Перпендикулярные прямые в пространстве.

Геометрия 10 класс.

Урок по теме: «Перпендикулярные прямые в пространстве».

Цели урока:

Образовательные:

Формировать понятие перпендикулярных прямых в пространстве.

Учиться применять понятие перпендикулярных прямых в пространстве при решении задач.

Развивающие:

Формирование следующих мыслительных операций - анализ, синтез, сравнение, обобщение.

Формирование и развитие поисково-познавательной деятельности.

Воспитательные:

Формирование положительной мотивации учения.

Воспитание внимания.

Воспитание умения работать в коллективе.

Развитие умения слушать и высказывать свою точку зрения.

Структура урока:

1.Актуализации знаний.

Фронтальная беседа о роли вопроса «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве» в геометрии и в окружающей действительности.

Фронтальная беседа с целью мотивации введения определения перпендикулярных прямых в пространстве. Постановка учебных задач.

:--На прошлых уроках мы с вами закончили изучение одной большой темы «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве». Сегодня на уроке мы с вами начнём изучение ещё одной большой и не менее значимой темы под названием «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве». В чём же заключается её значимость?

вывод по данному вопросу:

Во-первых, в окружающем нас мире, помимо параллельных линий и плоскостей, преобладают перпендикулярные линии и плоскости. Поэтому отношение перпендикулярности широко применяется в строительстве, архитектуре, дизайне.

Во-вторых, материал данной темы широко используется при изучении последующих разделов курса, при доказательстве теорем и решении задач.

Поэтому чем лучше мы с вами усвоим данную тему, тем легче нам будет в дальнейшем осваивать новый материал и решать задачи.

Начнём с небольшого повторения.

Вопрос: От какого признака зависят различные случаи взаимного расположения прямых на плоскости? Ответ: От количества общих точек.

Вопрос: Назовите эти случаи взаимного расположения прямых на плоскости.

Ответ: Параллельные прямые и пересекающиеся прямые.

Вопрос: Относительно какого случая взаимного расположения прямых на плоскости мы можем вести речь о перпендикулярных прямых? Ответ: Относительно случая пересекающихся прямых.

Вопрос: Сформулируйте определение перпендикулярных прямых на плоскости.

Ответ: Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.

Вопрос: От каких признаков зависят различные случаи взаимного расположения прямых в пространстве? Ответ: От количества общих точек и от принадлежности одной плоскости.

Вопрос: Если прямые имеют общую точку, то каково будет их взаимное расположение?

Ответ: Прямые будут пересекаться.

Вопрос: Если прямые не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости, то каково будет их взаимное расположение? Ответ: Прямые будут скрещиваться.

Вопрос: Если прямые не имеют общих точек и лежат в одной плоскости, то каково будет их взаимное расположение? Ответ: Прямые будут параллельны.

Вопрос: Относительно какого случая взаимного расположения прямых в пространстве мы можем вести речь о перпендикулярности прямых? Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными? Ответ: (Ученики затрудняются ответить).

Вопрос: Чтобы ответить на этот вопрос мы с вами проведём самостоятельную работу исследовательского характера.

Этап формирования новых знаний и способов действия.

Самостоятельная работа исследовательского характера с целью установления, что нового добавляется к понятию перпендикулярных прямых в пространстве.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1.

Самостоятельная работа исследовательского характера.

Цель: Установить, что нового добавляется к понятию перпендикулярности прямых в пространстве. Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными.

Исследовательская задача: Исследуя взаимное расположение элементов прямоугольного параллелепипеда, и используя аналогию с определением перпендикулярных прямых на плоскости, выделить возможные случаи взаимного расположения прямых, которые можно назвать перпендикулярными. Сформулировать определение перпендикулярных прямых в пространстве.

Задания.

1. Рассмотрите изображение прямоугольного параллелепипеда и установите взаимное расположение прямых и АВ, АD и DС, АD и , и ВD, и , ВС и ?

2. Используя аналогию с перпендикулярностью прямых на плоскости выделите те пары прямых, которые по Вашему мнению являются перпендикулярными. Чему равен угол между этими прямыми?

3. Какой случай взаимного расположения прямых существует в пространстве и не существует на плоскости? Могут ли такие прямые быть перпендикулярными?

4. Установите, какой общий признак характеризует каждый из случаев перпендикулярности прямых в пространстве. Сформулируйте определение.

5. На основании полученных результатов сделайте вывод о том, что нового добавляется к понятию перпендикулярности прямых в пространстве.

6. Приведите примеры перпендикулярных прямых на изображении прямоугольного параллелепипеда, относящихся к различным случаям взаимного расположения.

Обсуждение результатов самостоятельной работы с целью введения определения.

Обсуждение данной самостоятельной работы исследовательского характера проводится по пунктам заданий данной самостоятельной работы. После чего ученики записывают полученное определение в тетрадь:

. Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Обозначение. .

На плоскости перпендикулярными могут оказаться только такие прямые (пересекающиеся):

А вот перпендикулярность в пространстве двух прямых может быть даже в случае если они не пересекаются. Смотри:

прямая a перпендикулярна прямой b, хотя и не пересекается с нею. Как так? Вспоминаем определение угла между прямыми: чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми a b, нужно через произвольную точку O на прямой a провести прямую b'∥b b​′​​∥b. И тогда угол между a b (по определению!) будет равен углу между a и b​′​​.

Лемма

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Закрепление Задачи из учебника. №116 (а)Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 9). Докажите, что и , если .

Доказательство.

ABCD - прямоугольник, так как в параллелограмме ABCD угол .

Прямая В₁С₁ параллельна прямой ВС, а прямая ВС перпендикулярна прямой DС. Значит, по лемме, прямая DС перпендикулярна В₁С₁. Прямая АВ перпендикулярна прямой ВС, а ВС параллельна прямой A₁D₁. Значит, по лемме, прямая АВ перпендикулярнаA₁D₁. Задача доказана.

Рассмотрим другое доказательство факта, что . Угол DCB равен углу между прямыми DC и В₁С₁. Угол DCB - прямой. Значит, прямые DС и В₁С₁ перпендикулярны.

№ 117 .В тетраэдре ABCD - . Докажите, что , где М и N середины ребер АВ и АС.

Доказательство.

MN - средняя линия треугольника АВС. По свойству средней линии, ВС параллельна MN.

Прямые ВС и MN параллельны, а прямые ВС и AD перпендикулярны. Значит, по лемме, прямые AD и MN перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Подведение итогов урока.

Вопрос: Что нового мы узнали сегодня на уроке?

Ответ: Мы сегодня узнали, что нового добавляется к понятию перпендикулярности прямых в пространстве, узнали, какие прямые в пространстве называются перпендикулярными, изучили лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.

Вопрос Сформулируйте определение перпендикулярных прямых в пространстве.

Ответ: Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов.

Вопрос: Относительно какого случая взаимного расположения прямых в пространстве мы можем вести речь о перпендикулярности прямых?

Ответ: Относительно скрещивающихся и пересекающиеся прямых.

Вопрос: Сформулируйте лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.

Ответ: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

</

Приложение 1.Опорный конспект по теме: «Перпендикулярные прямые в пространстве».

Самостоятельная работа исследовательского характера.

Исследовательская задача: Исследуя взаимное расположение элементов прямоугольного параллелепипеда, и используя аналогию с определением перпендикулярных прямых на плоскости, выделить возможные случаи взаимного расположения прямых, которые можно назвать перпендикулярными. Сформулировать определение перпендикулярных прямых в пространстве.

Задания.1. Рассмотрите изображение прямоугольного параллелепипеда и установите взаимное расположение прямых и АВ, АD и DС, АD и , и ВD, и , ВС и ?

2. Используя аналогию с перпендикулярностью прямых на плоскости выделите те пары прямых, которые по Вашему мнению являются перпендикулярными. Чему равен угол между этими прямыми?

3. Какой случай взаимного расположения прямых существует в пространстве и не существует на плоскости? Могут ли такие прямые быть перпендикулярными?

4. Установите, какой общий признак характеризует каждый из случаев перпендикулярности прямых в пространстве. Сформулируйте определение.

5. На основании полученных результатов сделайте вывод о том, что нового добавляется к понятию перпендикулярности прямых в пространстве.

6. Приведите примеры перпендикулярных прямых на изображении прямоугольного параллелепипеда, относящихся к различным случаям взаимного расположения.

Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.( a.)

На плоскости перпендикулярными могут оказаться только такие прямые (пересекающиеся):

А вот перпендикулярность в пространстве двух прямых может быть даже в случае если они не пересекаются. Смотри:

прямая a перпендикулярна прямой b, хотя и не пересекается с нею. Как так? Вспоминаем определение угла между прямыми: чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми a b, нужно через произвольную точку O на прямой a провести прямую b'∥b b​′​​∥b. И тогда угол между a b (по определению!) будет равен углу между a и b​′​​.

Далее работа с учебником стр.34. Запишите лемму выполните рис 44.