Подготовка к олимпиаде по математике - 5 класс. Задания № 1.

ЗАДАНИЯ № 1 (5-ый класс)

1.В день рождения дяди Федора почтальон Печкин хочет выяснить, сколько тому лет. Шарик говорит, что дяде Федору больше 11 лет, а кот Матроскин утверждает, что больше 10 лет. Сколько лет дяде Федору, если известно, что ровно один из них ошибся? Ответ обоснуйте.

1. Петя тратит 1/3 своего времени на игру в футбол, 1/5 - на учебу в школе, 1/6 - на просмотр кинофильмов, 1/70 - на решение олимпиадных задач, и 1/3 - на сон. Можно ли так жить?

3. В примере на сложение двух чисел первое слагаемое меньше суммы на 2000, а сумма больше второго слагаемого на 6.

Восстановите пример.

4. Без ореха (от дупла до орешника) белка бежит со скоростью 4 м/сек, а с орехом (от орешника до дупла) - со скоростью 2 м/сек. На путь от дупла до орешника и обратно она тратит 54 секунды. Найдите расстояние от дупла до орешника. Ответ обоснуйте.

5. Цифры трёхзначного числа A записали в обратном порядке и получили число B. Может ли число, равное сумме A и B, записываться только нечётными цифрами?

6. У двузначного числа первая цифра вдвое больше второй. Если к этому числу прибавить квадрат его первой цифры, то получится квадрат некоторого целого числа. Найдите исходное двузначное число.

7. Петя и Вася участвовали в велогонке. Все участники стартовали одновременно и показали на финише различное время. Петя финишировал сразу после Васи и оказался на десятом месте. Сколько человек участвовало в гонке, если Вася был пятнадцатым с конца?

8. Однажды Миша, Витя и Коля заметили, что принесли в детский сад одинаковые игрушечные машинки. У Миши есть машинка с прицепом, есть маленькая машинка и есть зеленая машинка без прицепа. У Вити есть машинка без прицепа и маленькая зеленая с прицепом, а у Коли - большая машинка и маленькая синяя с прицепом. Машинку какого вида (по цвету, размеру и наличию прицепа) принесли мальчики в детский сад? Ответ объясните.

9. В точке В живет Винни-Пух, а в точках К, С, П и И - его друзья Кролик, Сова, Пятачок и ослик Иа-Иа (см. рисунок). Зимним утром Винни-Пух навестил их всех по одному разу, а потом вернулся домой. При этом он протоптал в снегу 5 прямых тропинок от домика к домику, не пересекающих друг друга. Начертите как можно больше возможных маршрутов Винни-Пуха.

4. Иван, Петр и Сидор ели конфеты. Их фамилии - Иванов, Петров и Сидоров. Иванов съел на 2 конфеты меньше Ивана, Петров - на 2 конфеты меньше Петра, а Петр съел больше всех. У кого из них какая фамилия?

РЕШЕНИЯ к ЗАДАНИЯМ №1:

1. Заметим, что если не ошибся Шарик, то не ошибся и Матроскин, что противоречит условию. Значит, Шарик сказал неправду, в отличие от кота Матроскина. Таким образом, дяде Федору больше 10 лет, но не меньше 11. Следовательно, дяде Федору исполнилось 11 лет.

2. Поскольку 1/5 + 1/6 > 1/3, то сумма данных дробей 1/3 + 1/5 + 1/6 + 1/70 + 1/3 > 1, что противоречит здравому смыслу.

3. Если из суммы двух чисел вычесть одно из слагаемых, то получится другое слагаемое. Из условия следует, что второе слагаемое равно 2000, а первое - 6.

4. Поскольку обратно белка бежит в два раза медленнее, то время, затраченное белкой на обратную дорогу, в два раза больше времени, которое она тратит на дорогу от дупла до орешника. Поэтому время, затраченное на дорогу от дупла до орешника, в три раза меньше времени, затраченного на всю дорогу, то есть равно 54 : 3 = 18 секунд. Следовательно, расстояние от дупла до орешника равно 18 * 4 = 72 метра.

5. Пусть, например, A = 219. Тогда B = 912, A + B = 1131.

6. Первая цифра в два раза больше второй только у следующих двузначных чисел: 21, 42, 63 и 84. Проверкой убеждаемся, что условию задачи удовлетворяет только число 21.

7. Так как Петя оказался на десятом месте, а Вася финишировал перед ним, то Вася занял девятое место. Вася был пятнадцатым с конца, значит за ним финишировало еще четырнадцать человек. Следовательно, в гонке участвовало 23 человека.

8. Если бы Коля принес синюю маленькую машинку с прицепом, то Витя должен был принести машинку с прицепом, но у Вити она зеленая. Значит, Коля принес большую машинку, а Витя не маленькую, то есть машинку без прицепа. Тогда Миша не мог принести машинку с прицепом, и не мог принести маленькую машинку. Значит, Миша должен был принести зеленую машинку без прицепа. Таким образом, каждый из мальчиков принес большую зеленую машинку без прицепа.

10. Иванов съел меньше Ивана, а Петр съел больше всех, значит, Петр - не Иванов. По той же причине Петр - не Петров, то есть фамилия Петра - Сидоров. Иванов - не Иван, значит, Иванова зовут Сидор. Следовательно, Петрова зовут Иван.