; b) f '(x) > 0, то точка х₀ является точкой минимума.

Удобно пользоваться упрощенной формулировкой этого условия: если в окрестности точки х₀ производная функции меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то точка х₀ является точкой максимума (минимума) функции.

Алгоритм нахождения точек экстремума функции:

1. найти производную функции;

2. решить уравнение f ' (х) = 0, найти критические точки;

3. с помощью метода интервалов определить знаки производной в окрестностях критических точек;

4. используя достаточное условие существования экстремума, найти точки максимума и минимума.

Рассмотрим примеры на нахождение точек экстремума.

Пример 2. Определим точки экстремума функции у = 2х³ - х² - 4х + 5.

Решение. Для нахождения точек экстремума используем данный алгоритм:

1. у'= (2x³ - х² - 4х + 5)' = 6х² - 2х - 4 = 2 (Зх² - х - 2);

2. чтобы определить точки экстремума, производную приравняем

к нулю: 2 (Зх² - х - 2) = 0, Зх² - х - 2 = 0, x₁ = 1, х₂ = -

3. используя точки x_t = 1, х, = - 2/3 , разделим координатную прямую на промежутки и определим знак производной на каждом интервале.

Для этого возьмем х=0и определим знак производной функции f '(0) = 2 • (3 • 0² - 0 - 2) = -4 < 0, т.е. при х > 1 f '(x) > 0. Тогда знаки производной на интервалах имеют следующий вид (рис. 58.1):

в окрестности точки х = - 2/3 производная меняет знак с плюса на минус, а в окрестности точки х = 1 производная меняет знак с минуса на плюс. Пользуясь условием экстремума, получаем, что точка х = -2/3 это точка максимума, а х = 1 - точка минимума. Ответ: х_max= -2/3, x_min= 1.

5. Применение. Формирование умений и навыков.

Задачи: Обеспечить применение учащимися знаний и способов действий, которые им необходимы для СР, создать условия для выявления школьниками индивидуальных способов применения изученного.

Содержание этапа: № 267 ,268, 269, 270, 273(а).

6.Этап информации о домашнем задании.

Задачи: Обеспечить понимание учащимися цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.

№ 267 ,268, 269, 270, 273(б).

7.Подведение итогов урока.

Задача: Дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся.