Дата

Дисциплина

математика

Тема занятия

Формулы вычисления количества размещений и перестановок.

Вид занятия

Практическое/теоретическое

Цель занятия

• Совершенствовать познания в области математики.

• Познакомиться с понятиями перестановки и сочетания.

• Закрепить полученные знания при решении примеров.

Результат

ПК

ОК

ОК4, ОК6, ОК5

Показатели оценки

результата

Дают определение комбинаторики, основных определений ком-ки

Верно вычисляют все возможные количества перестановок и размещений

дают определения перестановки и размещения

Межпредметные

связи

Обеспечивающие

дисциплины

Экономические и правовые основы

Обеспечиваемые

дисциплины

Экономические и правовые основы

Средства

Учебник, мел, доска, распечатки с лекциями

обучения

Основная

«Математика 10-11 кл.» Башмаков М.И. 2012г.

литература

этапа

Этапы занятия, учебные вопросы,

формы и методы обучения

Временная

регламентация

этапа

1

Организационный этап:

- проверка готовности студентов к занятию;

1мин

- проверка посещаемости;

2мин

- сообщение темы.

1мин

2

Мотивационный момент:

• Развитие представлений о вероятностно-статистических закономерностях в окружающем мире, совершенствование интеллектуальных и речевых умений путем обогащения математического языка, развития логического мышления;

• анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков;

• анализа информации статистического характера.

2мин

- вовлечение студентов в процесс постановки целей и задач занятия

5мин

3

Актуализация опорных знаний

Решить задачи на использование правило суммы и произведения:

Задачи:

1. Сколько существует

а) двузначных

б) трехзначных

в) n-значных натуральных чисел?

Решение:

а) 9∙10=90

б) 9∙10∙10=900

в) 9∙10∙10∙…∙10=9∙10^n-1

2. Каково максимальное количество абонентов могут обслуживаться одной сотовой сетью, если номер семизначный?

Решение:

Эта задача аналогична задаче на составление семизначного числа. Отличие состоит лишь в том, что число не может начинаться с нуля, а телефонный номер - может. Поэтому семизначных номеров 10⁷=10000000.

Ответ: десять миллионов абонентов могут обслуживаться в одной сотовой сети.

3. Каково максимальное количество абонентов могут обслужить операторы всех сотовых сетей?

Решение:

Номер сети состоит из трех знаков, причем первая цифра во всех сетях одинаковая: 9. Поэтому эта задача сводится к решению задачи на составление девятизначного числа, которое может начинаться с нуля. Поэтому все сотовые сети могут обслужить 10⁹=1000000000 абонентов.

Ответ: один миллиард абонентов.

4. Каких чисел - полиандромов больше, семизначных или восьмизначных?

Решение:

Полиандромы - это такие числа, которые читаются одинаково слева направо и справа налево. У семизначного числа - полиандрома на первой позиции может стоять любая из девяти цифр, на второй, третьей и четвертой позициях - любая из десяти. А вот на пятой, шестой и седьмой позициях цифры уже зафиксированы. Таким образом, по правилу произведения семизначных чисел - полиандромов 9∙10∙10∙10∙1∙1∙1=9000. Восьмизначных чисел - полиандромов 9∙10∙10∙10∙1∙1∙1∙1=9000. Так что семизначных и восьмизначных чисел - полиандромов поровну.

Ответ: поровну.

5. Сколько существует всевозможных четырехзначных чисел, состоящих из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7 и содержащих ровно одну тройку?

Решение:

Цифра «3» может занимать любую из четырех позиций. В силу того, что для записи используются всего лишь семь цифр, то на первой позиции, если там не тройка, может находиться любая из пяти цифр, так как нуль не может стоять на первой позиции, а тройка зафиксирована. На остальных позициях, где нет тройки, может находиться любая из шести цифр. Изобразим схему заполнения позиций:

3 6 6 6

5 3 6 6

5 6 3 6

5 6 6 3

В таком случае, по правилу произведения четырехзначных чисел, начинающихся с тройки, 6³, а с тройкой во второй, третьей и четвертой позициях 5∙6². Таким образом, всего четырехзначных чисел, составленных из данных цифр и содержащих ровно одну тройку по правилу сложения 6³+5∙6²∙3=36∙(6+15)=36∙21=756.

Ответ: 756.

6. Сколько существует четырехзначных чисел, кратных пяти и состоящих из цифр 0, 2, 5, 7, 9, если каждое число состоит из различных цифр?

Решение:

Числа, кратные пяти, оканчиваются на «0» или «5». На первой позиции может находиться любая из предложенных пяти цифр, кроме нуля и зафиксированной последней цифры. Изобразим схему заполнения позиций:

4 3 2 0

3 3 2 5

Таким образом, чисел, составленных из предложенных цифр и оканчивающихся на «0» по правилу произведения 4∙3∙2=24, а оканчивающихся на «5» 3∙3∙2=18. Всего чисел, кратных пяти, по правилу сложения 24+18=42.

Ответ: 42.

7. Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых присутствует хотя бы одна четная цифра?

Решение:

По правилу произведения всего шестизначных чисел 9∙10⁵=900000. Для составления чисел, в которых нет ни одной четной цифры, используются пять цифр, поэтому таких чисел 5⁶=15625. Таким образом, чтобы найти количество шестизначных чисел, в которых присутствует хотя бы одна четная цифра, нужно из числа всех возможных вариантов вычесть число неблагоприятных: 900000-15625=884375.

Ответ: 884375.

20 мин

4

Организация усвоения новых знаний:

30 мин

Размещения

-это упрядоченные подмножества данного конечного множества.

Размещения разделяют на размещения с повторениями и размещения без повторений.

Размещения без повторений

Размещения без повторений из n элементов по m

-упорядоченные m-множества,состоящие из элементов n- множества.

Обозначение:

(от фр. "arangement" - размещения)

Общий вид задач:

Имеется n различных предметов.Сколько из них можно составить расстановок?

При этом две расстановки считаются различными, еслт они либот отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, либо состоят из одних и тех же элементов, но расположенных в разном порядке.

Такие расстановки называют размещениями без повторений. При составлении k-размещений без повторений из n предметов нужно сделать k выборов.На первом шагу можно выбрать любой из имеющихся n предметов. Если этот выбор уже сделан, то на второы шагу приходится выбирать из оставшихся n-1 предметов - ведь повторный выбор сделать уже нельзя.Точно так же на третьем шагу для выбора остается лишь (n-2) свободных предметов, на четвертом - n-3 предметов... на k-ом шагу (n-k+1) предметов.Поэтому по правилу произведения получаем, что число k-размещений без повторения из n предметов выражается следующим образом

Пример:

Нужно выбрать президента общества, вице - президента, ученого - секретаря и казначея.Сколькими способами может быть сделан это выбор, если каждый член общества может занимать лишь один пост?

В этом случае нужно найти число размещений (без повторений) из 25 эдементо в по 4.Ведь здесь играет роль то, кто будет выбран в руководство общества и то, какие посты займут выбранные (выбор:президент - Иванов, вице-президент - Татаринов, ученый секретарь - Тимошенко, казначей - Алексеев, отличается от выбора: президент - Тимошенко, вице-президент - Иванов, ученый-секретарь - Татаринов, казначей - Алексеев).Поэтому ответ дается формулой

Размещения с повторениями

Размещения с повторениями

-кортежи длины k, составленные из элементов m-множества.

Обозначение:

(от фр. "arangement" - размещения)

Общий вид задач:

Даны предметы, относящиеся к n различным видам.Из них составляют всевозмохные расстановки по k предметов в каждой - k-расстановки.При этом в расстановки могут входить и предметы одного вида, а две расстановки считаются различными, если они отличаются друг от друга или видом входящих в них предметов, или порядком этих предметов.Нужно найти общее число таких расстановок.

Расстановки указанного типа называются k-размещениями с повторениями из элементов n видов.Число всех таких расстановок можно найти по формуле

Пример:

На флоте иногда применяют семафр флажками.Каждой букве при этом соответствует определенное положение флажков.Как правило, флажки находятся по разные стороны от тела сигнальщика.Однако при передаче некоторых букв (б,д,х,ю,я) оба флажка расположены по одну и ту же сторону.Почему пришлось сделать такое исключение?Ответ на этот вопрос дает формула для размещений с повторениями.Дело в том, что различных положенийкаждого флажка пять - вниз отвесно, вниз наклонно, горизонтально, вверх наклонно и вверх отвесно.Так как используют всего два флажка, то общее число основных положений равно ...При этом еще надо отбросить положение, когда оба флажка направлены вниз - оно служит для разделения слов.Всего получаем 24 комбинации, а этого недостаточно для передачи всех букв руского алфавита.Поэтому для некоторых букв и пришлось направить оба флажка в одну сторону.

Перестановки

-различные упорядоченные множества, которые отличаются лишь порядком элементов (т.е. могут быть получены из того же самого множества).

Перестановки без повторений

Перестановки без повторений

-различные упорядочивания данного n-множества, отличающиеся друг от друга лишь порядком входящих в них элементов.

Обозначение:

(от фр. "permutation" - перестановка)

При составлении размещений без повторений из n элементовы по k получались расстановки. отличающиеся друг от друга и составом, и порядком элементов.Но если брать расстановки, в окторые входят все n элементов, то они могут отличаться друг от друга лишь порядком входящих в них элементов.Такие расстановки называют перестановками из nэлементов, или n-перестановками.

Можно также сказать, что перестановками из n элементов называют всевозможные n- расстановки, каждая из которых содержит все эти элементы по одному разу и которые отличаются друг от друга лишь порядком элементов.Формула для сразу получается из формулы для числа размещений без повторений.А именно

Пример:

Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не могли бить друг друга?

Ясно, что при таком расположении на каждой горизонтали и каждой вертикали стоит по одной ладье.Возьмем одно из этих расположений и обозначим через номер занятого занятого поля на первой горизонтали, через - на второй горизонтали, ..., через - на восьмой горизонтали.Тогда

будет некоторой перестановкой из чисел 1, 2, ...,8 (ясно, что среди чисел нет ни одной пары одинаковых, так как иначе две ладьи попали бы на одну и ту же вертикаль).

Обратно, если - некоторая перестановка чисел 1, 2, ...,8, то ей соответствует некоторое расположение ладей , при котором они не могут бить друг друга.Например, на рисунке изображено расположение ладей, соответствующих перестановке 7 5 4 6 1 3 2 8.Таким образом, число искомых расположений ладей равно числу перестановок чисел 1, 2, ...,8, т.е. Р(8).Но.

Значит ладьи можно расположить требуемым образом 40320 способами.

Перестановки с повторениями

Ранее переставлялись предметы, которые были попарно различны.Если же некоторые переставляемые предметы одинаковы, то получается меньше перестановок-некоторые перестановки совпадают друг с другом.В этом случае речь идет о перестановках с повторениями.

Перестановки с повторениями

Перестановкой с повторениями состава из букв называют любой кортеж длины в который буква входит раз,..., буква -раз.

Обозначение:

(от фр. "permutation" - перестановка)

Общий вид задач:

Имеются предметы k различных типов.Сколько перестановок можно сделать из n1 элементов первого типа, ...,nk элементов k-го типа?

Число элементов в каждой перестановке равно .Поэтому если бы все элементы были различны, то число перестановок равнялось бы n!.Но из-за того, что некоторые элементы совпадают, получается меньшее число перестановок.Действительно, возьмем, например, перенстановку в которой сначала вписаны все элементы первого типа, потом все элементы второго типа,..., наконец, все элементы k-го типа.элементы первого типа можно переставлять друг с другом способами.Но так как все этиэлементы одинаковы, то такие перестановки ничего не меняют.Точно так же не меняют перестановок элементов второго типа,..., перестановок элементов k-го типа.

Перестановки элементов первого типа, второго типа, и т.д. можно делать независимо друг от друга.Поэтому (по правилу приизведения) элементы перестановки можно переставлять друг с другом способами так, что она остается неизменной.То же самое верно и для любого другого расположения элементов.Поэтому множество всех n!перестановок распадается на части, состоящие из одинаковых перестановок каждая.Значит число различных перестановок с повторениями, которые можно сделать из данных элементов, равно где .

Итак, число перестановок с повторениями можно подсчитать по следующей формуле:

Пример:

Сколько различных перестановок можно составить, переставляя буквы слова "март"?

Используя формулу для числа перестановок с повторениями, получим 24 различные перестановки. А именно:

март рамт мтра ртма

матр мтар ратм ртам

мрат рмат рмта мрта

трам тмар амтр артм

тарм атрм атмр тамр

амрт армт трма тмра

5

Закрепление полученных знаний:

25 мин

Задача 1

Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом?

Решение: используем формулу количества перестановок:

Ответ: 120 способами

Невероятно, но факт. Обратите внимание, что здесь не имеет значения круглый ли стол, квадратный, или вообще все люди сели встали, легли на скамейку вдоль одной стены - важно лишь количество объектов и их взаимное расположение. Помимо перестановок людей, часто встречается задача о перестановках различных книг на полке, но это было бы слишком просто даже для чайника:

Задача 2

Сколько четырёхзначных чисел можно составить из четырёх карточек с цифрами 0, 5, 7, 9?

Для того чтобы составить четырёхзначное число нужно задействовать все четыре карточки(цифры на которых различны!), и это очень важная предпосылка для применения формулы Очевидно, что, переставляя карточки, мы будем получать различные четырёхзначные числа, … стоп, а всё ли тут в порядке? ;-)

Хорошенько подумайте над задачей! Вообще, это характерная черта комбинаторных и вероятностных задач - в них НУЖНО ДУМАТЬ. И зачастую думать по-житейски, как, например, в разборе вступительного примера с фруктами.

Задача 5

Боря, Дима и Володя сели играть в «очко». Сколькими способами им можно сдать по одной карте? (колода содержит 36 карт)

Решение: ситуация похожа на Задачу 4, но отличается тем, что здесь важно не только то, какие три карты будут извлечены из колоды, но и то, КАК они будут распределены между игроками. По формуле размещений:

способами можно раздать 3 карты игрокам.

Есть и другая схема решения, которая, с моей точки зрения, даже понятнее:

способами можно извлечь 3 карты из колоды.

Теперь давайте рассмотрим, какую-нибудь одну из семи тысяч ста сорока комбинаций, например: король пик, 9 червей , 7 червей. Выражаясь комбинаторной терминологией, эти 3 карты можно «переставить» между Борей, Димой и Володей способами:

КП, 9Ч, 7Ч;

КП, 7Ч, 9Ч;

9Ч, КП, 7Ч;

9Ч, 7Ч, КП;

7Ч, КП, 9Ч;

7Ч, 9Ч, КП.

И аналогичный факт справедлив для любого уникального набора из трёх карт. А таких наборов, не забываем, мы насчитали . Не нужно быть профессором, чтобы понять, что найденное количество сочетаний следует умножить на шесть:

способами можно сдать по одной карте трём игрокам.

По существу, получилась наглядная проверка формулы</<font color="#000000"> , окончательный смысл которой мы проясним в следующем параграфе.

Ответ: 42840

Возможно, у вас остался вопрос, а кто же раздавал карты? …Наверное, преподаватель =)

И чтобы никому не было обидно, в следующей задаче примет участие вся студенческая группа:

6

Подведение итогов занятия:

2мин

- обсуждение и оценка результатов самостоятельной работы

- выставление оценок.

Рефлексия.

7

Домашнее задание: повторение пройденного материала

3мин

Повторение пройденного материала

И если есть самостоятельная работа, то задания и форма контроля самостоятельной работы

90 минут

Преподаватель ________________________________________ Мрясова Э.М.