Разработка урока Применение теорем косинусов и синусов к решению треугольников (9 класс)

Тема: Применение теорем синусов и косинусов при решении треугольников.

Цель: познакомить учащихся с основными алгоритмами решения произвольных треугольников, повторить методы решения прямоугольных треугольников, активизация познавательной деятельности, привитие навыков исследовательской деятельности; формирование познавательного интереса, наблюдательности, воспитание у учащихся чувства взаимопомощи.

Основные термины и понятия: синус угла, косинус угла, теорема синусов, теорема косинусов, решение треугольников.

Планируемые результаты обучения: уч-ся должны научиться применять теоремы синусов и косинусов при решении треугольников

Тип урока: совершенствование знаний и способов деятельности

Форма урока: комбинированный урок.

Ход урока

1. Организационный этап.

2. Актуализация

Проверка домашнего задания

- разобрать решение упражнений, вызвавших у учащихся затруднения при выполнении

3. Формирование новых понятий и способов действия

Задачи на решение треугольников делятся на три типа:

1. По данной стороне и двум углам.

2. По двум сторонам и углу между ними.

3. По двум сторонам и углу, противолежащему одной их них.

4. По трем сторонам.

СХЕМА РЕШЕНИЯ 1-го ТИПА ЗАДАЧ.

1)Дано: a, α, β

Найти: b, c, γ

План решения:

1. ;

2. γ = 180⁰-(α+β)

2)Дано: a, β, γ

Найти: b, c, α

План решения:

1. α = 180⁰-(γ +β)

2. ;

СХЕМА РЕШЕНИЯ 2-го ТИПА ЗАДАЧ.

</

Дано: a, b, γ

Найти: c, β, α

1. Предложить учащимся по этой записи с помощью рисунка дать словесную формулировку задачи.

2. Вместе с учащимися наметить план решения задачи. Чтобы направить поиск решения задачи по нужному руслу, поставить следующие вопросы:

а) как найти длину третьей стороны треугольника? (с помощью теоремы косинусов);

б) можно ли, пользуясь только теоремой косинусов, найти остальные элементы (два угла треугольника)? (можно).

3. Записать решение в общем виде:

План решения:

4. c² = a² + b² - 2ab·cos γ ;

5. a² = c² + b² - 2bc·cos α

6. b² = c² + a² - 2ac·cos β (или β = 180⁰ - (α + γ))

СХЕМА РЕШЕНИЯ 3-го ТИПА ЗАДАЧ.

Дано: a, b, c

Найти: α, β, γ

План решения:

1. a² = c² + b² - 2bc·cos α

2. b² = c² + a² - 2ac·cos β

3. γ = 180⁰ - (α + β)

СХЕМА РЕШЕНИЯ 4-го ТИПА ЗАДАЧ

(повышенной трудности)

Дано: a, b, α

Найти: c, β, γ

План решения:

1. γ = 180⁰-(α+β)

Далее решение делится на 3 возможных случая:

1-й случай: b > a

а) если sin β < 1, то задача имеет два решения: существуют два угла β₂ (острый и тупой, причем β₁ + β₂ = 180⁰), синусы которых равны, тогда

γ₁ = 180⁰ - α - β₁,

γ₂ = 180⁰ - α - β₂,

б) если sin β = 1, то β = 90⁰, решение единственное:

γ = 90⁰ - α, c = b·cosα

в) если sin β > 1, то решения нет.

2-й случай: b < a

Решение единственное - угол β - острый, тогда

γ = 180⁰ - α - β,

3-й случай: b = a

а) при α < 90⁰, решение единственное: α = β,

γ = 180⁰ - 2α, ;

б) при α ≥ 90⁰ решения нет, т.к. углы при основании равнобедренного треугольника могут быть только острыми.

4. Применение. Формирование умений и навыков.

Выполнение упражнений

№ 1

Даны сторона и два угла треугольника. Найдите третий угол и остальные две стороны треугольника, если:

1. а = 5 β = 30⁰ γ = 45⁰

2. а = 20 α = 75⁰ β = 60⁰

№ 2 Даны две стороны и угол между ними. Найдите остальные два угла и сторону треугольника, если:

1. a = 12 b = 8 γ = 60⁰

2. b = 14 c = 10 α = 145⁰

№ 3. Даны три стороны треугольника. Найдите его углы, если

1. a = 2 b = 3 c = 4

2. a = 7 b = 2 c = 8

5. Этап информации о домашнем задании

Повторить схемы решения задач на решение треугольников, выполнить практикум

6. Подведение итогов уроков

7. Этап рефлексии.

1. Сегодня я узнал…….

2. Было интересно……

3. Было трудно…….

4. Я выполнял задание….

5. Я понял что…….

6. Теперь я могу…….

7. Я почувствовал что…..

8. Я приобрёл….

9. Я научился…….

10. У меня получилось………