Теорема косинусов. Решение задач.

Теорема косинусов. Решение задач.

Цели: научить учащихся применять теорему косинусов и следствия из неё
при решении задач.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Актуализация опорных знаний
   1. Сформулировать теорему о площади треугольника (вычисление площади по двум сторонам и углу между ними).
   2. Сформулировать теорему синусов.
   3. Сформулировать теорему косинусов.
   4. При решении, каких задач, мы уже использовали теорему косинусов? (Нахождение стороны по двум другим заданным сторонам и углу между ними; нахождение угла треугольника по трём известным сторонам.)

3. Решение задач и создание проблемных ситуаций при их решении.
   № 1. Найдите неизвестную сторону и площадь треугольника АВС,
   
   

№ 2. Найдите угол А треугольника АВС, если АВ =АС =1 м, ВС = м. Решение.
Пользуясь теоремой косинусов, получаем: так как AC = b = 1 м, AB = c = 1м , BC = а = м, то

№ 3. Решить задачу № 1031 (в). Выясните, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, если его стороны равны:
9, 5, 6. (По ходу решения учитель задаёт наводящие вопросы.)

Решение. Пусть

Все ли углы нужно находить?
( Достаточно найти наибольший угол - он лежит против большей из сторон, то есть в данной задаче это угол А.)

Можно ли определить вид треугольника, не вычисляя углы треугольника?
(Вариантов ответа только два: «нет» и «да». Но объяснить почему можно иначе - не могут.)
Рассмотрим теорему косинусов и проведём её исследование при различных значениях угла между сторонами a и b:

1. Если угол С острый, то следовательно, .

2. Если угол С прямой, то следовательно, .

3. Если угол С тупой, то следовательно, .

Воспользуемся полученными следствиями из теоремы косинусов при решении следующих задач.

№ 4. Решить задачу № 1031(б). Выясните, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, если его стороны равны: 17, 8, 15.
Решение.

Пусть

Наибольшая сторона треугольника с, поэтому сравним её квадрат с суммой квадратов двух других сторон.

то есть , следовательно, угол С прямой.

треугольник прямоугольный.

№ 5. В треугольнике АВС угол С равен 45^о, АС = 5 см, ВС = 9 см. Найдите угол А.

Решение.
Найдём сторону АВ по теореме косинусов:

;
.
Как будем искать угол А? (Мнения разделились: одни предлагают по теореме синусов, другие - по теореме косинусов. Предлагаю решить 1 варианту по теореме косинусов, а варианту 2 - по теореме синусов.) Двое учащихся у доски воспроизводят свои варианты решений.

Решение 1 варианта.
, тогда

угол А - тупой, А.

Решение 2 варианта.

; тогда
А

Почему получились разные значения одного и того же угла? Задача имеет несколько решений? (Некоторые из учащихся заметили, что сумма получившихся значений угла А равна 180^о и сообщили, что во 2-ом варианте надо было брать угол не 78^о , а 102^о , так как их синусы равны.)

При решении по теореме синусов необходимо было вначале выяснить вид угла А, воспользовавшись следствиями из теоремы косинусов. В нашем случае: , т.к. ; ,
следовательно угол А - тупой.

тогда А.

4. Подведение итогов урока.
   
   
   

5. Домашнее задание: выучить материал пунктов 100-102 (стр. 252-254), решить задачи № 1031(а), 1025(е).