Обобщающий урок по математике Решение показательных уравнений 11 класс

Обобщающий урок по алгебре и началам анализа в 11 классе

Тема урока «Решение показательных уравнений»

Учитель математики

МОУ «Арабосинская СОШ»

Кузьмина Юлия Николаевна

Цель урока:

*Уметь определять тип показательного уравнения.

*Знать способы решения показательных уравнений.

*Уметь применять эти способы при решении показательных уравнений.

*Подготовиться к ЕГЭ.

Оборудование: 4 компьютера, мультимедипроектора.

Ученица: «Здравствуйте.

Указом Президента ЧР Николая Федорова от 20 ноября 2006 года этот 2007 год объявлен Годом ребенка. Сегодня мы рады нашим родителям, всем кто присутствует на нашем уроке. Нам будет очень приятно и в дальнейшем часто видеть вас в стенах нашей школы: и на уроках, и на внеклассных мероприятиях. Мы постараемся оправдать ваши доверия. Спасибо».

Учитель: Эпиграфом к уроку я взяла слова английского философа

Герберта Спенсера:

Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы.

Это значит, что мы должны отложить полученные знания крепко в памяти так, чтобы в любое время могли вспомнить и применить их в практике.

«Решение показательных уравнений»

Цель урока:

*Уметь определять тип показательного уравнения.

*Знать способы решения показательных уравнений.

*Уметь применять эти способы при решении показательных уравнений.

* Подготовиться к ЕГЭ.

Оборудование: 4 компьютера, мультимедипроектора.

Ход урока.

I. Оргмомент.

II. Повторение.

На доске незаконченные равенства свойств степеней и корня п-ой степени. Надо дописать равенства. (Работают 2 ученика у доски)

(Остальные ученики работают вместе с учителем.)

Ответить на вопросы.

1. Какая функция называется показательной?

2. Перечислите свойства показательной функции?

3. Какое уравнение называется показательным?

4. Какие виды показательных уравнений вы знаете?

5. При каких значениях b уравнение а^х = b имеет корень?

6. Сколько корней имеет уравнение а^х = b?

7. Какова алгебраическая связь между выражениями у₁= а^х и у₂= а^кх?

8. На доске построены схематически графики функций. Найдите соответствия между функциями и их графиками.

а) у = 3^׀х׀

б) у = -2۰3 ^х (ответ с полным объяснением)

в) у = 2 ^׀х-1׀

г) у = 1

5^-х

д) у = 2^х-1

ж) у = 2^-х

з) у = 1

2^1-х

и) у = 3^х ۰ 4^х

к) у = -2 ۰ 1

3^-х

9 . Найдите наибольшее и наименьшее значения функций:

а) у = 5^х на [-2;2]

б) у = 5^-х на [0;3]

в) у = 3^х + 4^х на [-1;1] (ответ с полным объяснением)

г) у = -2۰ 3^х на [-1;1] .

III. Решение уравнений.

4 ученика приглашаются работать на компьютере. Надо выполнить тестовые задания. Если почувствуете затруднения, то можете попросить помощь зала. Пока еще не экзамен, вы только учитесь. (Выяснить, кому кто будет помогать в случае необходимости). Остальные ученики работают вместе с учителем.

1) (На экране уравнения) К какому типу показательных уравнений относится эта группа уравнений? Как решаются такие уравнения?

а) 2007^х = -1

б) 99^х = 0

д) 1 = 36

6^х

м) 27 ^х = 3 ^4-х

и) 7^х = 7^2-х

ж) 3^х =_1_

⁴√27

з) 0,3^х = 1000

27

и) 7^х = 7^2-х

к) 5 ^{х - 5х + 8} = 25

л) 2 ^х۰3 ^х+1 = 108

Простейшие показательные уравнения а^х = b, где а ›0, а ≠0

решаются методом уравнивания показателей степеней с одинаковыми основаниями. Уравнение а^{f (x)} = а^{g (x)} равносильно уравнению f (x) = g (x) при а ›0, а≠0 .

( Два ученика решают на доске уравнения л, м. Остальные устно решают уравнения а, б, ж, и, н, о.

2) (На экране уравнения) К какому типу показательных уравнений относится эта группа уравнений? Как решаются такие уравнения?

а) 7^х+2 -1/7 ۰ 7^х+1+14 ۰ 7^х-1 = 350

б) 5 ۰2^√x-3·2^√x-1=56

в) 2^x+2^x+1+2^x+2+2^x+3=30

г) 7·5^x+90=5^x+2

д) 4^x+3+2^2x+2=34

(Один ученик решает на доске пункт а, остальные ученики решают самостоятельно пункт в, а затем вместе проверяют решения) .

Показательные уравнения, приводящиеся к линейному.

Вынести за скобки степень с наименьшим показателем. Разделить обе части уравнения на общий числовой множитель и уравнение приводится к простейшему виду.

3) (На экране уравнения) К какому типу показательных уравнений относится эта группа уравнений? Как решаются такие уравнения?

а) 2 ^х-1 - 3^х = 3^х-1 - 2^х+2

б) 4^x+1-3^x=3^x+2-4^x

в) 4^x ۰5^2x+1=6·10^x

г) 2^3х ۰3^х - 2^3х-2 ۰ 3^х+1 = - 228

(Один ученик решает на доске пункт а с комментированием).

Показательные уравнения, линейные относительно двух показательных функций с основаниями, не выражающиеся «удобно» друг через друга.

Привести уравнение к виду а^{f (x)} = b ^{f (x)}

и разделить обе части уравнения на b ^{f (x)}

4) (На экране уравнения) К какому типу показательных уравнений относится эта группа уравнений? Как решаются такие уравнения?

а) 7^2х - 6 ۰7^х + 5=0

б) 4^х - 10 ۰2^х-2 = 24

в) 3^х + 3^1-х = 28

3

г) ﴾3^x+3^-x)/(3^x-3^-x)=2

д) 4^х + 6^х = 2 ۰9^х

⁽слабые ученики решают пункт а, а сильные- г, решения проверяются с помощью экрана).

Показательные уравнения, приводящиеся к квадратному.

Ввести новую переменную. Но некоторые уравнения надо преобразовать, прежде чем оно приобретет вид квадратного уравнения. Пусть а^х = m, то а^2х = m² .

(Лучше латинские буквы a, b, c, x, y, z не использовать, потому что они часто используются при работе с функциями и решении уравнений).

5) Определите тип показательного уравнения.

1. 4^x+1+4^x = 320

2. 2۰3^x+1-4۰3^x-2 = 450

3. 5^x+3۰5^x-2 = 140

4. 10۰2^x-4^x = 16

5. 5^x-5^{3 -x} = 20

6. 3^x+1+18۰3^-x = 29

7. 2۰3^x+1-5۰3^x-2 = 81

8. 49^x-6۰7^x+5 = 0

9. 5^2x-7^x-35۰5^2х + 35 ۰ 7^х

10) 4^2х - 1 ۰4^4х =1

2

11) 2^х + 12 ۰ 2^-х = 9,5

12) 2^3х ۰3^х - 2^3х-2 ۰ 3^х+1 = - 228

13) 5^2х-3 = 2 ۰ 5^х-2 + 3

VI. а) Самостоятельная работа для слабых. (Выполняют на местах на листочках).

Решите уравнения.

1) 3^х+1 = 9

2) 3^х +4 ۰ 3^х+1 = 13

3) 3^2х+ 3 ۰ 3^х -18 = 0

б) Сильные ученики решают более сложные уравнения на доске с объяснением.

а) 2^√х+1₌16 ^{√ 0,25 -х/4}

б) 2^2х+1-3∙ 10^х - 5^2х+1= 0

в) (5+ 2√6)^х+(5- 2√6)^х= 10

5. Итог урока.

Ответить на вопросы.

Какие типы показательных уравнений вы знаете?

Как решаются простейшие показательные уравнения?

Как решаются показательные уравнения, приводящиеся к линейному?

Как решаются показательные уравнения, линейные относительно двух показательных функций с основаниями, не выражающиеся «удобно» друг через друга?.

Как решаются показательные уравнения, приводящиеся к квадратному ?

Задание на дом: Каждый ученик находит по 5 уравнений того вида, методы решений которых рассмотрели на уроке. Можно пользоваться любым источником.

(Проверить решение уравнений у учащихся, работавших на компьютере).

Полученные ответы заносим в таблицу и получим :

«Выпускник, помни об экзаменах!»А1

А2

А3

А4

А5

В1

В2

А1

А2

А3

А4

А5

В1

В2

А1

А2

А3

А4

А5

В1

Я надеюсь, что знания, полученные вами на данном уроке превратятся в умственные мышцы, и вы умело примените их на экзамене

( Задания для выполнения на компьютере).

Решите уравнения и ответы занесите в таблицу.

А1. 5^х = 0,2

а) -3 б) 0 г) 3 в) -1

А2. 2^х+1 = __1_

2^х-1

а) 1 ы) 0 э) 2 ф) 0,2

А3. Найти корень уравнения, принадлежащий промежутку [0; 3).

₂

5^{х - 5х + 8} = 25

ж) 2 м) 1 п) 2 э) 3

А4. 3^2х = 9

m) 0 с) 2 y) 1 к) 4

А5. 6^3х = ⁴√5³

с) 0.25 в) другое решение ж) 1 n)0

В1. 2^х+1 + 4 ۰ 2^х - 2^х+2 =8

к) 2 п) 3 с) 4 е) нет решений

₂

В2. 3^{х - 3х + 4} = 0

m) 1 n) 2 с) 0 н) нет решений

А1

А 2

А3

А4

А5

В1

В2

ОТВЕТЫ: А1 А2 А3 А4 А5 В1 В2

1 компьютер в ы п у с к н

2 компьютер и к , п о м н

3 компьютер и о б э к з а

4 компьютер м е н а х !