Конспект урока по математике Числовая последовательность (9 класс)

Конспект урока алгебры, 9 класс.

Тема «Числовые последовательности».

Цели урока:

- закрепить знание способов задания числовой последовательности;

- изучить свойства числовых последовательностей и научиться применять их в

ходе выполнения упражнений;

- развить логическое мышление учащихся;

- проверить знания учащихся (самостоятельная работа в виде теста).

Оборудование: мультимедиапроектор, ПК, презентация, доска, мел, указка.

Урок - закрепления по теме «Числовые последовательности. Определение числовой последовательности и способы её задания», поэтому ведущая роль принадлежит учащимся.

Ход урока.

I. Сообщение темы и цели урока.

1). закрепить знание способов задания числовой последовательности;

2). изучить свойства числовых последовательностей и научиться применять их в ходе выполнения упражнений;

3). Самостоятельная работа в виде теста.

II.Вопросы.

Вопросы проектируются на экран мультимедиапроектором:

1. Назовите способы задания числовой последовательности и опишите каждый из способов

Ответ: - Аналитический (Последовательность задана аналитически, если указана формула её n-го члена у_n = f(n)

- Словесный (Последовательность описана словами, а не формулами)

- Рекуррентный (Он состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-ый член последовательности, если известны её предыдущие члены)

Тест (Тест выполняется в течении урока на листочках. В ответ записывать букву, которая соответствует правильному решению. В результате получится задуманное слово)

Вопросы проектируются на экран мультимедиапроектором:

1. Найти второй член последовательности, заданной рекуррентным способом

у_n = 1, y_n = y_n-1 + 2 (n = 2,3,4, …)

И (2) Ф (3) М (5)

2. Выберите член последовательности (уn ), который следует за y_n+9

Е (у₁₀) О (у_n+8) И (y_n+10)

3. Выберите член последовательности (у_n ), который предшествует члену y_2n

Б (у_{2n -1}) О (у_{2n +1}) Р (у_n)

III. Устные упражнения.

Работа устно с мультимедиапроектором.

Задание 1 Составьте математическую модель следующей задачи.

Сосулька тает со скоростью 5 капель в минуту. Сколько капель упадёт на землю через 1 мин, 2 мин, 3 мин, 17 мин и т. д. от начала таяния сосульки? Является ли эта математическая модель числовой последовательностью?

Ответ: y = 5n

y₁ = 5*1 = 5

y₂ = 5*2 = 10

y₃ = 5*3 = 15

y₄ = 5*4 = 20 эта математическая модель является последовательностью

Задание 2 Найдите несколько начальных членов возрастающей последовательности всех натуральных чисел, кратных семи. Укажите её восьмой, десятый, тридцать седьмой, n-ый члены.

Ответ: х = 7n

х₁ = 7*1 = 7 х₈ = 7*8 = 56

х₂ = 7*2 = 14 х₁₀ = 7*10 = 70

х₃ = 7*3 = 21 х₃₇ = 7*37 = 256

х₄ = 7*4 = 28

Тест

4. По заданной формуле n-го члена последовательности вычислите первые 3 члена последовательности y_n = n² - 4

О (-3, 0, 5) Н (-2, 0, 2) Д (3, 0, 5)

5. Найти третий член последовательности

y_n = n + 1

n² - 8

Н (4) О (-2) К 1

4

6. Найти четвёртый член последовательности у_n = 2ⁿ

О (8) А (16) С (20)

Задание 3 Подобрать формулу n-го члена последовательности 2, 3, 4, 5, …

Ответ: y_n = n + 1

y₁ = 1 + 1 = 2

y₂ = 2 + 1 = 3

y₃ = 3 + 1 = 4

y₄ = 3 + 1 = 5

Тест

7. Подберите формулу n-го члена последовательности 3, 6, 9, 12, 15, …

Ч (3n) В (n + 3) Т (2n + 1)

IV. Работа по теме урока. (отображается на проекторе)

Числовая последовательность - частный случай числовой функции, а потому некоторые свойства функций рассматривают и для последовательностей. Ограничимся свойством монотонности.

Н-р: 1, 3, 5, 7, … ,2n - 1, … последовательность возрастающая

Вопрос: Какая последовательность называется возрастающей?

Опр.1 Последовательность (у_n) называют возрастающей, если каждый её член (кроме первого) больше предыдущего: y₁ < y₂ < y₃ < . . . < y_n < y_n+1 < . . .

Пример 1 (на доске) Доказать, что последовательность является возрастающей y_n = 2ⁿ

Ответ: 2, 4, 8, 16, 32, …

Н-р: 1, 1 , 1 , 1 , … , 1 , … последовательность убывающая

2 3 4 n

Опр.2 Последовательность (у_n) называют убывающей, если каждый её член (кроме первого) меньше предыдущего: y₁ > y₂ > y₃ > . . . >y_n > y_n+1 > . . .

Пример 2 (на доске)Доказать, что последовательность является убывающей

y_n= 1 ⁿ

3

Ответ: 1, 1 , 1 , 1 , 1 , …

3 9 27 81

Н-р: 1, _ 1 , 1 , _ 1 , … , (- 1)^n-1 1 , … немонотонная последовательность

2 3 4 n

Вывод: (обобщим примеры 1 и 2и сделаем вывод)

1. Если n >1, то последовательность y_n = aⁿ возрастает

2. Если 0< n < 1, то последовательность y_n = aⁿ убывает.

-----------Работа оформляется на доске и в тетрадях.)

Ответ: простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17

Квадраты простых чисел: 4, 9, 25, 49, 121, 169, 289

-----------(Работа оформляется на доске и в тетрадях.)

а). Решение: y_n = 3n + 4 в). Решение: y_n = 7n - 2

y₁ = 3*1 + 4 = 7 y₁ = 7*1 - 2 = 5

y₂ = 3*2 + 4 = 10 y₂ = 7*2 - 2 = 12

y₃ = 3*3 + 4 = 13 y₃ = 7*3 - 2 = 19

y₄ = 3*4 + 4 = 16 y₄ = 7*3 - 2 = 26

Ответ: 7, 10, 13, 16, … возрастающая Ответ: 5, 12, 19, 26, … возрастающая

--------- (самостоятельно с проверкой)

а). Решение: y_n = - 2n - 3 в). Решение: y_n = 4 - 5n

y₁ = - 2*1 - 3 = - 5 y₁ = 4 - 5*1 = - 1

y₂ = - 2*2 - 3 = - 7 y₂ = 4 - 5*2 = - 6

y₃ = - 2*3 - 3 = - 9 y₃ = 4 - 5*3 = - 11

y₄ = - 2*4 - 3 = - 11 y₄ = 4 - 5*3 = - 16

Ответ: - 5, - 7, - 9, -11, … убывающая Ответ: - 1, - 6, - 11, - 16, … убывающая

Задание Исследовать на монотонность числовые последовательности

а). х_n = n² + 1

Ответ: 2, 5, 10, 17, … возрастающая

б). х_n = - 6n + 3

Ответ: - 3, - 9, - 15, - 21, … убывающая

в). х_n = (- 1)ⁿ

Ответ: - 1, 1, - 1, 1, … немонотонная

Тест

8. Исследовать на монотонность последовательность y_n = 2n - 2

Ь (убывающая) И (немонотонная) Ч (возрастающая)

9. Какая из следующих последовательностей является убывающей

Иn + 1 М 1 - 1 Ч 5n

n 2ⁿ n + 1

ОТВЕТЫ ТЕСТА ФИБОНАЧЧИ

Леонардо Фибоначчи - Это итальянский математик XIII в.

Автор «Книги абака» (1202г.), в которой говорилось о десятичной системе счисления.

Позже он установил связь с последовательностью чисел, которую он рассмотрел при решении задачи о размножении кроликов. Здесь первые два числа единицы, а каждое последующее равно сумме двух предыдущих.

Поэтому рекуррентную последовательность ещё называют последовательностью Фибоначчи.

Дополнительно №

VI. Рефлексия

Учитель предлагает ученикам ответить письменно на вопросы:

- Мои чувства во время урока?

- Где испытывали трудности?

- Ваше настроение после урока?

- Что на уроке вам понравилось?

VII. Домашнее задание.