Подготовка к ОГЭ 2016 по математике.

Подготовка к ОГЭ 2016 по математике.

ТЕСТЫ ОГЭ (ГИА) - 2015 ПО МАТЕМАТИКЕ И.В. Ященко и др.

Вариант 5. Часть 2. Модуль «Геометрия» Задача 26.

Окружности радиусов 45 и 55 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D - на второй. При этом AC и BD - общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Решение.

Рассмотрим трапецию ACO1O2

Данная трапеция прямоугольная, т. к. радиусы перпендикулярны касательной AC (по свойству касательной).

Проведем O2K параллельно AC, O2K=AC, т. к. ACKO2 - прямоугольник. По теореме Пифагора:

(O1O2)2=(O2K)2+(KO1)2

(R+r)2=(O2K)2+(R-r)2

(55+45)2=(O2K)2+(55-45)2

10000=(O2K)2+100

(O2K)2=9900

O2K=30√11=AC

Рассмотрим треугольники OAO2 и OCO1 (cм. Рис.1).

∠AOO2 - общий

∠OAO2=∠OCO1=90°

Следовательно эти треугольники подобны (по первому признаку подобия треугольников).

Тогда, R/r=OC/OA

55/45=OC/OA=(OA+AC)/OA

11/9(OA)=OA+30√11 2/9(ОА)=30√11

OA=135√11

Из подобия этих же треугольников:

R/r=O1О/O2O

R/r=(O2O+R+r)/O2O

55/45=(O2O+55+45)/O2O

11/9(O2O)=O2O+100

2/9(O2O)=100

O2O=450

Обозначим угол ∠AOO2 как α

cosα=OA/ O2O =135√11/450=9√11/30=3√11/10=0,3√11

Посмотрим на треугольники OAE и OCF.

Они прямоугольные по второму свойству хорды ( если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде).

Тогда для треугольника OAE:

cosα=OE/OA

OE=OA*cosα=135√11*0,3√11=40,5*11=445,5

Для треугольника OCF:

cosα=OF/OC

OF=OC*cosα=(OA+AC)*cosα=(135√11+30√11)* 0,3√11=165√11 * 0,3√11=49,5*11=544,5

EF=OF-OE=544,5-445,5=99

Ответ: EF=99.