«ИЗУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СПОСОБОВ РЕШЕНИЯ НЕГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПРИ ПОДГОТОВКЕ К МАТЕМАТИЧЕСКИМ ОЛИМПИАДАМ»

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа

п.г.т. Осинки муниципального района Безенчукский Самарской области

«ИЗУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СПОСОБОВ РЕШЕНИЯ НЕГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПРИ ПОДГОТОВКЕ К МАТЕМАТИЧЕСКИМ ОЛИМПИАДАМ»

Выполнила:

Смирнова Раиса Михайловна,

учитель математики

ГБОУ СОШ п.г.т. Осинки.

Самара - 2014

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.

Решение задач - это сердцевина, смысл и внутренняя пружина самой математики. Сначала появляется задача, и лишь потом строится теория для ее решения.

Нестандартные задачи во все времена привлекали внимание ученых. Среди них много красивых задач, которые интересно и приятно решать. Но в школе их решением занимаются отнюдь не только «из любви к искусству». Такие задачи развивают абстрактное и логическое мышление, познавательные способности. Нетрадиционные приемы решения задач позволяют полнее раскрыть потенциал школьников. Именно поэтому большинство заданий олимпиад различного уровня проверяют способность ребенка видеть нестандартные пути решения. Не секрет, что для получения высокого балла на ЕГЭ также необходимо решать именно такие задачи.

При подготовке к олимпиаде учащиеся столкнулись с решением сложной алгебраической задачи геометрическим методом, открыв для себя красоту этого решения, его наглядность и простоту.

Мы часто встречаем задачи по геометрии, которые решаются с помощью алгебры (различные уравнения, системы уравнений и т.д.). Менее известны другие случаи, когда арифметические и алгебраические задачи удобно решать на геометрическом языке, но в школе они редко рассматриваются. Если такое задание попадется в тексте ЕГЭ, могут возникнуть проблемы. И даже если и сможем решить такую задачу своими способами, то потратим на это уйму времени, а в режиме экзамена каждая минута на вес золота. Нетрадиционные приёмы решения задач позволяют полнее раскрыть потенциал школьника, приобщить его к творчеству, проиллюстрировать внутриматематические связи.

Актуальность выбранной темы.

С одной стороны это расширит возможности решения задач. С другой стороны, многим учащимся геометрия даётся легче, чем алгебра, и им будет интересно решать такие задачи, хотя малое количество задач в материалах ЕГЭ снизил интерес к её изучению. Это объясняет выбор темы.

Цель работы:

Создать формирование у школьников приёмы и способы решений негеометрических задач геометрическим способом. Показать преимущества геометрического способа решения алгебраических задач, заключающиеся в его наглядности и изящности решения.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Выявить алгебраические задачи, решаемые геометрическими методами, используя различные источники.

2. Рассмотреть достоинства и недостатки данного метода.

Решая первую из поставленных задач, выяснилось, что таких заданий много, это привело к постановке новых задач:

3. Классифицировать найденные примеры по темам:

• рассмотреть способы решения геометрическими методами задач в тригонометрии;

• рассмотреть геометрические методы решения задач, содержащих иррациональность, действия с величинами в отрезках; решение квадратных уравнений с помощью квадрирования прямоугольников; формулы сокращенного умножения; арифметическую прогрессию;

• рассмотреть геометрические методы решения систем;

• рассмотреть векторный метод решения задач;

• рассмотреть способы решения текстовых задач геометрическими методами.

4. Подготовить результаты исследования к виду, готовым к использованию.

Применяя различные методы решения задач, мы тренируем и делаем более гибким своё мышление. Такая тренировка оттачивает навык решения задач, а также способствует более лучшей усвояемости нового материала.

ГИПОТЕЗА: Могут быть сделаны выводы.

1. Решение алгебраических задач геометрическим способом позволит избежать многих сложных вычислений.

2. При подборе задач, изучив дополнительную литературу, мы расширили свои знания в точных науках и расширили свой кругозор.

3. При решении некоторых задач геометрическими методами наблюдалась явно выраженная экономия сил, энергии, а главное времени.

4. Чтобы решить алгебраическую задачу геометрическим методом необходимо иметь навык и «видение» геометрической интерпретации задачи, что является самым сложным в данном методе.

5. Во многих разделах алгебры существуют классы задач, решаемых геометрическими методами.

6. Чтобы решить задачу геометрическими методами необходимо иметь мощную базу знаний по геометрии, т.к. в решении используются: метод площадей, векторная геометрия, свойства геометрических фигур, геометрические неравенства и т.п.

7. Геометрический подход даёт более быстрое, а главное, красивое решение этих задач.

ПРИЛОЖЕНИЕ

1. Системы:

1. Решить систему уравнений:

,

3ху-10у=3

2. Найти S=xy+yz, если x>0, y>0, z>0 и

x²+y²=16,

y²+z²=48,

y²=xz.

3. Найти M=xy+2yz+3xz, если x>0, y>0, z>0 и

4. Сколько пар целых чисел (x;y) удовлетворяет системе неравенств

?

2. Задания, содержащие иррациональность:

1. Решить уравнение

2. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения , если .

3. Доказать неравенство <

4. Доказать, что для положительных a, b, c выполняется неравенство

2. Текстовые задачи:

Поезд проходит расстояние от города А до города В за 10 час. 40 мин. Если бы скорость поезда была на 10 км/ч меньше, то он пришел бы в В на 2 часа 8мин. позже. Определить расстояние между городами и скорость поезда.

2. Задания по тригонометрии:

1. Найти значение выражения: .

2. Найдите

2. Векторы помогают алгебре:

1. Для положительных чисел a, b, c доказать неравенство .

2. Доказать, что для любых x, y, z выполняется неравенство

3. Решить уравнение:

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ

Решая приведенные ниже системы традиционными методами, можно столкнулись с решением уравнений высших степеней и достаточно сложными преобразованиями. Именно поэтому геометрический метод не только упрощает решение, но и делает его прозрачным и изящным. Основной трудностью является увидеть применение данного метода в конкретном примере. В некоторых заданиях, например №1 явно прослеживается неравенство треугольника, а в задании №3 применение данного метода заметить сложно. Недаром этот номер были представлен на всероссийской олимпиаде школьников различных лет.

Задача 1.

Решить систему уравнений:

,

3ху-10у=3

Решение: На координатной плоскости рассмотрим точки А(2;4), В(5;8) и М(х;у). (рис.1)

Рис. 1

Тогда неравенство треугольника МА+МВАВ в координатной форме выглядит так: . Ясно, что равенство возможно лишь в том случае, когда точка М(х;у) принадлежит отрезку АВ. Уравнение прямой АВ имеет вид 4х-3у+4=0. Получаем систему, равносильную исходной:

4х-3у+4=0 x= x=3.5

3ху-10у=3  9y²-52y-12=0 

25 25 y=6

Ответ: (3,5; 6)

Задача 2.

Найти S=xy+yz, если x>0, y>0, z>0 и

x²+y²=16,

y²+z²=48,

y²=xz.

Решение:

На отрезке АВ таком, что АВ=АС+СВ, где АС = z, СВ = х. (рис. 2), как на диаметре, построим полуокружность. Далее, через точку С проведем прямую, перпендикулярную АВ и пересекающую полуокружность в точке D.

Рис. 2

Тогда с учетом третьего уравнения системы CD = у. Из уравнений х²+у²=16 и у²+z²=48 следует, что BD=4, AD=4.

Имеем S= ху+уz =2 S_BCD+2 S_ACD=2 S_ADB=16.

Ответ:16.

Задача 3.

Найти M= xy + 2yz +3xz, если x>0, y>0, z>0 и

Рис. 3

Решение:

Построим отрезки ОВ=, ОС=z и ОА= х такие, что =90°, СОА=120° и ВОА=150° (рис. 3).

Тогда с учетом условия АВ=5, ВС=4, АС=3 и S_ABC=. Но S_ABC=S_BOC+S_COA+S_BOA=.

Теперь, умножив обе части равенства =6 на 4, получим М=24.

Ответ: 24.

Список литературы:

[1] Алфутова Н.Б., Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2009 - 264с.

[2] Колесникова С.И. Математика. Решение сложных задач единого государственного экзамена - 2-е изд., испр.- М.: Айрис-пресс, 2006. - 272с. - (Домашний репетитор: Подготовка к ЕГЭ)

[3] Математика. 9-11 классы: Решение заданий ЕГЭ высокой степени сложности. Основные методы и приемы/ Авт.-сост. М.А. Куканов. - Волгоград: Учитель, 2009. - 223с.

[4] Математика. Областные олимпиады. 8-11 классы/ [Н.Х. Агаханов, И.И.Богданов, П.А.Кожевников и др.] - М.: Просвещение, 2010 - 239с.: ил. - (Пять колец).

[5] Островский А.И., Кордемский Б.А. Геометрия помогает арифметике. М.:ФИЗМАТГИЗ, 1960.

[6] Уфановский В.А. Математический аквариум. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая механика», 2000.

[7] Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 11кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1991. - 384с.

[8] Шарыгин И.Ф., Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 10кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1989. - 252с.

[9] Шахно К.У. Сборник задач по элементарной математике повышенной трудности. Изд. 5-е, стереотипное. Минск, «Вышейш. школа», 1969.

[10] Энциклопедия для детей. [Том 11.] Математика. - 2-е изд., перераб. / ред. Коллегия: М. Аксёнова, В. Володин, М. Самсонов. - М.: Мир энциклопедий Аванта+, Астрель, 2007. - 621с.

[11] Якир М.С., Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. Неожиданный шаг или сто тринадцать красивых задач. Киев: Агрорифма «Александрия». 1993.

Библиотечка «Квант»

[12] Васильев Н., Сендеров В. Про угол и // №2. 1996.

[13] Кушнир И. Геометрические решения негеометрических задач // №11. 1989.

[14] Ясиновый Э.Геометрия помогает решать уравнения // №12. 1984.