Методическая разработка 'Развитие познавательной активности обучающихся на уроках математики средствами технологии проектов'

Развитие познавательной активности обучающихся

на уроках математики средствами технологии проектов

Содержание.

Введение. ………………………………………………………………………....3

I глава. Технология проектов при изучении следующих тем: «Осевая симметрия», « Центральная симметрия»……………………………………....10

1.1 Теоретические основы технологии проектов…………………………….10

1.2 Изучение тем «Осевая симметрия», « Центральная симметрия» в школьных учебниках…………………………………………….………………20

1.3 Психолого-педагогическая характеристика учащихся 6 и 9 классов.......25

1.4 Трудности изучения тем «Осевая симметрия» и « Центральная симметрия»……………………………………………………………………….27

1.5 Методические рекомендации по изучению тем «Осевая симметрия» и «Центральная симметрия» методом проектов………………………………... 29

1.6 Специфика внеклассной работы в контексте технологии проектов (разработка элективного курса, с пояснительной запиской)………………....31

1.7 Использование информационных технологий на уроках математики…..35

II глава. Развитие познавательной активности учащихся методом проектов.

2.1 Теоретические основы развития познавательной активности учащихся 9 классов……………………………………………………………………………38

2.2 Методические рекомендации по развитию познавательной активности учащихся………………………………………………………………………….45

Заключение……………………………………………………………………….47

Приложение………………………………………………………….…………...52

Список литературы………………………………………………………………58

Введение.

На современном этапе образовательная политика России направлена на модернизацию школы. Основной задачей является повышение качества образования. Для ее решения требуется не только разработка и введение в учебный процесс интенсивных и инновационных технологий, но и учет противоречий, возникающих при их реализации.

В последнее время сформировались новые тенденции в подходе к школьному математическому образованию, выявляющие противоречия, формирующиеся и развивающиеся в процессе его изменения.

Порожденный бурным развитием науки и техники «информационный бум» повлек за собой необходимость перестройки образования в целом, что породило противоречия между содержанием школьного образования и реальными потребностями общества в его результатах.

Увеличение в учебных планах школы количества предметов, продиктованное социальными заказами общества, происходит в рамках устоявшихся временных сроков. Как результат, перегрузка школьников достигает критических пределов - возникает реальная угроза их здоровью, снижаются мотивы к обучению, что приводит к противоречию в соответствии объема школьного образования и возможностями учеников, а следовательно возникает противоречие между необходимостью достижения нового качества школьного образования и индивидуальными физическими и умственными возможностями учащихся.

Профессионально написанные тексты учебников и учебных пособий, ориентированные на вдумчивую работу мысли, сейчас меньше привлекают школьников, чем красочная виртуальная реальность, возникающая на мониторе компьютера - логическая составляющая обучения уступает место визуальному восприятию. Следовательно, к очередному противоречию мы относим противоречие между возможностями обучаемых, владеющих общими приемами общения с информационной средой, и предлагаемыми им методами обучения в школе.

Методы развивающего обучения недостаточно используются в практике преподавания математики, так как требуют для своей реализации гораздо больше учительских усилий и технических средств, чем традиционные способы обучения. Таким образом, налицо противоречие между общими целями образования и существующими средствами достижения этих целей.

Дидактические средства поддержки учебного процесса являются одним из важнейших инструментов в работе учителя математики. Количественная недостаточность и малая вариативность этих средств ограничивает свободу учителя в подборе материала. Таким образом, выделяется противоречие между существующими формами сохранения и передачи методического и педагогического опыта и теми возможностями, которые дают новые информационные технологии.

В различных предметных областях школы все больше прибегают к математическим моделям для раскрытия сущности изучаемого явления. Несогласованность программ учебных дисциплин приводит к тому, что математические понятия вводятся в нематематические учебные тексты без представления их хотя бы на интуитивном уровне, без учета возможности их понимания школьником на соответствующем этапе обучения. Это приводит к противоречию между математическим содержанием учебных текстов естественно-научных дисциплин и возможностями школьников к интерпретации этого содержания в рамках конкретного школьного предмета.

На уроках математики школьники получают большой объем теоретического материала, приобретают необходимые умения и навыки в решении математических задач. Однако при переносе полученных знаний в ситуации нематематического характера, ученики оказываются не в силах применить готовые алгоритмы в поисках выхода из тупика. Данное несоответствие обилия фактического материала умению использовать его в нестандартных условиях все больше и больше обнажает противоречие между репродуктивными и развивающими способами обучения.

Перечисленные противоречия были выделены на основе полученных эмпирических данных о результативности процесса обучения математике, изучения практики учителей, теоретического анализа разнообразных литературных источников (диссертаций, монографий, статей, учебников и т.д.) и явились мотивом для проведения настоящего исследования, определив его актуальность.
Актуальность данного исследования определяется еще и тем, что, в связи с планируемым переходом к единому государственному экзамену, перед общеобразовательной школой России ставится задача индивидуализации обучения формирования новых подходов к организации системы знаний, умений и навыков, а также к результативности учебной деятельности учащихся.

Метод проектов впервые возник в 20-е годы прошлого столетия в США. Его называли также методом проблем, и связывался он с идеями гуманистического направления в философии и образовании, которые активно разрабатывались американским философом и педагогом Дж. Дьюи, а также его учеником В. Х. Килпатриком. Идея Дж. Дьюи заключалась в том, чтобы вовлечь каждого ученика в активный познавательный, творческий процесс. При этом направленность этого процесса должна быть достаточно прагматична, чтобы ученики знали, зачем им необходимы те или иные знания, для решения каких жизненно важных проблем они могут быть полезны. Надо сказать, что Дж. Дьюи и его ученики пытались организовать не просто активную познавательную деятельность учащихся, но деятельность на основе совместного труда, сотрудничества учащихся в процессе общения, коммуникации. То, что не мог бы сделать один ученик, в совместной деятельности оказывалось вполне достижимым, причем на основе собственных, самостоятельных усилий. Для этого необходима проблема, взятая из реальной жизни, знакомая и значимая для ребенка, для решения которой ему необходимо приложить полученные знания, новые знания, которые еще предстоит приобрести

Учитель может подсказать источники информации, а может просто направить мысль учеников в нужном направлении для самостоятельного поиска. Но в результате ученики должны самостоятельно и в совместных усилиях решить проблему, применив необходимые знания подчас из разных областей, получить реальный и ощутимый результат. Вся работа над проблемой, таким образом, приобретает контуры проектной деятельности. Разумеется, со временем идея метода проектов претерпела некоторую эволюцию. Родившись из идеи свободного воспитания, в настоящее время она становится интегрированным компонентом вполне разработанной и структурированной системы образования. Но суть ее остается прежней - стимулировать интерес учащихся к определенным проблемам, предполагающим владение определенной суммой знаний и через проектную деятельность, предусматривающим решение этих проблем, умение практически применять полученные знания, развитие рефлекторного (в терминологии Джона Дьюи или критического мышления) Метод проектов привлек внимание русских педагогов еще в начале 20 века. Идеи проектного обучения возникли в России практически параллельно с разработками американских педагогов. Под руководством русского педагога С.Т.Шацкого в 1905 году была организована небольшая группа сотрудников, пытавшаяся активно использовать проектные методы в практике преподавания.

Позднее, уже при советской власти эти идеи стали довольно широко внедряться в школу, но недостаточно продуманно и последовательно и постановлением ЦК ВКП/б/ в 1931 году метод проектов был осужден и с тех пор до недавнего времени в России больше не предпринималось сколько-нибудь серьезных попыток возродить этот метод в школьной практике. Вместе с тем в зарубежной школе он активно и весьма успешно развивался. В США, Великобритании, Бельгии, Израиле, Финляндии, Германии, Италии, Бразилии, Нидерландах и многих других странах, где идеи гуманистического подхода к образованию Дж. Дьюи, его метод проектов нашли широкое распространение и приобрели большую популярность в силу рационального сочетания теоретических знаний и их практического применения для решения конкретных проблем окружающей действительности в совместной деятельности школьников. "Все, что я познаю, я знаю, для чего это мне надо и где и как я могу эти знания применить" - вот основной тезис современного понимания метода проектов, который и привлекает многие образовательные системы, стремящиеся найти разумный баланс между академическими знаниями и прагматическими умениями

В чем преимущество проекта? Прежде всего, в том, что ограниченный временными рамками урок «выплескивается» во внеурочную деятельность. Возрастная логика обучения, основанная на принципе «Великой дидактики» идти от простого к сложному, предполагает следующие формы самостоятельной работы учащихся: творческую работу (подбор примеров, оформление иллюстраций, написание мини-сочинений и т.д.), сообщение, доклад, реферат, исследование, проект. Следует отметить, что выбранная форма должна соответствовать содержанию. Иногда же именуют рефератами и соответственно оценивают простые сообщения на заданную тему, к тому же буквально списанные из энциклопедии или словаря.

Основные понятия:

Сообщение - краткое освещение факта, события; известие.

Доклад - публичное, развернутое освещение определенной темы.

Реферат - краткое изложение содержания книги или анализ литературы по освещаемому вопросу, проблеме.

Исследование - научный труд, подвергнувший изучению факт, событие, процесс. Можно рассматривать исследование как сумму приемов и методов , дающих информацию для анализа, который способствует обоснованию, осмыслению факта, процесса, события и т.д.

Проект - план, замысел, в результате которого автор должен получить что-то новое: продукт, отношение, программу, книгу, фильм, модель, сценарий и т.д.

Классификация проектов:

- на основе материалов А. С. Сиденко.

По характеру результата:

-информационный проект;

-исследовательский проект;

-обзорный проект;

-проекты-инсценировки.

По форме:

-видеофильм;

-рекламный ролик;

-телепрограмма;

-интервью с известными людьми;

-журнальный репортаж;

-рок-опера.

По профилю знаний:

-монопроекты - в рамках одного учебного предмета. При этом выбираются наиболее сложные разделы или программы; укладываются в классно-урочную систему;

Межпредметные проекты - по двум или более предметам; чаще всего используются в качестве дополнения к урочной деятельности; выполняются во внеурочное время.

По продолжительности: краткосрочные - на нескольких уроках(3-6 уроков; средней продолжительности - один-два месяца; долгосрочные - до года.

На основе материалов Е. С. Полат проекты бывают:

Исследовательские - требуют хорошо продуманной структуры, обозначенных целей, обозначения источников информации, продуманных методов, результатов;

творческие - предполагают соответствующее творческое оформление, не имеют детально проработанной структуры совместной деятельности участников,

информационные - требуют от участников изначальной направленности на сбор информации о каком-либо объекте, явлении; ознакомления участников проекта с этой информацией, ее анализа и обобщения фактов, предназначенной для широкой аудитории;

практико-ориентированные - отличаются четко обозначенными с самого начала результатом деятельности участников проекта. Причем этот результат обязательно ориентирован на социальные интересы участников.

Метод проектов предусматривает обязательное наличие проблемы, требующей исследования. Это определенным образом организованная поисковая, исследовательская деятельность учащихся, индивидуальная или групповая, которая предусматривает не просто достижение того или иного результата, оформленного в виде конкретного практического выхода, но организацию процесса достижения этого результата.

Метод проектов всегда ориентирован на самостоятельную деятельность учащихся - индивидуальную, парную, групповую, которую учащиеся выполняют в течение определенного отрезка времени.

Объектом исследования является процесс обучения математике в основной школе.

Предмет исследования - процесс развития познавательных навыков учащихся 6 и 9 классов на основе метода проектов.

Цель исследования - обоснование педагогических условий развития познавательных навыков учащихся, умений самостоятельно конструировать свои знания и ориентироваться в информационном пространстве на основе метода проектов.

Задачи исследования:

1. Проанализировать состояние исследуемой проблемы в теории, обосновать понятийный аппарат исследования.

2. Выработать методические рекомендации по развитию познавательной активности учащихся на основе метода проектов.

I глава. Технология проектов при изучении следующих тем: «Осевая симметрия», « Центральная симметрия».

1.1 Теоретические основы технологии проектов.

В основе метода проектов лежит развитие познавательных навыков учащихся, умений самостоятельно конструировать свои знания, умений ориентироваться в информационном пространстве, развитие критического и творческого мышления. Метод проектов - это из области дидактики, частных методик, если он используется в рамках определенного предмета. Метод - это дидактическая категория. Это совокупность приемов, операций овладения определенной областью практического или теоретического знания, той или иной деятельности. Это путь познания, способ организации процесса познания. Поэтому, если мы говорим о методе проектов, то имеем в виду именно способ достижения дидактической цели через детальную разработку проблемы (технологию), которая должна завершиться вполне реальным, осязаемым практическим результатом, оформленным тем или иным образом. Дидакты, педагоги обратились к этому методу, чтобы решать свои дидактические задачи. В основу метода проектов положена идея, составляющая суть понятия "проект", его прагматическая направленность на результат, который можно получить при решении той или иной практически или теоретически значимой проблемы. Этот результат можно увидеть, осмыслить, применить в реальной практической деятельности. Чтобы добиться такого результата, необходимо научить детей или взрослых студентов самостоятельно мыслить, находить и решать проблемы, привлекая для этой цели знания из разных областей, умения прогнозировать результаты и возможные последствия разных вариантов решения, умения устанавливать причинно-следственные связи.

Метод проектов всегда ориентирован на самостоятельную деятельность учащихся - индивидуальную, парную, групповую, которую учащиеся выполняют в течение определенного отрезка времени. Этот метод органично сочетается с групповыми (collaborative or cooperative learning) методами. Метод проектов всегда предполагает решение какой-то проблемы. Решение проблемы предусматривает, с одной стороны, использование совокупности, разнообразных методов, средств обучения, а с другой, предполагает необходимость интегрирования знаний, умений применять знания из различных областей науки, техники, технологии, творческих областей. Результаты выполненных проектов должны быть, что называется, "осязаемыми", т.е., если это теоретическая проблема, то конкретное ее решение, если практическая - конкретный результат, готовый к использованию (на уроке, в школе, в реальной жизни). Если говорить о методе проектов как о педагогической технологии, то эта технология предполагает совокупность исследовательских, поисковых, проблемных методов, творческих по самой своей сути.

"В основе метода проектов лежит развитие познавательных навыков учащихся, умений самостоятельно конструировать свои знания, ориентироваться в информационном пространстве, развитие критического и творческого мышления, умение увидеть, сформулировать и решить проблему. Говоря о методе проектов, мы имеем в виду именно способ достижения дидактической цели через детальную разработку проблемы (технологию), которая должна завершиться вполне реальным, осязаемым практическим результатом, оформленным тем или иным образом. Метод проектов всегда предполагает решение какой-то проблемы. Решение проблемы предусматривает, с одной стороны, использование совокупности разнообразных методов, средств обучения, а с другой, - необходимость интегрирования знаний, умений; применять знания из различных областей науки, техники, технологии, творческих областей" .

Метод - дидактическая категория, совокупность приемов, операций овладения какой-либо областью практического или теоретического знания, той или иной деятельности это путь познания, способ организации процесса познания. Если говорить о методе проектов, то имеется в виду именно способ достижения дидактической цели через детальную разработку проблемы, которая должна завершиться вполне реальным, осязаемым практическим результатом, оформленным тем или иным образом.

Педагоги обратились к этому методу, чтобы решать свои дидактические задачи. В основу метода положена идея, составляющая суть понятия «проект», его прагматическая направленность на результат, который можно получить при решении той или иной практически или теоретически значимой проблемы. Результат, который можно увидеть, осмыслить, применить в реальной, практической деятельности.

Чтобы добиться такого результата, необходимо научить детей самостоятельно мыслить, находить и решать проблемы, привлекая для этой цели знания из разных областей, умение прогнозировать результаты и возможные последствия разных вариантов решения, умение устанавливать причинно-следственные связи. Метод проектов всегда ориентирован на самостоятельную деятельность учащихся - индивидуальную, парную, групповую, которую учащиеся выполняют в течение определенного отрезка времени.

В основе метода проектов лежит развитие познавательных навыков учащихся, умения самостоятельно конструировать свои знания, умения самостоятельно ориентироваться в информационном пространстве, анализировать полученную информацию, самостоятельно выдвигать гипотезы, умения принимать решения (поиск направления и методов решения проблемы); развитие критического мышления, умения исследовательской, творческой деятельности.

Основные требования к использованию метода проектов:

1. Наличие значимой в исследовательском, творческом плане проблемы (задачи), требующей интегрированного знания, исследовательского поиска для ее решения.

2. Практическая, теоретическая, познавательная значимость предполагаемых результатов.

3. Самостоятельная (индивидуальная, парная, групповая) деятельность учащихся.

4. Структурирование содержательной части проекта (с указанием поэтапных результатов).

5. Использование исследовательских методов: определение проблемы, вытекающих из нее задач исследования, выдвижение гипотезы решения, обсуждение методов исследования, оформление конечных результатов, анализ полученных результатов, подведение итогов, корректировка, выводы (использование в ходе совместного исследования метода «мозговой атаки», «круглого стола», статистических методов, творческих отчетов, просмотров презентаций).

Эффективность использования метода проектов зависит от качества подготовки педагогов к организации и руководству учебным проектированием. Это обусловлено тем, что усвоение школьниками новой информации в процессе проектной деятельности происходит в сфере проблемной неопределенности. Поэтому возникает необходимость проектирования, организации и координации этой деятельности учащихся, еще не имеющих большого опыта самостоятельного выполнения проектов. Эти процессы в педагогике связывают с педагогическим проектированием.

В современной педагогике проектирование рассматривается в двух аспектах: как «идеальная» (мыслительная) деятельность и как деятельность по реализации замысла. Первая включает целепологание, планирование, конструирование, моделирование и прогнозирование (В. С. Безрукова), вторая - организацию взаимодействия (субъектов проектирования между собой, с объектами и средой), диагностику, анализ результатов и коррекцию проектов (Е. С. Заир-Бек).

Алгоритм работы над проектом.

Стадия работы над проектом

Содержание работы

Деятельность учащихся

деятельность учителя

1. Подготовка

а) Определение темы и целей проекта, его исходного положения

б) Подбор рабочей группы

Обсуждают тему проекта с учителем и получают при необходимости дополнительную информацию. Определяют цели проекта.

Знакомит со смыслом проектного подхода и мотивирует учащихся. Помогает в определении цели проекта. Наблюдает за работой учеников.

2. Планирование

а) Определение источников необходимой информации

б) Определение способов сбора и анализа информации

в) Определение способа представления результатов

г) Установление процедур и критериев оценки результатов проекта

д) Распределение задач (обязанностей) между членами рабочей группы

Формируют задачи проекта. Вырабатывают план действий. Выбирают критерии успеха проектной деятельности

Предлагает идеи, высказывает предложения. Наблюдает за работой учащихся

3. Исследование

а) Сбор и уточнение информации

б) Выявление и обсуждение альтернатив, возникших в ходе выполнения проекта

в) Выбор оптимального варианта хода проекта

г) Поэтапное выполнение исследовательских задач

Поэтапно выполняются задачи проекта

Наблюдает, советует, косвенно руководит деятельностью учащихся

4. Выводы

а) Анализ информации

б) Формулирование выводов

Выполняют исследование и работают над проектом, анализируют информацию. Оформляют проект

Наблюдает, советует (по просьбе учащихся)

5. Представление (защита) проекта и оценка его результатов

а) Подготовка отчета о ходе выполнения проекта с объяснением полученных результатов(возможные формы отчета: устный отчет с демонстрацией материалов, письменный)

б) Анализ выполнения проекта, достигнутых результатов (успехов и неудач) и причин этого

Представляют проект, участвуют в его коллективном анализе и оценке

Слушает, задает вопросы в роли рядового участника. При необходимости направляет процесс анализа. Оценивает усилия учащихся, качество отчета, качество использования источников, потенциал продолжения проекта

При использовании метода проектов учитель заранее тщательно готовится к таким урокам. Это не «ежедневные» технологии. В начале учебного года желательно выделить те темы (наиболее сложные в плане понимания, усвоения), вопросы, разделы программы конкретного курса, по которым желательно было бы провести проект, чтобы дать возможность учащимся более глубоко и детально вникнуть в материал, самостоятельно в нем разобраться не на уровне воспроизведения, а на уровне применения данного материала для решения какой-то значимой проблемы, для приобретения нового знания.

Таких достаточно крупных проектов по предмету может быть в течение года 2-3. Поэтому необходимо в конце учебного года, при подготовке к новому учебному году, в каждом методическом объединении, разработать и представить на методический совет предложения по проектам своего предмета с тем, чтобы завуч по учебной части могла заранее составить график проведения проектов в новом учебном году. Дело в том, что каждый проект требует заметных усилий со стороны ученика, которого никто на это время не освобождает от текущей работы. Поэтому надо предусмотреть такую ситуацию, при которой единовременно один ученик работал бы над одним проектом и имел некоторый перерыв между работой над проектом по разным предметам.

Перед проектной деятельностью учитель должен четко определить для себя основную проблему (и частные задачи), а также возможные гипотезы их решения. Он также определяет, какие знания, умения, навыки из ранее усвоенных потребуется учащимся при работе над проектом, какие знания, умения, навыки должны приобрести ребята в ходе работы над проектом, что им может потребоваться для успешной работы (источники информации, иногда, готовая информация, вспомогательные средства обучения, приборы), какими методами они предположительно могут воспользоваться и какая при этом им может потребоваться помощь (анкетирование, интервью, беседы, работа с документами, поиск информации в Интернете).

Учитель должен продумать весь ход работы над проектом. Однако на уроке вся эта информация должна быть в поле зрения самого учителя в качестве ориентира в организации деятельности учащихся. Но ни саму проблему, ни гипотезы, ни методы исследования творческой, поисковой деятельности он не должен давать учащимся в готовом виде. Но если ученики высказывают собственные суждения, отличные от мнения учителя, ни в коем случае не навязывает ребятам своего мнения. В этом суть метода проектов, исследования как такового. Учащиеся сами должны прийти к выводу о правомерности выдвинутых гипотез, проблем или их ошибочности, но при этом они должны подтвердить свою точку зрения аргументами, доказательствами фактами.

Проекты могут быть различными по своей типологии. Для типологии проектов предлагаются следующие типологические признаки:

1. Доминирующая в проекте деятельность: исследовательская, поисковая, творческая, ролевая, прикладная (практико-ориентированная), ознакомительно-ориентировочная, пр. (исследовательский проект, игровой, практико-ориентированный, творческий);

2. Предметно-содержательная область: монопроект (в рамках одной области знания); межпредметный проект.

3. Характер координации проекта: непосредственный (жесткий, гибкий), скрытый (неявный, имитирующий участника проекта, характерно для телекоммуникационных проектов).

4. Характер контактов (среди участников одной школы, класса, города, региона, страны, разных стран мира).

5. Количество участников проекта.

6. Продолжительность проекта.

На начальном этапе освоения метода проекты могут быть чисто информационными, практико-ориентированными, творческими, игровыми. Можно использовать метод проектов на одном-двух уроках - мини-проекты для решения какой-то небольшой проблемы. Но суть самого метода, его идея должна оставаться неизменной - самостоятельная поисковая, исследовательская. Проблемная, творческая деятельность учащихся, совместная или индивидуальная.

Выбор тематики проектов в разных ситуациях может быть различным. В одних случаях эта тематика может выдвигаться учителями с учетом учебной ситуации по своему предмету, профессиональных интересов, интересов и способностей учащихся, в других тематика проектов может предлагаться и самими учащимися, которые естественно, ориентируются при этом на собственные интересы, не только чисто познавательные, но и творческие, прикладные.

Тематика проектов может касаться какого-то теоретического вопроса школьной программы с целью углубить знания отдельных учеников по этому вопросу, дифференцировать процесс обучения. Чаще темы проектов относятся к какому-то сложному вопросу, актуальному для практической жизни и вместе с тем требующему привлечения знаний учащихся не по одному предмету, а из разных областей, их творческого мышления, исследовательских навыков.

Результаты выполненных проектов должны быть материальны, то есть как либо оформлены (видеофильм, альбом, борт-журнал, компьютерная газета, альманах и т.д.).

Метод проектов может использоваться в учебном процессе для решения различных небольших проблемных задач, и тогда можно организовывать мини-проекты достаточно часто, приучая учащихся к творческому применению полученных знаний самостоятельно (краткосрочные, в рамках урока).

Примеры краткосрочных проектов (в рамках изучения программного материала):

Координаты точки и координаты вектора.

Расстояние от точки до плоскости.

Угол между прямой и плоскостью.

Правильная пирамида.

Перпендикулярность прямых и плоскостей.

Также этот метод применяется для решения крупных задач, сложных для понимания вопросов. Тогда используются достаточно крупные проекты (макропроекты), занимающие несколько уроков (или на занятиях кружка, факультатива) и достаточно серьезную самостоятельную поисковую, исследовательскую деятельность во внеурочное время.

Примеры среднесрочных проектов (для факультатива по материалам углубленного изучения):

- Решение уравнений 2-й, 3-й, 4-й степеней по формуле.

- Односторонние пределы.

- Как Архимед измерял объем шара?

- Непрерывность функции.

Организация и проведение макропроектов (долгосрочных) требует обоснованного и разумного подхода с учетом всех ранее выявленных замечаний. Такие проекты и, соответственно, уроки не могут проводиться слишком часто, превращаясь в нечто повседневное, - они должны являть собой праздник знаний, определенные вехи в изучении такой интересной и замечательной науки, какой является математика.

Примеры долгосрочных проектов (по материалам научно-практических исследований):

Лента Мебиуса и ее свойства. В своей работе учащиеся рассмотрели ленту Мебиуса как топологический объект (развертывающуюся поверхность), изложили доказательства основных теорем топологии необходимых для осмысления свойств ленты Мебиуса и проанализировали проникновение ее свойств в различные разделы математики (односторонность, непрерывность, связность, ориентированность, «хроматический номер»). Приведены конкретные примеры и предложены авторские гипотезы нестандартного применения листа и ленты Мебиуса в науке, технике, быту и при изучении свойств Вселенной.

Элементарная теория управления запасами. В проекте автор обращается к прикладным разделам математики - экономике и статистическим расчетам, которые очень актуальны в практическом применении математических знаний и в настоящее время вызывают интерес у школьников.

«Золотое сечение» и его применение в архитектуре родного города.

Построение комплексных множеств на плоскости. Графическое решение систем уравнений и неравенств с параметром в комплексных числах.

Теорема Пифагора вне школьной программы.

1.2 Изучение тем «Осевая симметрия», « Центральная симметрия» в школьных учебниках.

С целью приблизить школьный курс геометрии к современной науке в программе отведено значительное место изучению геометрических преобразований. Идея преобразования имеет большое значение в воспитании материалистического мировоззрения учащихся. Она прививает ученикам взгляд на геометрию как на предмет, изучающий пространственные формы в их движении, изменении и преобразовании одной в другую. Изучение геометрических преобразований благоприятно влияет на развитие пространственного воображения школьников и содействует более глубокому усвоению свойств геометрических фигур. Геометрические преобразования дают новый метод доказательства теорем и решения многих задач на построение. Знакомство с основными геометрическими преобразованиями имеет и практическое значение. Так, например, осевая симметрия используется на практике при раскрое тканей, принцип осевой симметрии положен в основу схемы устройства домкрата, изображенного на рисунке 1(при уменьшении длинны СD точка В поднимается вверх, при этом стержень АВ всегда сохраняет вертикальное положение, так как точки А и В остаются симметричными относительно горизонтальной прямой).

По программе к учебному комплекту «Математика 6» под редакцией Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина (М., «Дрофа»2002) в шестом классе учащиеся знакомятся с двумя видами геометрических преобразований: осевой и центральной симметрией. По программе на раздел «Симметрия» отводится девять часов. Основная цель - познакомить учащихся с основными видами симметрии на плоскости и в пространстве, дать представление о симметрии в окружающем мире, развить пространственное и конструктивное мышление. Изучение видов симметрии и ее свойств, так же как и других геометрических вопросов курса, основывается на практической деятельности учащихся. В то же время формирование умение рассуждать выходит на новый уровень: в ходе решения задач учащиеся выводят некоторые свойства фигур с помощью логических умозаключений и рассуждений. С изучением свойств симметрии учащиеся знакомятся с геометрическими построениями циркулем и линейкой. Понятие центральной симметрии по сравнению с осевой симметрией усваивается труднее и меньше применяется в последующем материале. Однако в последующих темах курса геометрии следует применять центральную симметрию при доказательстве теорем и решении задач во всех случаях, где это возможно и целесообразно.

Изучение осевой симметрии начинается с определения понятия двух фигур, симметрично расположенных относительно оси. В таком случае две фигуры, симметрично расположенные относительно оси, определяются как фигуры, совмещающиеся при перегибании плоскости чертежа по данной прямой до совпадения одной части плоскости с другой. Понятие симметричных относительно прямой точек является следствием определения симметричных фигур, так как точка тоже фигура.

Каждому ученику с раннего детства знакомы конкретные образы двух предметов, симметрично расположенных относительно оси; на их основе и создаются представления о соответственно расположенных геометрических фигурах. Хотя точка тоже фигура, понятие математической точки более отвлеченно и воспринимается учащимися с трудом. Изучение осевой симметрии целесообразно начать с наблюдения конкретного физического движения, легко осуществляемого на моделях. При этом наглядно воспринимается связь между осевой и одним из важнейших понятий геометрии - понятием равенства фигур: могут быть совмещены наложением как две фигур симметричные относительно оси. Так и любые две равные фигуры. Понимание этой связи поможет учащимся усвоить применяемый в дальнейшем общий метод доказательства равенства двух фигур. Можно предложить ученикам проследить различные движения, с помощью которых можно совместить две равные фигуры на плоскости. Сопоставляя эти движения, ученики уясняют особенности изучаемого преобразования. При этом полезно показать презентацию с изображением пар равных фигур.

Следует обратить внимание шестиклассников на то, что две фигуры могут находиться на плоскости в разных положениях. И предложить им указать. Как проще всего передвинуть одну из них, чтобы она совместилась с другой. Вначале даются изображения предметов окружающей действительности, а затем геометрических фигур.

Ученики без труда находят перенос и поворот, которые должны быть выполнены в первых двух случаях. В третьем случае они часто предлагают перевернуть фигуру обратной стороной и произвольно передвинуть на плоскости до совмещения со второй фигурой. Учитель указывает более простую операцию: перегибание по некоторой прямой плоскости чертежа до совмещения одной части плоскости с другой. Можно показать простой способ получения симметричных фигур: изобразить фигуру красками и перегнуть лист с чертежом до совпадения одной его части с другой. На второй половине листа отпечатается фигура, симметричная данной. Способ получения одной из двух симметричных фигур с помощью другой используется в практике. Рассмотрев ряд примеров пар симметричных точек, устанавливаются их свойства. Изученные свойства затем применяются в курсе геометрии. Целесообразно применить при обосновании решения некоторых задач на построение циркулем и линейкой.

Затем учащиеся знакомятся с фигурами, имеющими оси симметрии. Следует рассмотреть не только фигуры, имеющие одну ось симметрии, но и фигуры, имеющие бесконечное множество осей симметрии. Приводятся примеры из окружающей природы.

Понятие центральной симметрии вводится после изучения темы: «Ось симметрии». Вводится определение фигур, симметричных относительно центра, а затем определение симметричных точек. При этом даются такие определения: две фигуры называются симметричными относительно точки О, если при повороте одной из них около этой точки в плоскости чертежа на 180 обе фигуры совместятся всеми своими точками. Точка О - центр симметрии двух данных фигур. Затем вводится понятие точек симметричных относительно центра. Ученики меньше знакомы с фигурами, симметричными относительно центра, чем с фигурами, симметричными относительно ос, поэтому особенно важно при введении понятия симметрии относительно центра использовать наглядность. Первые представления о центральной симметрии следует дать в процессе сопоставления с другими движениями.

Следует обратить внимание учеников на то, что точка, являющаяся центром симметрии фигур, может быть взята как на фигуре, так и вне ее.

В заключение следует предложить упражнения на закрепление понятий осевой и центральной симметрии фигур. Можно предложить выбрать из данных фигур те, которые имеют только центр симметрии, только оси симметрии, а также фигуры, имеющие и центр, и оси симметрии. Далее учащиеся знакомятся с понятием зеркальная симметрия. Одно из основных умений, которыми должны овладеть учащиеся,- построение фигуры (точки, отрезка, треугольника и др.), симметричной данной. Наряду с обучением построению симметричных фигур по точкам с помощью инструментов следует стремиться к тому, чтобы учащиеся могли представить симметричный образ целиком, нарисовать его от руки. При построении симметричных точек учащиеся имеют право пользоваться любыми инструментами.

В курсе «Геометрия 7-9» автор Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев, учащиеся 8 класса продолжают изучение: осевой и центральной симметрии, в разделе «Четырехугольники». В девятом классе в главе «Движения» учащиеся шире знакомятся с движениями на плоскости.

Изучение видов симметрии и ее свойств, так же как и других геометрических вопросов курса, основывается на практической деятельности учащихся. Полезно решать с учащимися конструктивные задачи, целесообразно некоторым задачам на построение и доказательство придать практическое содержание. Например: «На берегу канала требуется построить водонапорную башню для снабжения водой двух селений А и В. Выбрать место для строительства башни с таким расчетом, чтобы общая длина труб от водонапорной башни до обоих селений была наименьшей». См. решение в пункте 2.5 (в).

«Между пунктами Р и В, расположенными по одну сторону от дороги МN, находится болото. По другую сторону дороги расположен луг, на котором можно выполнить любые измерения. Как удобно измерить расстояние РВ?»

Р .

Геометрические преобразования нужны не только для доказательства теорем и задач, но и находят свое применение в курсе алгебры. На практике мы часто встречаемся с зависимостями между различными величинами не только в математике, но и в других сферах деятельности. С помощью графиков наиболее естественно отражаются функциональные зависимости одних величин от других. Геометрические преобразования графиков, построение кусочнозаданной функции, графики, содержащие переменную под знаком модуля, позволяют передать красоту математики.

1.3 Психолого-педагогическая характеристика учащихся 6 и 9 классов.

От младшего школьного возраста подростковый(6-8 класс) отличается тем, что он фактически представляет собой начальный шаг на пути перехода от детства к взрослости. Этот период характеризуется усилением независимости детей от взрослых людей, причем во всех сферах поведения. Если младший школьник, несмотря на его чрезвычайную внешнюю подвижность и кажущееся непослушание, все же еще полностью зависим от взрослых людей, которые, если они достаточно авторитетны, могут влиять на психологию и поведение ребенка, то подросток гораздо более независим и гораздо менее податлив внешнему психологическому влиянию, особенно со стороны взрослых людей, родителей и учителей. Эта независимость, однако, относительная и скорее напоминает собой негативистическую, вполне еще детскую реакцию на слова и действия взрослого человека, чем взвешенный самостоятельный поступок. Стремление быть взрослым очень ярко проявляется во взаимоотношениях со старшими. Подросток стремится расширить свои права и ограничить права взрослых в отношении его личности. В становлении взаимоотношений подростка с взрослыми могут возникать противоречия.

Поведение и деятельность подростка во многом определяются особенностями самооценки. При завышенной самооценке у подростка часто возникают конфликты с окружающими. При адекватной самооценке, выбранный идеал способствует формированию таких качеств, как высокая требовательность, самокритичность, уверенность в себе настойчивость. Учащимся данного класса свойственно бурное проявление своих чувств. Они чувствуют малейшую несправедливость к себе, способны «взорваться». Особенно часто реакция возникает в состоянии утомления. Эмоциональная возбудимость подростка проявляется и в страстных спорах, доказательствах, выражении возмущения. В учебной деятельности подростка имеются свои трудности и противоречия, но есть и свои преимущества, на которые нужно опираться. Большим достоинством учащихся является его готовность ко всем видам учебной деятельности, которые делают его готовым его взрослым в собственных глазах. Их привлекают самостоятельные формы организации занятий на уроке, сложный учебный материал, возможность самому строить свою познавательную деятельность за пределами школы. Беда в том, что эту готовность они еще не умеют реализовать, т. к. он не владеет способами выполнения новых форм учебной деятельности. Обучить этим способам, не дать угаснуть интересу к ним - важная задача педагога. В данном классе по типу темперамента доминирует холерики - высокие показатели по энергичности, темпу и эмоциональности, часто неусидчив и суетлив, нетерпелив, резок и прямолинеен в отношениях с людьми. Довольно упрям и импульсивен, склонен к горячности, поддается минутным слабостям. Но в то же время такие дети оптимистичны, решительны, обладают быстрой реакцией, выразительной мимикой, способны быстро решать и действовать в различных ситуациях, настойчивы в достижении цели.

По уровню своего интеллектуального развития подростки не намного уступают взрослым людям. На основе проведенных тестов по изучению интеллектуального уровня, можно сказать, что в классе преобладает средний уровень развития, но есть дети, у которых интеллектуальный уровень низкий.

При работе с такими детьми рекомендуется использовать различные приемы и методы работы. В устный счет перед объяснением нового материала включать задачи на логическое мышление, использовать самостоятельную работу учащихся, например: выполни задание, строго следуя алгоритму, при объяснении нового материала целесообразно вовлекать учащихся в диалог: сделай вывод, какая закономерность прослеживается и т. д.

1.4 Трудности изучения тем «Осевая симметрия» и « Центральная симметрия».

Рассматривая главу «симметрия» в курсе математики 6 (автор учебника Г. В. Дорофеев), из двух видов симметрии - осевой и центральной - большую сложность для усвоения представляет центральная симметрия. В связи с этим к обязательным результатам обучения не отнесено умение построить фигуру, симметричную данной относительно центра. Основная цель изучения данного материала - сформировать представление о центральной симметрии как о повороте на 180 градусов. Необходимо убедиться, что учащиеся понимают оборот речи «поворот на 180 градусов» и могут его выполнить. При повороте на 180 градусов точка занимает положение, противоположное относительно центра, т. е. она оказывается на той же прямой (проходящей через нее и через центр), но по другую сторону от центра.

В курсе геометрии (автор учебника Л. С. Атанасян), учащиеся 8класса вновь встречаются с темой «Осевая и центральная симметрия» в главе четырехугольники, где формируется представление о фигурах, симметричных относительно точки или прямой. Изучение фигур, симметричных относительно точки или прямой, носит пропедевтический характер по отношению к теме «Движение». Решение сложных задач по этой теме не предусматривается.

В девятом классе в курсе геометрии (автор учебника Л. С. Атанасян), на главу «движение» отводится девять часов, где учащиеся знакомятся с понятием движения на плоскости: симметриями, параллельным переносом, поворотом. Понятие отображения плоскости на себя как основы для введения понятия движения рассматривается на интуитивном уровне с привлечением уже известных учащимся понятий осевой и центральной симметрий. Изучение понятия движения и его свойств дается в ознакомительном плане. При изучении темы основное внимание следует уделить выработке навыков построения образов точек, отрезков, треугольников при симметриях, параллельном переносе, повороте. Исследуется важный вопрос о связи понятий наложения и движения.

Понятие наложения, на основе которого определилось равенство фигур, относится в данном курсе к числу основных (неопределяемых) понятий. Наложение - это такие отображения плоскости на себя, которые обладают свойствами, выраженными в аксиомах 7-13.

В отличие от наложения движение - определяемое понятие: движения определяется как отображения плоскости на себя, сохраняющие расстояния между точками. В восьмом классе учащиеся познакомились с осевой и центральной симметриями как свойствами геометрических фигур. В параграфе «Понятие движения», осевая и центральная симметрии рассматриваются как примеры движений, то есть отображений плоскости на себя, сохраняющих расстояния между точками.

Важно подчеркнуть, что при отображении плоскости на себя выполняются два условия:

1) каждой точке плоскости ставится в соответствие какая -то одна точка плоскости.

2) каждая точка плоскости оказывается поставленной в соответствие какой-то точке плоскости.

Нужно показать, что в условиях осевой и центральной симметрий выполняются оба условия. В качестве примера отображения плоскости на себя, не являющегося движением, то есть не сохраняющего расстояния между точками, рассмотреть центральное подобие (гомотетию) с коэффициентом 2.

1.5Методические рекомендации по изучению тем «Осевая симметрия» и «Центральная симметрия» методом проектов.

При изучении темы «симметрия», учащимся предлагается подготовить проект, с помощью которого раскрывается понятия осевой и центральной симметрий. Перед учащимися выдвигаются основополагающие и проблемные вопросы учебной темы, например:

Где применима осевая и центральная симметрии?

Какие геометрические фигуры обладают симметрией?

Как построить фигуру симметричную относительно оси симметрии или относительно точки симметрии?

Существуют ли числа симметричные натуральным, относительно числа ноль?

Где встречаются симметричные числа?

Какие элементы используются для составления паркета?

Основополагающие вопросы уходят в глубь учебной дисциплины, они возникают снова и снова на протяжении обучения, а так же побуждают задавать другие важные вопросы. Проблемные вопросы - вопросы учебной темы, они более конкретны в отношении изучаемого предмета. Вопросы учебной темы формируют конкретный ряд знаний, служат для запуска обсуждения, постановки проблемы. Проблемные вопросы намеренно провоцируют учащихся и должны поддерживать их интерес.

Между основополагающими вопросами и вопросами учебной темы (проблемными) нет четкой разницы. Главное не в том, каким является вопрос, а в том, как сосредоточить внимание учащегося на целях обучения, связать конкретные вопросы с более общими, направить исследование и процесс раскрытия важных понятий в нужное русло.

Затем определяются творческие названия учебного проекта: «Симметрия в архитектуре», «Симметрия в живой природе», «Симметрия и человек», «Геометрические преобразования и паркеты». Ребята работают над проектами и по каждому проекту готовят буклет и презентации. В проекте «Геометрические преобразования и паркеты», учащиеся не только дают представление о паркетах, но приводят примеры составления их с использованием геометрических преобразований: осевой симметрии, центральной симметрии, при помощи параллельного переноса. Примеры используемых заданий смотрите в приложении.

1.6 Специфика внеклассной работы в контексте технологии проектов (разработка элективного курса, с пояснительной запиской).

Следующим направлением применения метода стали для меня занятия, проводимые во внеурочное время. На таких занятиях также обязательно составление планирования, предусматривающего некоторую творческую деятельность учащихся. Однако здесь уже над педагогом не довлеет школьная программа и обязательный минимум знаний, который мы должны дать ученику. Поэтому проектной работой на таких занятиях может стать итог любой творческой и исследовательской деятельности. Но здесь возникает проблема у математиков и других преподавателей точных наук, ведь исследовать что-либо в этих областях и делать пусть небольшие, но открытия, очень трудно, а для учащихся и вовсе невозможно. Что же делать? Давайте оглядимся вокруг, друзья! Кто знает, как вычислить высоту горы, видимой из окна поезда? А как узнать, где идет гроза, если слышен гром, а дождя нет? Во сколько примерно раз площадь листа одуванчика выросшего в тени, больше чем площадь выросшего на солнцепеке?

Межпредметный исследовательский проект плавно переходит в следующее направление применения метода проектов, когда эффективно используются компьютерные технологии. Это именно то, чему учат на курсах по программе "Интел". Например, можно составить компьютерную презентацию по любой теме из курса математики с эффектами анимации и наглядными рисунками. Поверьте, защита такого проекта доставит удовольствие не только ученику - автору данной работы, но и станет великолепным материалом для составления плана открытого урока с использованием прогрессивных информационных технологий.

Мы знаем, что положительная оценка за знания в наше время уже не является стимулом к обучению, если родители учащегося не обещают ему за это что-то купить или исполнить какое-то желание. Но заинтересовать учащихся необычным объяснением урока, показать применение полученных знаний в реальной повседневной жизни может каждый учитель. Написание исследовательской работы, создание интересного проекта, победа в различных конкурсах и олимпиадах по предмету не только мотивирует учащегося на достижение высоких результатов в обучении, но и стимулируют на активную творческую деятельность. Многие учащиеся, занимающиеся исследовательской работой, не отдыхают и на каникулах, а на уроки приходят с новыми идеями и жаждой знаний. Компьютер на уроке является средством, позволяющим учащимся лучше познать самих себя, индивидуальные особенности своего учения, способствует развитию самостоятельности. Учащийся может на экране наблюдать, что получается после осуществления той или иной операции, как меняется значение выражения, когда меняется тот или иной параметр.

Небольшой опыт работы показывает, что использование компьютерных технологий в обучении математике позволяет дифференцировать учебную деятельность на уроках, активизирует познавательный интерес учащихся, развивает их творческие способности, стимулирует умственную деятельность, побуждает к исследовательской деятельности.

Исследовательский проект может быть по содержанию монопредметным - выполняется на материале конкретного предмета, - межпредметным - интегрируется смежная тематика нескольких предметов, например, история и литература - и т.д. Выполняется он в ходе факультативных курсов, изучения интегрированных курсов, работы в творческих мастерских. Проект может быть итоговым и текущим.

С введением предпрофильного и профильного обучения в старших классах новый смысл приобрело понятие "элективный курс", результатом изучения которого также является некоторый проект или творческая работа.

Курс «Графики» предназначен для учащихся 8 классов средних общеобразовательных учреждений, реализующих предпрофильную подготовку, рассчитан на 8,5 часов аудиторного времени.

« Графики »

Пояснительная записка

На практике мы часто встречаемся с зависимостями между различными величинами не только в математике, но и в других сферах деятельности. С помощью графиков наиболее естественно отражаются функциональные зависимости одних величин от других.

Геометрические преобразования графиков, построение кусочно-заданной функции, графики, содержащие переменную под знаком модуля, позволяют передать красоту математики.

Курс «Графики» позволит углубить знания учащихся по построению графиков линейной, квадратичной функции, а также раскроет перед ними новые знания о геометрических преобразованиях графиков, выходящие за рамки школьной программы.

Цель: создание учащимся условий для обоснованного выбора профиля обучения в старшей школе через оценку собственных возможностей в усвоении математического материала на основе расширения представлений о графиках основных функций.

Задачи:

- закрепление основ знаний о построении графиков функций;

- формирование умений по построению графиков с модулем;

- вовлечение учащихся в игровую, коммуникативную, практическую деятельность как фактор личностного развития.

Включенный в программу материал представляет познавательный интерес для учащихся и может применяться для разных групп школьников вследствие своей обобщенности и практической направленности. Развертывание учебного материала четко структурировано и соответствует задачам курса.

Установление степени достижения учащимися промежуточных и итоговых результатов производится на каждом занятии благодаря использованию практикумов, самостоятельных работ, тестов, консультаций.

Формой итоговой отчетности учащихся являются проекты « Графики вокруг нас».

Требования к усвоению курса:

Учащиеся должны знать:

- методы геометрических преобразований.

Учащиеся должны уметь:

- применять метод геометрических преобразований на примере графиков линейной функции и обратной пропорциональности;

- строить графики, содержащие модуль;

- строить графики линейного сплайна.

Тематическое планирование учебного материала.

Тема

Кол-во часов

Технология реализации

Проверка владения базовыми умениями, постановка задач курса.

1

беседа, тестирование

Геометрические преобразова-ния графиков функций.

3

Лекция, практикум, тестирование

Построение графиков, содержащих модуль, на основе геометрических преобразова-

ний

1

Практикум, тестирование

Графики кусочно-заданных функций

1

практикум

Построение линейного сплайна

1

Лекция, практикум,

Презентации проекта «Графики»

1

Семинар

Итоговое тестирование

0.5

Тестирование

Занятие № 3 «Построение графиков, содержащих модуль, на основе геометрических преобразований» можно посмотреть в приложении. Занятие № 6, проводится в форме семинара, где учащиеся представляют свои работы в форме презентации проектов. Учитель заранее обговаривает требования к представлению проекта:

1. В рисунке должно быть не менее трех графиков функции.

2. Для одного из графиков надо подробно описать его построение.

3. Желательно включить графики из всех изученных тем.

4. Рисунок должен быть выполнен аккуратно.

5. Рисунок должен иметь название, которое автор обосновывает.

6. Речь при выступлении грамотна, лаконична.

Выбирается самый сложный рисунок, красивый, оригинальный, или же самое яркое выступление и т.д. (Занятие №3 «Построение графиков, содержащих модуль, на основе геометрических преобразований» см. в приложении).

1.7 Использование информационных технологий на уроках математики.

На современном этапе развития школьного образования проблема подготовки выпускников, хорошо владеющих компьютерными технологиями, приобретает особо важное значение в связи с высокими темпами развития и совершенствования науки и техники, потребностью общества в людях, способных мыслить самостоятельно и свободных от стереотипов. Применение этих технологий в обучении математике объясняется также необходимостью решения проблемы поиска путей и средств активизации познавательного интереса учащихся, развития их творческих способностей, стимуляции умственной деятельности. Особенностью учебного процесса с применением компьютерных средств является то, что центром деятельности становится ученик, который исходя из своих индивидуальных способностей и интересов, выстраивает процесс познания. В преподавании математики компьютер может быть использован на всех этапах урока- при объяснении нового материала, закреплении, повторении, контроле.

Объяснение нового материала. На этом этапе урока наиболее эффективным является учебный тип деятельности. Воздействие учебного материала на учащихся во многом зависит от степени и уровня иллюстративности устного материала. Визуальная насыщенность учебного материала делает его ярким, убедительным, способствует лучшему его усвоению и запоминанию. При изучении новой темы можно провести урок-лекцию с применением компьютерных презентации, позволяющих акцентировать внимание учащихся на значимых моментах излагаемой информации. Объявление темы урока сопровождается демонстрацией слайда, на котором дана тема урока и план изучения темы. Затем идет объяснение темы по плану, ученики делают необходимые записи. После объяснения темы ученики решают устные упражнения, затем решают в тетрадях задания более сложные. Все предлагаемые задания также представлены на слайдах. Особенностью применения компьютерных презентаций является наличие автоматического контроля и ограничения времени демонстраций слайд- фильма, сочетание устного лекционного материала с демонстрацией слайд- фильма позволяет концентрировать визуальное внимание учащихся на особо значимых моментах учебного материала.

Решение текстовых задач. На данном этапе урока реализуется обучающий тип деятельности. Отрабатываются различные программы, целью которых является обучение учащихся решению задач, так как задачи являются неотъемлемой частью изучения математики. Программы могут содержать задачи различного уровня сложности, а так же подсказки, алгоритмы и справочные материалы. Ответы к задачам могут вводиться как в числовом, так и в общем виде, причем, в последнем случае учащийся вводит формулы в компьютер при помощи клавиатуры, программа распознает ответы независимо от способа их написания.

Контроль знаний. При контроле используются тесты. Возможны две формы организации тестов, которые условно можно назвать «выбери ответ из предлагаемых вариантов» и «напиши правильный ответ».

Организация теста по принципу «выбери ответ из предлагаемых» обеспечивает быстроту прохождения теста, так как не требует от учащегося особых навыков работы на компьютере. Для выдачи ответа достаточно нажать клавишу с номером правильного ответа, выбрав его среди предложенных.

Организация теста по принципу «напиши правильный ответ» предполагает хорошую начальную подготовку учащегося как пользователя персонального компьютера. Выдача ответа осуществляется его набором и требует хорошего знания клавиатуры, в том числе «переключения на английский язык» и умения набирать формулы с помощью специальных программ.

Кроме этого, используя компьютерные технологии, можно создавать различные обучающие и демонстрационные программы, модели, игры. Такие эффективные разработки формируют позитивное отношение учащихся к учению, предлагают ненавязчивый способ оказания помощи, возможность выбрать индивидуальный темп обучения учащихся.

II глава. Развитие познавательной активности учащихся методом проектов.

2.1 Теоретические основы развития познавательной активности учащихся 9 классов.

Исследование данной проблемы, на наш взгляд, необходимо начать с выявления сущности понятия «активность».

Активность стала предметом исследования многих наук: философских, естественных, общественных, психолого-педагогических, каждая из которых рассматривает свои, специфические непосредственно для нее, закономерности возникновения, развития и проявления активности, ее динамику.

Понятие «активность» очень широко и разнообразно используется в практике обучения. Нередко активность отождествляется с самостоятельностью действий, иногда с мышлением или инициативностью ученика. В других случаях активностью называется выполнение каких-либо практических, трудовых или учебных заданий. Быть активным - значит находиться в деятельном состоянии: активность может проходить на различном уровне. На высшем уровне активность выступает в напряженной мыслительной деятельности и находит свое выражение в разумной творческой деятельности человека. Активность может быть различной по силе и степени выраженности. В этом отношении она находится в непосредственной зависимости от наличия определенных мотивов, которые побуждают человека к действию и поддерживают его деятельное состояние.

В педагогической энциклопедии активность личности определяется как деятельностное отношение человека к миру, способность его производить общественно значимые преобразования материальной и духовной сферы на основе освоения общественно-исторического опыта человечества, проявляется в творческой деятельности, волевых актах, общении. Активность личности - это активная жизненная позиция человека, выражающаяся в его инициативности, последовательности, в отстаивании своих взглядов, единстве слова и дела. В активности личности воплощаются присущие человеку нравственные ценности, которые определяют характер его поведения.

В педагогической науке различают активность внутреннюю (мыслительную) и внешнюю (моторную). В процессе учения встречаются оба вида активности, но активизация познавательной деятельности учащихся связана с активностью мышления. Внешняя (моторная) деятельность в данном случае является средством, способствующим стимулированию внутренней активности и обеспечивает контроль за ее протеканием.

М.Н. Скаткин в свое время отметил, что познавательная деятельность школьника связана не только с мышлением, памятью, а также с волевыми процессами, на повышение интенсивности которых и должна быть направлена активизация.

В педагогике понятие «активность» чаще всего связывают с учебно-воспитательным процессом, с проблемой выделения, разработкой и реализацией активных методов обучения и воспитания или отождествляют его с деятельностью (З.А. Абасов, В,Н, Аксюченко, А.А. Андреев, Л.П. Аристова, С.В. Герасимов, В.В. Горшкова, Г.Д, Кириллова, Е.Т. Коробов, Т.А, Ратанова, З.Ф. Чехлова, Т.И, Шамова). В характеристике понятия «активность» мы основываемся на определении, данном Г.И. Щукиной. В частности она указывала, что активность - это принадлежность человека, то есть субъекта деятельности, и выражает не саму деятельность, а ее уровень и характер. Как принадлежность деятеля, активность влияет на процесс целеполагания, на осознание мотивации способов деятельности.

Как качественная характеристика деятельности, степень ее проявления, показатель ее уровня активность толкуется у В.З. Когана, Л.П. Станкевича. Как черту личности, ее свойство активность определяют Б.Г. Ананьев, Г.С. Костюк, К.К. Платонов.

Подход к определению активности как качественной характеристики деятельности личности является правильным, но не исчерпывающим сущности активности. Следует добавить, что активность определяет качество деятельности, но весьма специфически - через отношение субъекта к процессу деятельности. Таким образом, активность можно рассматривать как черту личности, которая проявляется в отношении человека к деятельности: состояние готовности, стремление к самостоятельной деятельности, качество ее осуществления, выбор оптимальных путей для достижения цели.

Толкование сущности понятия «познавательная активность» у разных исследователей тоже разное. С одной стороны, она характеризуется как эффективность познавательной деятельности отдельного учащегося или группы учащихся, имеющая определенную уравновешенную стабильность, зависящую от сформированности познавательных способностей (Д.Б. Годикова, Т.М. Землянухина, М.И. Лисина, З.Ф. Чехлова, Е.И. Щербакова). С другой стороны, познавательная активность хароактеризуется в плане умственной познавательной деятельности в какой-то конкретный момент времени на учебном занятии (Г.Ц. Молонов, Т.И. Шамова). Также познавательная активность рассматривается как качество, личностное образование (З.Ф. Чехлова, Т.И. Шамова, Г.И. Щукина).

Т.И. Шамова определяет три уровня познавательной активности. Первый уровень - воспроизводящая активность. Этот уровень характеризуется стремлением учащегося понять. Запомнить и воспроизвести знания, уметь применить их по образцу. Этот уровень активности отличается неустойчивостью волевых усилий учащихся. Второй уровень - интерпретирующая активность. Она характеризуется стремлением ученика к выявлению смысла изучаемого содержания, проникновению в сущность явления, овладеть способами применения знаний в измененных условиях. Характерным показателем второго уровня познавательной активности является большая устойчивость волевых усилий, которая проявляется в том, что ученик стремится довести начатое дело до конца, ищет пути решения даже при затруднении. Третий уровень - творческий уровень активности. Он характеризуется интересом и стремлением не только проникнуть глубоко в сущность явлений и их взаимосвязей, но и найти для этой цели новый способ. Характерная особенность этого уровня активности - проявление высоких волевых качеств ученика, упорство и настойчивость в достижении цели, широкие и стойкие познавательные интересы.

Г.И. Щукина применительно к школьнику фиксирует тоже три уровня активности:

1.Репродуктивно-подражательная активность, при помощи которой опыт деятельности накапливается через опыт другого. Усвоение образцов сопровождает человека всю жизнь, но уровень собственной активности личности здесь недостаточен.

2.Поисково-исполнительская активность представляет более высокий уровень, поскольку здесь имеет место большая степень самостоятельности. На этом уровне нужно принять задачу и самому отыскать средства ее выполнения.

3.Творческая активность являет собой высший уровень. Поскольку и сама задача может ставиться школьником, а пути ее решения избираются новые, нешаблонные, оригинальные. Следует иметь ввиду, что зафиксированные научными исследователями уровни активности школьника не изолированы друг от друга.

Россия заинтересована в том, чтобы её граждане были способны активно действовать в реальных жизненных обстоятельствах, а к этому их необходимо готовить. Но это невозможно без отношения к человеку как к субъекту, без признания его права на уникальность, внутреннюю свободу и активность. В психологии под активностью личности понимается «способность человека производить общественно значимые преобразования в мире на основе присвоения богатств материальной и духовной культуры, проявляющаяся в творчестве, волевых актах, общении…». (Психология. Словарь. М., 1990. С. 15). Значительную роль в создании условий для формирования и развития личности, наделенной такими характеристиками, играет школа.

Проблема активности личности в обучении - одна из актуальных как в педагогической науке, так и в образовательной практике.

Активность школьников в обучении находит проявление в их отношении к познавательной деятельности: состоянии готовности, стремлении к самостоятельной деятельности, направленной на усвоение индивидом общественного опыта, накоплению человечеством знаний и способов деятельности, а также в качестве этой деятельности, осуществляемой путем выбора оптимальных путей достижения цели познания. Самостоятельность школьников связана с ини­циативой в определении объекта, способов деятельности без участия взрослых и помощи со стороны, что требует активности. Поэтому познавательная активность и самостоятельность неразрывны, их трудно обособить. Источником познавательной активности и самостоятельности являются потребности учащихся в приобретении знаний, овладении способами учебно-познавательной деятельности, в самоутвер­ждении и самовыражении и др. Удовлетворение одних потребностей ведет к воз­никновению новых.

Задача учителя - стимулировать формирование этих потребно­стей, что требует создания в обучении условий, побуждающих учащихся к активной самостоятельной деятельности. Педагогически обоснованное стимулирование по­требностей, мотивов, интересов, активности и самостоятельности школьников включает в себя:

1. Обеспечение сознательности учащихся в обучении, которая характеризуется следующими показателями:

а) осознанием учеником целей, задач, значения своей познавательной деятельности;

б) умением управлять своей учебной деятельностью, знанием тех средств и приемов, которые приводят к реализации цели;

в) умениями пользоваться знаниями в различных ситуациях;

г) умениями проверять и оценивать свои достижения.

2. Активизация учебно-познавательной деятельности школьников -«процесс, направленный на усиленную, совместную учебно-познавательную деятельность учителя и учащихся, на побуждение к ее энергичному, целенаправленному осущест­влению, на преодоление инерции, пассивных и стереотипных форм преподавания и учения» /Т. И. Щукина. Роль деятельности в учебном процессе.- М., 1986. -С. 135/.

Главная цель активизации - совершенствование качества учебно-воспитательного процесса в школе, которое достигается формированием активности и самостоятельности учащихся, что требует определенной организации совместной деятельности учащихся и учителя.

А. Вербицкий интерпретирует понятие «активное обучение» как переход от преимущественно регламентирующих, алгоритмизированных форм и методов организации дидактического процесса к развивающим, проблемным, исследовательским, поисковым, обеспечивающим рождение познавательных мотивов и интересов, условий для творчества в обучении.

Таким образом, активизация познавательной деятельности тре­бует использования различных методов, способов, форм обучения, которые стиму­лируют школьников к проявлению активности и самостоятельности. На уроках это могут быть ситуации, в которых ученик должен:

• защищать свое мнение, приводя аргументы, доказательства, используя приобретенные знания;

• задавать вопросы учителю, товарищам, выяснять непонятное, углубляться с их помощью в процесс познания;

• рецензировать ответы товарищей, творческие работы, вносить коррективы, да­вать советы;

• делиться своими знаниями с другими; помогать товарищам при затруднениях, объяснять им непонятное;

• выполнять задания - максимум, рассчитанные на чтение дополнительной литера­туры, первоисточников, на длительные наблюдения;

• находить не единственное решение, а несколько само­стоятельно предпринятых;

• практиковать свободный выбор заданий, преимущественно поисковых, творче­ских;

• создавать ситуации самопроверки, анализа собственных познавательных и практических действий;

• разнообразить деятельность, включать в познание элементы труда, игры, худо­жественной, общественной и других видов деятельности

Существенным условием активности и самостоятельности школьников в учеб­ной деятельности является интерес как положительное оценочное отношение к кон­кретной деятельности.

Существуют следующие способы формирования устойчивых познавательных ин­тересов:

1. Увлекательная подача самого учебного материала (новизна, историзм, показ современных достижений науки, практической значимости научных знаний и др.). При этом интерес должен создаваться не путем отвлечения от содержания основного материала, а за счет яркой подачи тех сторон, к которым должно быть привлечено внимание учащихся в первую очередь.

2. Использование методов, форм организации обучения, побуждающих школь­ников к самостоятельной познавательной деятельности (методы проблемного обучения, метод проектов, использование средств наглядности, групповая работа, взаимообучение и др.)

Степень интереса в деятельности ученика в огромной мере зависит от качества его знаний и от уровня овладения способами умственной деятельности. «Сначала должны выучить ребенка учиться, а потом уже поручить это дело ему самому», - отмечал К. Д. Ушинский.

3. Создание благоприятного эмоционального тонуса в учебно-познавательной деятельности (доверие, такт, его эмоциональность, доброжелательность одноклассников и др.).

Решению этой задачи способствует и создание ситуаций успеха школьников в учебной деятельности. Необходимо создать условия, чтобы каждый из воспи­танников «пережил» радость достижения, успеха, осознал свои возможности, поверил в себя.

4. Опора на личностный, субъектный опыт ученика.

Таким образом, система знаний успешно усваивается не в готовом виде, а фор­мируется в процессе активной самостоятельной умственной деятельности школьни­ка, в результате чего знания становятся достоянием ученика и позволяют ему в оп­ределенных условиях осуществлять творческую деятельность.

Сегодня становится очевидным, что именно гуманитарное образование в первую очередь формирует личность школьника, готовит его жить в меняющемся мире, в информационном обществе, учит человека современным формам общения, развивает способность осваивать информацию и принимать эффективные решения.

Лучшим средством развития личности является такая организация деятельности, которая побуждает учащихся к самостоятельной познавательной и мыслительной активности.

2.2 Методические рекомендации по развитию познавательной активности учащихся.

При выполнении проекта учащиеся попадают в среду неопределенности, но именно это и активизирует их познавательную активность. Принцип активности ребенка в процессе обучения был и остается одним из основных в дидактике. Под этим понятием подразумевается такое качество деятельности, которое характеризуется высоким уровнем мотивации, осознанной потребностью в усвоении знаний и умений, результативностью. Познавательная активность сама по себе возникает не часто, она является следствием целенаправленных педагогических воздействий и организации необходимых условий. Самое сложное для учителя в ходе проектирования - это роль независимого консультанта. Трудно удержаться от подсказок, особенно если педагог видит, что учащиеся в ходе выполнения работы «идут не туда». Школьники свободны в выборе способов и видов деятельности для достижения поставленной цели, им никто не говорит, как и что необходимо делать. Учитель может подсказать источник информации, а может просто направить мысль учеников в нужном направлении для самостоятельного поиска. Но в результате ученики должны самостоятельно или совместными усилиями решить проблему, применив необходимые знания. Важно показать учащимся их личную заинтересованность в приобретаемых знаниях, которые могут пригодиться им в жизни. Для этого необходима проблема, значимая и знакомая для ребенка, для решения которой ему необходимо приложить полученные знания и новые знания, которые еще предстоит приобрести. Даже неудачно выполненный проект имеет большое положительное значение. На этапе самоанализа, а затем защиты учитель и учащиеся подробным образом анализируют логику, выбранную проектировщиками, объективные и субъективные причины неудач, неожиданные последствия деятельности, и т. д. Понимание ошибок создает мотивацию к повторной деятельности, формирует личный интерес к новому знанию, т.к. именно неудачно подобранная информация создала ситуацию «неуспеха».

В основе проектной деятельности очень часто лежит исследовательский метод обучения, которые приучают учащихся работать в сотрудничестве. Исследовательский проект имеет продуманную структуру. Информационные проекты направлены на сбор информации о каком-либо объекте, такие проекты развивают познавательную активность, побуждают к поиску новой информации из различных источников( Интернет, справочники и т. д.)

Заключение.

Известный российский педагог Б. С. Гершунский, определяя приоритеты образовательно-педагогического прогнозирования на 21 век, подчеркнул необходимость исследования «путей повышения эффективности педагогического процесса на основе его принципиальной , переориентации: от преимущественно исполнительной , репродуктивной деятельности учащихся - к преобладанию творческого, поискового начала на всех этапах учебного процесса». Современное общество ставит перед учебными заведениями и перед школой, задачу подготовки выпускников, способных:

гибко адаптироваться в меняющихся жизненных ситуациях, самостоятельно приобретать необходимые знания, умело применять их на практике для решения разнообразных возникающих проблем, чтобы на протяжении всей жизни иметь возможность найти в ней свое место;

самостоятельно, критически мыслить, уметь видеть возникающие в реальной действительности проблемы и искать пути их рационального решения, используя современные технологии; четко осознавать, где и каким образом приобретаемые ими знания могут быть применены в окружающей их действительности; творчески мыслить;

грамотно работать с информацией (умение собирать необходимые для решения определенной проблемы факты, анализировать их, выдвигать гипотезы решения проблем, делать необходимые обобщения, сопоставления с аналогичными или альтернативными вариантами решения, делать аргументированные выводы, применять полученные выводы для выявления и решения новых проблем);

быть коммуникабельными, уметь работать сообща в различных областях, в различных ситуациях, предотвращая или умело выходя из любых конфликтных ситуаций;

самостоятельно работать над развитием собственной нравственности, интеллекта.

Решать эти актуальные задачи педагогики надо эффективно и последовательно, среди разнообразных новых педагогических технологий, является метод проектов. Эта технология предусматривает широкое использование исследовательских, проблемных методов, применение полученных знаний в работе над проектом в совместной или индивидуальной деятельности, развитие не только самостоятельного критического мышления, но и культуры общения, умения выполнять различные социальные роли в совместной деятельности, что, как весьма важно для достижения успеха в жизни.

В современных условиях преподаватель должен сделать все возможное, чтобы ученик испытал радость от приложенных усилий, пережил успех достижения цели. Ученик же, получая теоретически обоснованные способы действий, знания, может самостоятельно вырабатывать подобные способы действий в незнакомых ситуациях или новые способы при решении поставленных проблем. Конечно, примерно треть обучаемых хотят учиться, но хотят делать это в знакомой им манере, они умеют учиться, но предпочитают это делать с помощью известных им средств и способов. С точки зрения теории А. Маслоу, их позиция вполне объяснима, т. е., они субъективно трактуют эффективность обучения через безопасность, они хотят предсказуемости учебных действий. Познавательная мотивация в этом случае бывает высокой. Реализация метода проектов, методики сотрудничества весьма перспективны при изучении математики, работа в указанных формах вызывает у учащихся неподдельный интерес и является результативной. В результате, таких уроков у учителя появляется возможность формирования у учащихся:

-новых учебных умений по самостоятельному добыванию и осмыслению знаний широкого круга;

-новых личностных качеств, самостоятельно выдвигать гипотезы, анализировать, полученную информацию, развивать творческую сторону мышления;

-развития критического мышления, творческой деятельности.

Проектная деятельность позволяет учителю выйти за временные рамки урока, осуществлять исследовательскую деятельность. Изучив геометрические преобразования, учащиеся самостоятельно применили виды движений на квадрате и познакомились с методом кодирования и декодирования, научились составлять решетку для шифрования своих высказываний, применяя квадрат и его самосовмещения. Увидели тесную взаимосвязь между геометрией и алгеброй, при построении графиков функций на основе геометрических преобразований, научились применять их к построению графиков, составлять свои графики с учетом геометрических преобразований.

Проектная деятельность это совместная работа ученика и учителя, во время защиты проекта, учитель выставляет оценку от 0 до 5 баллов по следующим пунктам , обговоренным заранее:

-содержание теоретического материала,

-наличие дополнительного материала, углубление по выбранному вопросу,

-наличие исторического материала,

-количество и уровень представленных задач,

-эстетичность оформления,

-проведение защиты.

В перспективе предстоит работа по составлению межпредметного проекта-физика, математика и история. В качестве заключения заметим, что невозможно заставить человека творить. Как писал фантаст А.Азимов в своем замечательном рассказе "Профессия", человек сам должен прийти к желанию искать, пробовать и ошибаться. И только тот, кто готов отстаивать свое право творить, способен на настоящее творчество, а задача учителя - мотивировать учащихся на это творчество, помочь им делать свои маленькие, а может, (кто знает?) и большие открытия.

Учащихся при выполнении проекта возникают свои сложности, но они носят объективный характер, а их преодоление является одной из ведущих педагогических целей метода проектов. В основе проектирования лежит присвоение новой информации, но процесс этот осуществляется в сфере неопределенности, и его нужно организовывать, моделировать, так как учащимся трудно: намечать и искать пути решения, действовать самостоятельно(без подсказки), и т.д.

1. Реализация метода проектов, методики сотрудничества весьма перспективны при изучении математики; работа в указанных формах вызывает у учащихся неподдельный интерес и является более результативной, нежели на традиционных уроках.

2. В процессе подготовки и проведения подобных уроков у учителя появляется возможность формирования у учащихся:

- новых учебных умений по самостоятельному добыванию и осмыслению знаний широкого круга;

- новых личностных качеств.

Использовав в своей работе метод проектов, можно придти к выводу, что при повторении учебного материала этот метод эффективен, особенно привлекательным является тот факт, что проектное обучение активно влияет на познавательный интерес учащихся.

Приложение.

Задание 1. На каждом из рис. 16-18 укажите центры поворотов, переводящих одну фигуру в другую. Заполните плоскость предложенными фигурами, получив паркеты видов E, F и найдите центры симметрии полученных паркетов, если они есть.

Задание 2. Постройте фигуру, симметричную данной (рис. 12) относительно прямой a, а затем сместите полученную фигуру вниз на четыре клетки. Заполните предложенной фигурой плоскость, получив паркет.

Задание 3.

На рис. 13 показано заполнение плоскости фигурой, дающее паркет. Определите центры симметрии этого паркета. Продолжите заполнение плоскости данной фигурой.

Постройте фигуру, симметричную данной относительно каждой из двух отмеченных точек (рис. 14). Заполните данной фигурой плоскость.

Задание 4. Перенесите рисунок в тетрадь, выберите ось симметрии и постройте фигуры, симметричные данным.

Занятие №3.

Построение графиков, содержащих модуль, на основе геометрических преобразований

Цели: закрепить знания о геометрических преобразованиях, научить применять их к построению графиков с модулем.

Ход занятия

Учитель. Модуль числа принимает только неотрицательные значения. Поэтому, рассматривая функцию y = | ƒ(x﴿ |, логично предположить, что если ƒ ﴾x﴿< 0, то это значение должно быть заменено противоположным. Значит, можно получить следующий алгоритм.

Правило 6. График функции y = | ƒ(x﴿ | получается из графика функции y =ƒ﴾x﴿ следующим образом: часть графика y = ƒ﴾x﴿, лежащая над осью Ox, сохраняется; часть его, лежащая под осью Ox, отображается симметрично относительно оси Ox (см. рис. 1).

Рис. 1

Задания для самостоятельной работы.

1. Постройте график функции y = | 2x - 3 |

2. Постройте график функции y = | 3 ­ x² |

Очевидно, что если рассматривается функция y = ﴾ |x| ﴿, то для отрицательных значений x значения y будут такими же, как для положительных, им соответствующих.

Правило 7. График функции y = ﴾ |x| ﴿ получается из графика функции y =ƒ﴾x﴿ следующим образом: при x ≥ 0 график y = ƒ ﴾x﴿ сохраняется, и эта же часть графика симметрично отображается относительно оси Oy (см. рис. 2).

Рис. 2 Рис. 3

Задания для самостоятельной работы.

1. Постройте график функции y = 3|x| - 2.

2. Постройте график функции y = ƒ ﴾|x|﴿, если график y = ƒ ﴾x﴿ изображен на рис. 3.

Далее можно рассказать еще об одном правиле построения графиков с модулем. Правда, то, что в итоге получается, нельзя будет называть графиком некоторой функции, так как для того, чтобы множество точек координатной плоскости являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая, параллельная оси Oy, пересекалась с указанным графиком не более чем в одной точке. Но поскольку курс называется « Графики улыбаются», а в результате применения следующего правила получаются оригинальные картинки, то можно его рассмотреть.

Правило 8. График зависимости |y| = ƒ﴾x﴿ получается из графика y = ƒ﴾x﴿, если все точки, для которых ƒ﴾x﴿ ≥ 0 сохраняются и они же переносятся симметрично относительно оси абсцисс (см. рис 4).

Рис. 4

Задания для самостоятельной работы.

1. Построить график функции y = 3x -5, затем изобразить |y| = 3x -5.

2. Построить |y| =

3. Построить |y| = 2x² - 5.

Далее, конечно, следует разобрать задания, содержащие сразу несколько модулей, чтобы постепенно увидеть результаты преобразований.

Например, |y| = |2|x|-3|­1.

Запишем порядок построения:

y1 = |x|, y2 = 2|x| - растяжение вдоль оси Oy в два раза.

y3 = 2|x| - 3 - сдвиг вниз на 3.

y4 = |2|x - 3| - симметрия точек графика, для которых y2 <0, относительно оси Ox.

y5 = |2|x|­ 3|­1 - параллельный перенос вдоль оси Oy на -1.

y6 = |y5| - симметрия точек, для которых y5 ≥0 относительно оси Ox. Окончательный вариант графика изображен на рисунке 5.

Рис. 5

Конечно же, следует задать вопрос о том, как видоизменить формулу, чтобы на рисунке не было пропусков. Можно предложить ребятам пофантазировать и достроить рисунок и т.д. Придумать свои формулы для того, чтобы картинка получилась оригинальной.

Задания для самостоятельной работы.

1.Постройте графики:

а) y = |﴾|x|-3﴿² - 2;

б) y =

2.Изобразите в системе координат множество точек функции.

|y| = ﴾|x|+1﴿² - 3.

Можно для проверки усвоения знаний дать тестовое задание, которое ребята будут выполнять, используя свои записи.

Тест

Вариант1

Точка М (2;4) принадлежит графику функции y = ƒ﴾x﴿. Отметьте соответствующие ей точки в результате преобразования этого графика.

Точки

функции

(2;4)

(-2;4)

(2;-4)

(-2;-4)

ответ

y = |ƒ﴾x﴿|

x

y = ƒ﴾|x|﴿

x

x

|y| = ƒ﴾x﴿

x

x

y = |ƒ﴾|x|﴿|

x

x

|y| = |﴾|x|﴿

x

x

x

x

|y| = |ƒ﴾x﴿|

x

x

Вариант2

Точка М (2; -4) принадлежит графику функции y = ƒ﴾x﴿. Отметьте соответствующие ей точки в результате преобразования этого графика.

Точки

функции

(2;4)

(-2;4)

(2;-4)

(-2;-4)

ответ

y = |ƒ﴾x﴿|

x

y = ƒ﴾|x|﴿

x

x

|y| = ƒ﴾x﴿

y = |ƒ﴾|x|﴿|

x

x

x

x

|y| = |﴾|x|﴿

|y| = |ƒ﴾x﴿|

x

x

Список литературы.

1. Аргунов, Б.И. Геометрические построения на плоскости: пособие для студентов педагогических институтов / Б.И. Аргунов, М.Б. Балк. - 2-е изд. - М.: Учпедгиз, 1957.- 268 с.

2. Баранова Т., Кочетков К., Семенов А. Школьный интеллектуальный марафон. Математика// Прил. К газете «Первое сентября», № 5,33,1995, №35, 1999, № 34, 2004.

3. Богданова, Т.А. Геометрические построения ограниченными средствами / Т.А. Богданова, Н.Н. Лебедев - Владимир, 1970.- 86 с

4. Вилейтнер, Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия / Г. Вилейтнер; пер. с нем. под ред. А.П. Юшкевича. - М.: ГИФМЛ, 1960. - 468 с.

5. Воронец, А.М. Геометрия циркуля / А.М. Воронец. Популярная библиотека по математике; под общ. ред. Л.А. Люстерника - М.- Л.: ОНТИ, 1934.- 40 с.

6. Геометрия: учеб. Для 7-9 кл. сред. шк./авт.-сост. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. - М.: Просвещение, 1994.

7. Глейзер, Г.И. История математики в школе / Г.И. Глейзер - М.: Просвещение, 1964. - 376 с.

8. Гордин, Р. К. Это должен знать каждый школьник / Р.К. Гордин - 2-е изд. - М.: МЦНМО, 2003. - 56 с.

9. Дорофеев Г. В., Бунимович Е. А., Кузнецова Л. В., Мишаева С. С., Суворова С. С., Мищенко Т. М. Курс по выбору для 8-9 классов.

10. Депман И. Я., Виленкин Н. Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 классов средней школы. - М.: Просвещение, 1989.

11. Заславский, А. А. Геометрические преобразования / А. А. Заславский - М.:: МЦНМО, 2003. - 67 с.

12. «Избранные вопросы математики»// Журнал «Математика в школе», №10, 2003.

13. Intel «Обучение для будущего» (при поддержке Microsoft). Под ред. Ястребцовой Е. Н.

14. Internet. . Геометрические преобразования и паркеты.

15. История математики: в 3-х т. / под ред. А.П. Юшкевича. - М.: Наука, 1970-1972. - Т. 1: С древнейших времен до начала нового времени. - 1970. - 352 с.

16. История математики: в 3-х т. / под ред. А.П. Юшкевича. - М.: Наука, 1970 - 1972. - Т. 2: Математика XVII столетия. - 1970. - 300 с.

17. История математики: в 3-х т. / под ред. А.П. Юшкевича. - М.: Наука, 1970 -1972. - Т. 3: Математика XVIII столетия. - 1972.- 496 с.

18. Коксетер, Г. Новые встречи с геометрией / Г. Коксетер, С. Грейтцер - М.: Наука, 1978. - 224 с.

19. Костовский, А. Н. Геометрические построения одним циркулем / А.Н. Костовский. - М.: Наука, 1984.- 80 с.

20. Левитин, К.Е. Геометрическая рапсодия / К.Е. Левитин - М.: Знание, 1976. - 144 с.

21. Новые педагогические и информационные технологии в системе образования/ Под ред. Е.С.Полат - М., 2000

22. Перельман, Я.И. Живая математика. Математические рассказы и головоломки / Я.И. Перельман - 8-е изд., пер. и доп. - М., Наука, 1967. - 160 с.

23. Перельман, Я.И. Занимательная геометрия / Я.И. Перельман - М.: АО «Столетие», 1994. - 198 с.

24. Перельман, Я.И. Занимательные задачи и опыты / Я.И. Перельман - М.: Детгиз, 1959.- 528 с.

25. Покровский, В.Г. Геометрические построения на плоскости: учебное пособие / В.Г. Покровский - М.: МЦНМО, 2002.- 98 с.

26. Полат Е.С. Метод проектов на уроках иностранного языка/ Иностранные языки в школе - № 2, 3 - 2000 г.

27. Полат Е.С. Типология телекоммуникационных проектов. Наука и школа - № 4, 1997

28. Понарин, Я.П. Геометрия для 7-11 классов. Планиметрические преобразова­ния / Понарин Я.П. - Ростов-на-Дону: Феникс, 1997.-125 с.

29. Понарин, Я.П. Перемещения и подобия плоскости: пособие для самообразования учителей / Я.П. Понарин, З.А. Скопец- Киев: Радяньска школа, 1981. - 103 с.

30. Пухначев Ю.В., Попов Ю.П. Математика без формул./ Ю.В. Пухначев, Ю.П. Попов - М.: Знание, 1978-79. - вып. 2, 3.

31. Пухначев, Ю.В. Учись применять математику./ Ю.В. Пухначев, Ю.П. Попов- М.: Знание, 1977. - вып. 1.

32. Прасолов, В. В. Три классические задачи на построение / В.В. Прасолов. - М.: Наука, 1992.- 80 с.

33. Рыбкин, Н. Сборник задач по геометрии. / Н. Рыбкин. - М.: Просвещение, 1975

34. Саранцев, Г.И. Сборник задач на геометрические построения / Г.И. Саранцев - М.: Просвещение, 1981. - 112 с.

35. Смогоржевский, А. С. Линейка в геометрических построениях / А.С. Смогоржевский.- М.: Наука, 1984. - 64 с.

36. Современная гимназия: взгляд теоретика и практика/ Под ред. Е.С.Полат - М., 2000.

37. Ушинский К. Д. Собрание сочинений. М., 1950. т. 10

38. Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-9 классов средней школы./ сост. Никольская И. Л. - М.: Просвещение, 1991.

39. Фетисов, А. И. Геометрия в задачах / А. И. Фетисов - М.: Просвещение, 1977. - 192 с.

40. Хонсбергер, Р. Математические изюминки / Р. Хонсбергер - М.: Наука, 1992. - 176 с.

41. Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средней школы. - М.,1981

42. Шарыгин, И.Ф. Задачи по геометрии. Планиметрия / И.Ф. Шарыгин - М.: Наука, 1982. - 160 с.

43. Энциклопедический словарь юного математика/сост. Савин А. П. - М.:Педагогика, 1989.

44. Яглом, И. М. Геометрические преобразования: в 2-х т. / И. М. Яглом - М.: ГИТТЛ, 1955. - Т.1: Движения и преобразования подобия. - 284 с.