Урок на тему Основные понятия комбинаторики

ПЛАН УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

УД: Математика

Тема: Основные понятия комбинаторики

Цели:

- обучения:

создавать условия для осознанного понимания решения простейших задач на применение элементов комбинаторики; изучить формулы размещения, перестановки и сочетания; сформировать у студентов первичные умения и навыки решения задач.

- развития:

развивать познавательный интерес студентов, логическое мышление, умение применять знания в изменённой ситуации, делать выводы и обобщения; развивать умения сравнивать, систематизировать, обобщать; навыки контроля и самоконтроля.

- воспитания:

формировать научное мировоззрение у студентов, культуру математической речи, информационную и коммуникативную культуру студентов; воспитание дружелюбного отношения друг другу, умение работать в коллективе.

Тип учебного занятия: комбинированный урок

Форма учебного занятия: урок

Используемые технологии:

• Элементы проблемного обучения;

Используемые методы обучения:

• словесный: устный опрос, эвристическая беседа, публичное выступление студентов;

• наглядный: показ иллюстраций;

• практический: решение задач.

Используемые формы организации познавательной деятельности студентов: работа в парах, фронтальная, индивидуальная форма организации познавательной деятельности.

Развитие общих компетенций:

• ОК 4. Осуществлять поиск и использовать информацию, необходимую для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

• ОК 6. Работать в коллективе и команде, взаимодействовать с руководством, коллегами, социальными партнерами

• ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий

Учебно-методическое обеспечение урока:

• дидактические средства и методические средства: тексты самостоятельной работы;

• технические средства: карточка студента, учебная доска.

Учебно-материальное оснащение:

1. Башмаков М.И. Математика: учебник для 10 класса: среднее (полное) общее образование (базовый уровень). - 5-е изд. - М.: Издательский центр «Академия», 2012.

2. Башмаков М.И. Математика: 10 класс. Сборник задач: среднее (полное) общее образование. - 3-е изд. - М.: Издательский центр «Академия», 2011.

Прогнозируемый результат:

Обучающийся должен знать:

• Основные формулы комбинаторики;

• Понятие факториала;

Обучающийся должен уметь:

• решать простейшие комбинаторные задачи;

• анализировать предложенный текст задачи;

• работать в парах, приводить аргументы;

• делать обоснованные выводы.

Преподаватель проверяет готовность к уроку.

Я рада приветствовать всех Вас на сегодняшнем уроке. Все мы с вами пришли на урок с разным настроением, но я надеюсь, что в конце нашего занятия у нас у всех будут только положительные эмоции. Девизом нашего занятия я предлагаю взять слова английского математика Д. Сильвестра

«Число, положение и комбинация -

три взаимно пересекающиеся,

но различные сферы мысли,

к которым можно отнести

все математические идеи»

Английский математик

Джеймс Джозеф Сильвестр

(1814-1897)

Рассказ

Учебная доска

История

2

1

Актуализация знаний, умений и навыков

Прежде чем перейти к изучению нового материала, проведем небольшую разминку по ранее изученному материалу.

Что называется соединениями?

Группы, составленные из каких-либо элементов.

Дайте определение факториала числа.

Факториал числа - это произведение натуральных чисел от 1 до самого числа (включая данное число). Обозначается факториал восклицательным знаком.

Факториал 0 и 1 равен единице.

Вычислите факториалы следующих чисел.

3! =6 5! = 120 6! = 720 7! = 5040

Вычислите значения выражений.

5!+6! = 120+720=840

15!/ (13!(15-13)!) = 15*7=105

Как Вы думаете, для чего мы повторили данные понятия?

Демонстрация, словесный; работают самостоятельно

Учебная доска, карточка студента

Физика, психология

5

Подготовка к активному и сознательному усвоению нового материала

Настроить на позитив.

Математику, физику и психологу задают одну и ту же задачу:

"Монету бросили 100 раз, и все 100 раз выпала решка.

Что выпадет в 101-ый раз?"

Математик: "С вероятностью 1/2 выпадет орёл"

Физик: "Эксперимент показал, что должна выпасть решка"

Психолог: "Выпадет орёл".

Математик с физиком: "Но почему?"

-Ну, как же, всё решка да решка! Орлу ведь тоже хочется!

Сейчас я предлагаю Вам решить задачу.

Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?

ВРФ ВФР РФВ РВФ ФРВ ФВР (6)

Как называются задачи такого типа?

Задачи такого типа называются комбинаторными задачами.

Как называется раздел математики, в котором решаются задачи на составление различных комбинаций?

Комбинаторика.

Как Вы думаете, какова тема нашего занятия?

Какую цель можно поставить? (знакомство с новой темой, применение на практике и в жизни человека)

Каковы задачи нашего занятия?

Словесный, работа в парах, поиск решения задач, формулирование темы урока и задач

Учебная доска, карточка студента

Физика

7

2

Изучение и усвоение новых знаний

Вы сейчас предложили несколько способов решения выше указанной задачи. Но есть более простой способ решения данной задачи - это решение с использованием основных понятий комбинаторики (перестановки, размещения, сочетания). Давайте более подробно остановимся на каждом понятии.

1. Перестановки. Перестановками из n элементов называются такие соединения из всех n элементов, которые отличаются друг от друга порядком расположения элементов.

Число перестановок из n элементов обозначается символом P_n и вычисляется по формуле:

P_n = n!

Вернемся к нашей задаче. Нам известно, что туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?

P_n = n! = 3! = 1*2*3=6 (способов)

Ответ: 6 способов.

Рассмотрим еще одну задачу.

В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?

2. Сочетания. Сочетаниями из n элементов по k в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Количество сочетаний обозначается и вычисляется по формуле

Вернемся к задаче.

Мы рассмотрели два основных понятия комбинаторики. Скажите, о каком понятии мы еще не говорили.

Размещения.

Совершенно верно - размещения.

3. Размещения. Размещениями из n элементов по k в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения. Количество размещений обозначается и вычисляется по формуле

Предлагаю Вам составить задачу на нахождения количества размещений.

Пример. Сколько различных двузначных чисел можно составить из множества цифр , причем так, чтобы цифры числа были различны?

Искомое число чисел

Словесный, работа в парах, эвристическая беседа

Карточка студента

10

3

Первичный контроль знаний

1) Решение простейших комбинаторных задач

Студенты работают у доски, решают простейшие комбинаторные задачи.

Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом?

В студенческой группе 23 человека. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя?

способами.

Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?

2) Найти ошибки в решениях задач:

Проверьте, верно, ли решены задачи:

Сколькими способами из восьми человек можно избрать комиссию, состоящую из пяти членов?

С =

Ответ: 56. (верно)

Сколько четырехбуквенных слов можно образовать из букв слова сапфир?

P₄=4! = 1*2*3*4 =24 (неверно)

А.

3) Студенты работают самостоятельно по вариантам. Взаимопроверка.

1 вариант.

Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6?

Решение. Общее число комбинаций равно числу размещений из 6 элементов по 4

2 вариант.

В группе 10 студентов. Сколькими способами можно выбрать из этой группы троих студентов для участия в конференции?

Решение. Число способов равно числу сочетаний из 10 элементов по 3 элемента:

=120

Самостоятельная работа, работа в парах, публичное выступление

раздаточный материал (карточка с задачами)

13

4

Подведение итогов занятия. Рефлексия

Подведем итоги нашего занятия. Обсуждение и выставление оценок за урок.

Достиг ли ты своих целей? ______________

Оцени степень усвоения: _______________

Продолжи одно из предложений:

"Мне понятно…

"Я запомнил…

"Мне на уроке…

"Я думаю…

Беседа

Карточка студента

5

Домашнее задание

Творческое. Составить сводную таблицу по изученному материалу.

Решить задачу (дифференцированные задачи)

Задача на «3»

1. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 2, 3, 5, 7.

Задачи на «4»

2. Восемь студентов обменялись рукопожатиями. Сколько было рукопожатий?

3. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг из пяти различных по цвету отрезков материи?

Задача на «5»

4. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было выполнять переводы с любого из шести языков на любой из них?

Рассказ

2

Вы молодцы!

Каждый из вас «научился тому, что следует знать».

Спасибо за урок!