Программа элективного курса по математике 'Такие разные уравнения' для 11 класс

ПРОГРАММА ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА ПО МАТАМАТИКЕ В 11 КЛАССЕ

«ТАКИЕ РАЗНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

Маряшина С. А.,

ГБОУ СОШ с. Кошки

Кошкинского района Самарской области

Пояснительная записка

Курс «Такие разные уравнения» рассчитан на 1 час в неделю, 34 часа в год и предлагается ученикам 11 класса физико-математического профиля. Материал данного курса содержит решения уравнений различных типов. Элективный курс направлен на удовлетворение индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника в математике, способствует удовлетворению познавательных потребностей учащихся в методах и приёмах решения уравнений. Содержание курса углубляет «линию уравнений» в школьном курсе математики и не дублирует программу базового изучения алгебры и начал анализа. Здесь подобраны уравнения, для решения которых требуются умения нестандартно мыслить, переносить известные методы решения в непривычные ситуации, проявлять находчивость и сообразительность. Выполнение таких заданий способствуют развитию логического мышления, творческих способностей, прививают навыки исследовательской работы. Именно поэтому при изучении этого элективного курса у старшеклассников повысится возможность намного полнее удовлетворить свои интересы и запросы в математическом образовании. Курс позволит ученикам систематизировать, расширить и углубить знания, связанные с уравнениями, открыть для себя новые методы решения, подготовиться к математическим олимпиадам, сдаче ЕГЭ и экзаменов при поступлении в ВУЗы.

Цели курса:

• обобщить и систематизировать, расширить знания и умения по теме «Уравнения»,

• формировать у школьников компетенции, направленные на выработку навыков самостоятельной и групповой исследовательской деятельности,

• повысить уровень математической подготовки школьников.

Задачи курса:

• формировать навыки применения данных знаний при решении уравнений разных типов,

• подготовить учащихся к ЕГЭ,

• формировать навыки самостоятельной работы, работы в малых группах,

• формировать навыки работы со справочной литературой,

• формировать умения и навыки исследовательской работы,

• способствовать развитию алгоритмического мышления учащихся в стандартных ситуациях.

Формы организации учебного процесса

В ходе изучения курса деятельность учащихся будет включать в себя:

• участие в дискуссиях, круглых столах;

• индивидуальные консультации с учителем;

• самостоятельную организацию деятельности в исследовательских работах;

• работу с дополнительной литературой;

• работу в группах;

• составление отчетов по решению уравнений;

• представление собранного материала;

• презентацию творческой работы.

Около 30% учебного времени отводится на лекции, остальное время ученики работают самостоятельно, занимаются поиском информации, исследовательской деятельностью, участвуют в диспутах. Домашнее задание представлено в виде многоуровневой системы задач, которая предполагает выбор учеником своей образовательной траектории.

Основой проведения занятий служит технология деятельностного метода, которая предполагает включение учеников в процесс самостоятельного получения новых знаний, что позволит учителю проводить разноуровневое обучение. На занятиях будет использован приём проблемного обучения, где ученики самостоятельно, в микрогруппах, в сотрудничестве с учителем выполняют задания, предполагающие исследовательскую деятельность, во время занятий с учениками организуется обсуждение результатов этой работы. Так же занятия можно построить в форме урока - практикума, на которых ученики выбирают себе задания из предложенных учителем, исходя из уровня усвоения материала или норм оценок. Каждый ученик имеет право получить консультацию учителя, а учитель на занятиях выступает как помощник, а не контролёр.

Формы контроля

• участие в диспутах;

• отчет по исследовательской работе;

• собеседование по решению задач;

• самостоятельное изучение некоторых вопросов курса с последующей презентацией.

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

ТЕМА

КОЛИЧЕСТВО

ЧАСОВ

ФОРМА ОРГАНИЗАЦИИ
ЗАНЯТИЙ

ФОРМА КОНТРОЛЯ

ТЕОРИЯ

ПРАКТИКА

Уравнения с модулем

2

6

лекция,

практикум

Проверочная работа, защита решений

Тригонометрические уравнения

2

6

Семинар-практикум

Решенные задания

Иррациональные уравнения

2

6

Семинар

Собеседование, сообщение по теме

Показательные и логарифмические уравнения

2

6

Практикум

Самостоятельная работа

Итоговое занятие

2

Круглый стол

Презентация

Содержание курса

Тема 1. Уравнения с модулем

Изучение темы начинается с повторения понятия модуля (абсолютной величины), дается геометрическая интерпретация понятия |а|, повторяются теоремы: а) модуль суммы, б) модуль разности, в) модуль произведения, г) модуль частного. Большое внимание уделяется построению графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины: у=f|x|; у=|f|x||; |y|=f(x), где f(x)≥0; |y|=|f(x)|.

Учащиеся должны уметь применять алгоритмы построения графиков функций, уметь отображать графики функций относительно координатных осей.

Решение уравнений содержащих знак модуля. Рассматриваются уравнения вида

|f(x)|=a, а≥0,

f|x|=a, f(x)=g(x).

Изучаются уравнения 1-ой и 2-ой степени и уравнения с параметром.

Для решения уравнений применяются следующие методы:

• метод интервалов;

• возведение обеих частей в квадрат;

• метод областей;

• метод учета неявных ограничений.

Учащиеся должны уметь решать уравнения указанных видов и применять при решении различные методы.

Тема 2. Тригонометрические уравнения

Изучение темы начинается с повторения решений простейших тригонометрических уравнений.

Рассматривается решение уравнений:

• основанных на области определения входящих в него функций;

• использование области значений, ограниченности, четности или нечетности функций;

• методом оценки;

• содержащих более одного неизвестного;

• с параметром.

В результате изучения темы учащиеся должны

• уметь применять функционально - графический метод при решении уравнений;

• знать различные методы решения и алгоритм решения уравнений методом оценки.

Тема 3. Иррациональные уравнения

Изучение темы начинается с повторения применения основных методов к решению иррациональных уравнений: возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень и введение новой переменной.

Вводится решение уравнений умножением на сопряженное выражение.

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

• находить область определения уравнения;

• оценивать левую и правую части;

• выбирать рациональный способ решения.

Тема 4. Показательные и логарифмические уравнения

Изучение начинается с повторения свойств показательной и логарифмической функций. При решении логарифмических уравнений используются методы:

• по определению логарифма;

• логарифмирование обеих частей;

• потенцирование;

• введение новой переменной;

• приведение к одному основанию;

• вынесение общего множителя за скобки;

• графический.

При решении показательных уравнений используются методы:

• переход от уравнения a^f(x)=a^g(x) к уравнению f(x)=g(x), где а›0 и а≠1;

• введение новой переменной.

В результате изучения темы учащиеся должны уметь:

• исследовать показательно - степенные и логарифмические уравнения и сводить их к совокупности систем уравнений и неравенств;

• решать комбинированные уравнения.

Итоговое занятие

Итоговое занятие проводится в форме круглого стола с презентациями решений комбинированных уравнений: показательно - логарифмических, логарифмически - показательных, показательно - тригонометрических, тригонометрически - показательных.

Ожидаемые результаты

В результате изучения данного курса учащиеся должны:

• уметь использовать при решении уравнений различные способы;

• уметь обосновывать суждения, давать определения, приводить доказательства;

• уметь находить информацию по интересующей теме;

• уметь проводить самоанализ деятельности и давать ей оценку;

• уметь представлять результат своей деятельности;

• уметь выступать перед публикой;

• знать алгоритмы решения уравнений.

МНОГОУРОВНЕВАЯ СИСТЕМА ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ: «УРАВНЕНИЯ С МОДУЛЕМ»

Метод интервалов

Возведение в квадрат

Базовый уровень

З.З ׀x׀=5

М.З ׀x+2׀=2(3-x)

Н.З. x²+4x-3׀

З.З. ׀x׀=5

М.З ׀x²+11׀=6

Н.З ׀x²-8x׀-9=0

Профильный уровень

З.З ׀x+2׀+׀x-3׀=5

Н.З. ׀x+2׀

М.З ׀x-2׀-׀4-3׀x+1׀׀=1

З.З ׀x-7׀=׀x+9׀

М.З ׀2x-1׀=√(x+5)²

Н.З. √׀1-3loq₂x׀=׀1+loq₂x׀

Конкурсный уровень

З.З ׀׀x²-5x+4׀-4׀=x

М.З ׀(a+1)x-2׀=(a+1)² x²-2ax+2

Н.З.

З.З ׀x׀+׀x+1׀=1

М.З ׀x+1׀+׀x+2׀=2

Н.З ׀׀3-2x׀-1׀=2׀x׀

ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ:

«РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С МОДУЛЯМИ»

Решите уравнения:

1. |3x - 2| = 1

2. |x² + 5x| = 6

3. |x² - 2| = x

4. x - 3 = 1

x² + 2x - 3

5. x² + 5|x| + 6 = 2

x² - 9

6. | x + 1| = x² - 2x - 3

7. |x - 3| - 1 = 1

x + 2

8. ||x + 4| - 2| = 1

9. x ² - 9_ = 1

|x² - 5x + 6|

10. |x + 2| - 4 = 2

|x| - 1

11. |x²+5x + 6| = 1

|x| - 3

12. |x - 2| - 2 |x + 1| + |2x + 5| = 3

Многоуровневая система задач по теме:

«Тригонометрические уравнения»

Простейшие тригонометрические уравнения и сводящиеся к ним

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Базовый уровень

33

М3

Н3

cos x = 1

2 cos 4x = 2

cos x/2 = 1,5

8 sin² x - 6sin x - 5 = 0

8 cos²x + 6 sin x - 3 = 0

sin² x/2 - 2 cos x/2 = -2

Профильный уровень

33

М3

Н3

sin 2 x = П/2

4 cos²x/2 - 3 = 0

4√3sin( 3x -2П/3 ) - 6 = 0

tg x + 3 ctg x = 4

3 sin²2x + sin2x = (sinx - cos)²

2 cos (3П/2 + 2х ) = 3 ctg ( 3П + 2x)

Конкурсный уровень

33

М3

Н3

2cos x² = 1

a sin x = 1

sin2П/х =√2/2

2 sin² x - (2a + 1)sin x + a = 0

a sin² x + cos x = 0

sin⁴ x + cos⁴ x + sin 2x = a

Многоуровневая система задач по теме: «Иррациональные

уравнения»

МНОГОУРОВНЕВАЯ СИСТЕМА ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ:

«Логарифмические уравнения»

Решение уравнений по

Определению логарифма

Введение новой

Переменной

Потенцирование

Б

У

З.З. log ₅x=2

М.З. log ₃(x-2)=2

Н.З. log ₄x=log₄28-log₄7

З.З. lg²_X+3 lg_X -3=0
М.З. 2 log₄²x- log₄x¹³=7
Н.З. lg²_X + lg_X+1=7

З.З. log₂ x= log₂ 5
М.З. log₅(3x-1)= log₅8
Н.З. lg(4x-3)=2lg_X

П

У

З.З. log₄(x²+3x)=7

М.З. log_1,5(ч-1)+

+ log_⅔(2x-3)=1

Н.З . log ₃log₂(2^x+3)+

+log₃ log(0,1^2x-1)=1

З.З. 2log₉²x=2-3 log₉x

М.З. lg³x²- lg²_X³+ lg_X=0
Н.З. log_√2²x+3 log₂ x+ +log_½x=2

З.З. lg(x-½ )= lg(½_X)
М.З. ln(5-x)= ln(½-_X)
Н.З.2(lg_X-lg₆)=lg_X-2lg(√x- 1)

К

У

З.З. lg_X +lg(4x-1)= lg(5x-2)

М.З. log₂(x-2)²+ log₂׀x-2׀=6
Н.З log₄(log₂(log ₃(2x--1))=½

З.З. 2 log₂ x= log₂ x-2
М.З. log_x2+ log₂ x=2,5
Н.З. 3^2loq₃^2X-3^loq₃^2X=6

З.З. log_x (2x²+3)= log_x(x+3)
М.Зlog_x+4(x²-1)= log_x+4(5-x)
Н.З. log_5x-2 2+2 log_5x-2^x=

= log_5x-2(x+1)

ЛИТЕРАТУРА

1.Шарыгин И. Ф. Решение задач. 10 класс. - М.: Просвещение, 1994.

2.Шарыгин И. Ф., Голубев В. И. Факультативный курс по математике. Решение задач.

11 класс. М.: Просвещение, 1991.

3.Учебно-тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ.

4.Фальке Л. Я., Лисничук Н. Н. Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе.

М.: Илекса, 2002.

5.Мирошин В. Обратные тиргонометрические функции. М.: Чистые пруды, 2007.

6.Дорофеев Г. В., Муравин Г. К. Подготовка к письменному экзамену за курс средней школы. М., Дрофа,2000.

7.Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. Практикум по элементарной математике. М.: Просвещение,1991.

8.Дыбов П. Т. Сборник задач для поступающих в ВУЗы. М.: Высшая школа,1998.

9.Приложение «Математика» к газете «1 сентября».

10.Черкасов О. Ю. Якушев А. Г. Математика. Методические указания для поступающих в ВУЗы

11.Севрюков П. Ф. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. М.: Ставрополь, 2006

12.Севрюков П. Ф. Тригонометрические уравнения и неравенства и методика их решения. М.: Ставрополь, 2004

Тема занятия: «Решение показательных уравнений»

Цели: Образовательные:

1. Обобщить знания учащихся по данной теме.

2. Закрепить основные методы решения показательных уравнений.

3. Предоставить каждому обучающемуся возможность проверить свои знания и повысить их уровень.

4. Активизировать работу класса через разнообразные формы работы.

Развивающие:

1. Работать над развитием понятийного аппарата;

2. Развивать навыки самоконтроля.

Воспитательные:

1. Воспитывать ответственное отношение к труду;

2. Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.

Ход урока.

I. Актуализация опорных знаний

(обобщение материала провести фронтально с классом)

1. Дать определение показательной функции

2. Перечислить свойства показательной функции

3. Схематически построить график показательной функции (при а>1, при a<1)

4. Дать определение показательного уравнения

5. Учитывая свойства показательной функции, продолжить равносильность:

II. Математический диктант

(Взаимопроверку провести с использованием мультимедийного проектора и результаты занести в лист контроля)

1. Найти область определения функции

2. Выполнить действия:

3. Решить уравнения:

а) б) в) г)

4. Найти абсциссу точки пересечения графиков функций:

и

III. Программированный контроль

Задание

Ответ

Вариант 1

Вариант 2

1

2

3

4

Решить уравнение

6

2

5

1

-1

2

-2

1

Верный ответ: вариант 1 - 1 2 1; вариант 2 - 3 4 4

Результаты занести в лист контроля

IV. Тренинг. Решение задач в режиме «свободного поиска» (Результаты занести в лист контроля)

Решить уравнение: Ответы:

1. -3,5

2.

3.

V. Тренинг. Решение задач высокого уровня сложности (часть С) (Решение у доски с комментированием)

а) Решить уравнение:

б) При каких значениях параметра a уравнение имеет один действительный корень:

VI. Тест «Проверь себя» (Результат занести в лист контроля)

а) Решить уравнение:

б) При каких значениях параметра p уравнение имеет единственное решение:

VII. Домашнее задание

1. Решить уравнение: а) б)

в) г)

2. При каких значениях параметра a уравнение имеет два действительных корня:

Занятие второе по теме: «Иррациональные уравнения»

Самопогружение

Цель: отработка навыков самостоятельной работы с учебником, дополнительной литературой.

Задача: проработать учебник, ответить на контрольные вопросы.

Начинается самостоятельная работа по учебнику, в это время учитель оказывает индивидуальную помощь отдельным учащимся.

Под контролем учителя учащиеся разбирают подробно примеры 1-6 из учебника. №417-420,422-425 должны сгруппировать по 4 методам.

На доске запись с первого урока:

(1)

(2)

После того, как примеры сгруппированы, приступаем к самостоятельной работе по группам.

Сгруппировать по 4 методам:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8) .

Решить уравнения по группам:

• 1 группа: №2, 4;

• 2 группа: №1.

• 3 группа. №3, 5;

• 4 группа. №6, 8.

Защита от каждой группы по одному примеру. Консультант группы ставит баллы за выполненную работу каждому от 0 до 5 баллов

Домашнее задание: используя дополнительную литературу, подобрать 10 уравнений по данной теме.

.

Занятие третье

Самостоятельная работа

Решить уравнение:

I вариант: ;

II вариант:

III вариант: ;

IV вариант:

На доске Проверка самостоятельной работы.

записать 10 примеров из дополнительной литературы и сгруппировать их по 4 методам.