Тема: Решение тригонометрических уравнений.

Отбор корней по заданным условиям.

Цели урока:

1. Образовательные - обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы.

2. Развивающие - способствовать формированию умений применять приемы отбора корней при решении тригонометрических уравнений.

3. Воспитательные - содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, общей культуры.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

План урока.

1. Оргмомент.

2. Самостоятельная работа.

3. Решение тригонометрических уравнений. Отбор корней по заданным условиям.

4. Выполнение упражнений.

5. Итоги урока.

6. Домашнее задание.

1. Организационный момент

На сегодняшнем уроке мы будем отрабатывать способы отбора корней при заданных условиях используя тригонометрические неравенства.

2. Самостоятельная работа.

Вариант 1

1. Найдите все решения уравнения cos 2x + sin²x + cos x = 0, принадлежащие отрезку [-; ];

2. Решите уравнение cos²x + 6sin x - 6 = 0

Ответы:

1. cos 2x + sin²x + cos x = 0; cos²x - sin²x + sin²x + cos x = 0;

cos x (cos x + ) = 0; cos x = 0 (поскольку cos x +  0). Промежутку [-; ] принадлежат два решения два решения этого уравнения:  и .

Ответ:  ; .

2. cos²x + 6sin x - 6 = 0; 1 - sin²x + 6sin x - 6 = 0; sin²x  6sin x + 5 = 0; sin x = t; t² - 6t + 5 = 0; t₁ = 5; t₂ = 1.

sin x = 5 корней нет;

sin x = 1; x = + 2k, kZ.

Ответ: x = + 2k, kZ.

Вариант 2

1. Найдите все решения уравнения , принадлежащих промежутку [-; ];

2. Решите уравнение cos 2x + 8sin x = 3.

Ответы:

1. ; 4cos x + 2sin x =  cos x + 7sin x

cos x - 7sin x  0

5cos x = 5sin x; cos x = sin x.

Нули косинуса не являются корнями последнего уравнения, значит, его можно разделить на cos x:

tg x = 1; x = , nZ.

При этих значениях cos x - 7sin x  0.

Промежутку [-; ] принадлежат корни  и ;

Ответ:  ; .

3. Решение тригонометрических уравнений. Отбор корней по заданным условиям.

Сегодня на уроке мы рассмотрим еще несколько решений тригонометрических уравнений с отбором корней по заданным условиям.

Пример №1.

Найти все корни уравнения (1 + tg²x)·sin x - tg ²x + 1 = 0, удовлетворяющее неравенству tg x  0.

Решение: (1 + ) sin x +1 = 0

tg x  0

sin x tg x

В приведенном решении одним из элементов

обоснования является тригонометрический круг,

на котором изображены множества решений

0 уравнений и неравенства системы и из которого

сразу видно, как образуется пересечение этих

множеств. Однако в случае необходимости

последнюю систему можно решить и

аналитически следующим образом (заметим, что тригонометрический круг при этом помогает хотя бы выработать гипотезу о принципе отбора корней).

Рассмотрим три случая:

1. sin x = 1, решений нет, ибо если sin x = 1 то cos²x = 1 - sin²x = 0, и

tg x не существует;

tg x  0

2. x =  + 2n, nZ; x =  + 2n, nZ

tg x  0

так как tg =tg 0;

3. x =  + 2m, mZ; решений нет, так как

tg x  0 tg=tg 0.

Ответ:.

Пример №2.

Решить уравнение 2sin (3x +) = .

Решение: 4sin²(3x + ) = 1 + 8sin 2x cos²2x,

2sin (3x + )  0

2 - 2cos (6x + ) = 1 + 4sin 4x cos 2x,

sin (3x + )  0

1 + 2sin 6x = 2(sin 6x + sin 2x), sin 2x = ,

sin(3x + )  0 sin(3x + )  0.

Рассмотрим два случая:

1) x = + n, nZ; x = + n, n =0, 2, 4,…,

sin 0

так как sin = sin = (1)ⁿ;

2. x = + m, mZ; x = + m, m = 1, 3, …,

sin  0

так как sin = sin = (1)^m+1.

Ответ: + n, + (2m + 1), n,mZ.

4. Выполнение упражнений

1. Решите уравнение sin x = cos x

Решение: sin x = cos x

3sin²x = cos²x

sin x  0

3sin²x = 1 - sin²x; 4sin²x = 1; учитывая неравенство sin x  0, получаем sin x = ;

x = (1)ⁿ · + n, nZ;

Ответ: (1)ⁿ · + n, nZ;

2. Найти решение уравнения cos 4x = 2cos²(  x), принадлежащее

[ 0; ].

Решение: cos 4x = 2cos²(  x);

2cos²2x - 1 + 2cos²x = 0;

2cos²2x + (2cos²x - 1) = 0;

2cos²2x + cos 2x = 0;

cos 2x (2cos 2x + 1) =0;

cos 2x = 0 или 2cos 2x + 1 = 0;

x = + , nZ; x =  + k, kZ;

при n = 0; x₁ = принадлежит отрезку [0; ].

5. Итоги урока

Несколько уроков мы с вами повторяли решение тригонометрических уравнений и отрабатывали умение отбирать корни уравнения по заданным условиям. Учились избегать неприятностей в ответах надеюсь нам это удалось.

6. Домашнее задание