7


  • Учителю
  • Теорема косинусов. Решение задач.

Теорема косинусов. Решение задач.

Автор публикации:
Дата публикации:
Краткое описание: Урок по геометрии в 9 классе (автор учебникаАтанасян Л.С.) «Теорема косинусов. Решение задач». На уроке рассматриваются задачи, решаемые спомощью теоремы косинусов, теоремы синусов, задачи на нахождение площади треугольника. Походу решения создаются проблемные ситуации,
предварительный просмотр материала

Теорема косинусов. Решение задач.

Цели: научить учащихся применять теорему косинусов и следствия из неё
при решении задач.

Ход урока

  1. Организационный момент.

  2. Актуализация опорных знаний
    1. Сформулировать теорему о площади треугольника (вычисление площади по двум сторонам и углу между ними).
    2. Сформулировать теорему синусов.
    3. Сформулировать теорему косинусов.
    4. При решении, каких задач, мы уже использовали теорему косинусов? (Нахождение стороны по двум другим заданным сторонам и углу между ними; нахождение угла треугольника по трём известным сторонам.)

  3. Решение задач и создание проблемных ситуаций при их решении.
    № 1. Найдите неизвестную сторону и площадь треугольника АВС,

№ 2. Найдите угол А треугольника АВС, если АВ =АС =1 м, ВС = м. Решение.
Пользуясь теоремой косинусов, получаем: так как AC = b = 1 м, AB = c = 1м , BC = а = м, то

№ 3. Решить задачу № 1031 (в). Выясните, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, если его стороны равны:
9, 5, 6. (По ходу решения учитель задаёт наводящие вопросы.)

Решение. Пусть

Все ли углы нужно находить?
( Достаточно найти наибольший угол - он лежит против большей из сторон, то есть в данной задаче это угол А.)

Можно ли определить вид треугольника, не вычисляя углы треугольника?
(Вариантов ответа только два: «нет» и «да». Но объяснить почему можно иначе - не могут.)
Рассмотрим теорему косинусов и проведём её исследование при различных значениях угла между сторонами a и b:



  1. Если угол С острый, то следовательно, .

  2. Если угол С прямой, то следовательно, .

  3. Если угол С тупой, то следовательно, .

Воспользуемся полученными следствиями из теоремы косинусов при решении следующих задач.


№ 4. Решить задачу № 1031(б). Выясните, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, если его стороны равны: 17, 8, 15.
Решение.

Пусть

Наибольшая сторона треугольника с, поэтому сравним её квадрат с суммой квадратов двух других сторон.

то есть , следовательно, угол С прямой.

треугольник прямоугольный.


№ 5. В треугольнике АВС угол С равен 45о, АС = 5 см, ВС = 9 см. Найдите угол А.

Решение.
Найдём сторону АВ по теореме косинусов:

;
.
Как будем искать угол А? (Мнения разделились: одни предлагают по теореме синусов, другие - по теореме косинусов. Предлагаю решить 1 варианту по теореме косинусов, а варианту 2 - по теореме синусов.) Двое учащихся у доски воспроизводят свои варианты решений.

Решение 1 варианта.
, тогда

угол А - тупой, А.

Решение 2 варианта.

; тогда
А

Почему получились разные значения одного и того же угла? Задача имеет несколько решений? (Некоторые из учащихся заметили, что сумма получившихся значений угла А равна 180о и сообщили, что во 2-ом варианте надо было брать угол не 78о , а 102о , так как их синусы равны.)

При решении по теореме синусов необходимо было вначале выяснить вид угла А, воспользовавшись следствиями из теоремы косинусов. В нашем случае: , т.к. ; ,
следовательно угол А - тупой.

тогда А.

  1. Подведение итогов урока.


  2. Домашнее задание: выучить материал пунктов 100-102 (стр. 252-254), решить задачи № 1031(а), 1025(е).



 
 
X

Чтобы скачать данный файл, порекомендуйте его своим друзьям в любой соц. сети.

После этого кнопка ЗАГРУЗКИ станет активной!

Кнопки рекомендации:

загрузить материал