- Учителю
- Конспект урока по теме Однородные тригонометрические уравнения
Конспект урока по теме Однородные тригонометрические уравнения
Урок по теме: «Однородные тригонометрические уравнения»
Эпиграф: «Величие человека в его способности мыслить».
Блез Паскаль.
Цели урока.
1) Обучающие - познакомить учащихся с однородными уравнениями, рассмотреть методы их решения, способствовать формированию навыков решения ранее изученных видов тригонометрических уравнений.
2) Развивающие - развивать творческую активность учащихся, их познавательную деятельность, логическое мышление, память, умение работать в проблемной ситуации, добиваться умения правильно, последовательно, рационально излагать свои мысли, расширить кругозор учащихся, повышать уровень их математической культуры.
3) Воспитательные - воспитывать стремление к самосовершенствованию, трудолюбие, формировать умение грамотно и аккуратно выполнять математические записи, воспитывать активность, содействовать побуждению интереса к математике.
Тип урока: комбинированный.
Оборудование:
-
Перфокарты для шести учащихся.
-
Карточки для самостоятельной и индивидуальной работы учащихся.
-
Стенды «Решение тригонометрических уравнений», «Числовая единичная окружность».
-
Электрифицированные таблицы по тригонометрии.
-
Презентация</ к уроку (Приложение 1).
Ход урока.
-
Организационный этап (2минуты)
Взаимное приветствие; проверка подготовленности учащихся к уроку (рабочее место, внешний вид); организация внимания.
Учитель сообщает учащимся тему урока, цели <слайд 2> и поясняет, что во время урока будет использоваться тот раздаточный материал, который находится на партах.
2. Повторение теоретического материала (15 минут)
Задания на перфокартах. (6 человек). Время работы по перфокартам - 10 мин (Приложение2)
Решив задания, учащиеся узнают, где применяются тригонометрические вычисления. Получаются такие ответы: триангуляция (техника, позволяющая измерять расстояния до недалеких звезд в астрономии), акустика, УЗИ, томография, геодезия, криптография.
<слайд 5 >.
Фронтальный опрос.
1.Какие уравнения называются тригонометрическими?
2.Какие виды тригонометрических уравнений вы знаете?
3. Какие уравнения называются простейшими тригонометрическими уравнениями?
4. Какие уравнения называются квадратными тригонометрическими?
-
Сформулировать определение арксинуса числа а.
-
Сформулировать определение арккосинуса числа а.
-
Сформулировать определение арктангенса числа а.
8.Сформулировать определение арккотангенса числа а.
Игра «Отгадайте зашифрованное слово»
Когда-то Блез Паскаль сказал, что математика - наука настолько серьёзная, что нельзя упускать случая, сделать её немного более занимательной. Поэтому я предлагаю поиграть. Решив примеры, определите последовательность цифр, по которой составлено зашифрованное слово. По латыни это слово означает «синус». <слайд 3 >
1) arc tg 1
2) arc tg (-)
3) arc tg 0
4) tg (arc cos ½)
5) tg (arc ctg )
1/
И
π/4
З
- π/3
Т
π/6
Г
0
С
2 π
И
Ответ: «Изгиб»
Игра «Рассеянный математик» На экран проектируются задания для устной работы:
Проверьте правильность решения уравнений. ( правильный ответ появляется на слайде после ответа учащегося). <слайд 4>
х=(-1)n arcsin1/3+ π n
cos x = -/2
х=±π/6+2πn
х=±5π/6+2πn
cos x = π/3
х=±1/2+2πn
cos x = ½, х=±π/3+2πn
Проверка домашнего задания.
Преподаватель установливает правильность и осознанность выполнения домашнего задания всеми учащимися; выявляет пробелы в знаниях; совершенствует знания, умения и навыки учащихся в области решения простейших тригонометрических уравнений.
1 уравнение. Учащийся комментирует решение уравнения, строки которого появляются на слайде в порядке следования комментария). <слайд 6 >
tg2x = 1;
tg2x =1/;
2х= arctg 1/ +πn, nZ.
2х= π/6 +πn, nZ.
х= π/12 +π/2n, nZ.
2 уравнение. Решение записывается учащимся на доске.
2 sin2x+3 cosx =0.
3. Актуализация новых знаний (3 минуты)
Учащиеся по просьбе учителя вспоминают способы решения тригонометрических уравнений. Они выбирают те уравнения, которые уже умеют решать, называют способ решения уравнения и получившийся результат. Ответы появляются на слайде. <слайд 7> .
Введение новой переменной:
№1. 2sin²x - 7sinx + 3 = 0.
Пусть sinx = t, тогда:
2t² - 7t + 3 = 0.
Разложение на множители:
№2. 3sinx cos4x - cos4x = 0;
сos4x(3sinx-1)=0;
cos4x = 0 или 3 sinx - 1 = 0; …
№3. 2 sinx -3 cosx = 0,
№4. 3 sin²x - 4 sinx cosx + cos²x = 0.
Преподаватель: Последние два вида уравнений вы решать еще не умеете. Оба они одного вида. Их нельзя свести к уравнению относительно функций sinx или cosx. Называются однородными тригонометрическими уравнениями. Но только первое - однородное уравнение первой степени, а второе - однородное уравнение второй степени. Сегодня на уроке предстоит познакомиться с такими уравнениями и научиться их решать.
4. Объяснение нового материала (25 минут)
Преподаватель дает учащимся определения однородных тригонометрических уравнений, знакомит со способами их решения.
Определение. Уравнение вида a sinx + b cosx =0, где а≠0, b≠0 называется однородным тригонометрическим уравнением первой степени. <слайд 8>
Примером такого уравнения является уравнение №3. Выпишем общий вид уравнения и проанализируем его.
а sinx + b cosx =0
если cosx=0, то sinx=0
Может ли получиться такая ситуация?
- Нет. Получили противоречие основному тригонометрическому тождеству.
Значит, cosx≠0. Выполним почленное деление на cosx:
а tgx + b = 0
tgx =- b / а - простейшее тригонометрическое уравнение.
Вывод: Однородные тригонометрические уравнения первой степени решаются делением обеих частей уравнения на cosx ( sinx).
Например:2 sinx -3 cosx = 0,
Т.к. cosx ≠ 0, то
2tgx -3 = 0;
tgx =;
х= arctg +πn, nZ.
Определение. Уравнение вида asin 2x + bsinx cosx + ccos 2x =0 , где а≠0, b≠0, с≠0 называется тригонометрическим уравнением второй степени. <слайд 8 >
Примером такого уравнения является уравнение №4. Выпишем общий вид уравнения и проанализируем его.
asin 2x + bsinx cosx + ccos 2x =0
если cosx=0, то sinx=0
Опять получили противоречие основному тригонометрическому тождеству.
Значит, cosx≠0. Выполним почленное деление на cos2x:
аtg²x +b tgx + c= 0 - уравнение, сводящееся к квадратному.
Вывод: Однородные тригонометрические уравнения второй степени решаются делением обеих частей уравнения на cos 2 x (sin 2x).
Например:3 sin²x - 4 sinx cosx + cos²x = 0.
Т.к. cos²x ≠0, то
3tg²x -4 tgx + 1 = 0 (Предложить ученику выйти к
доске и дорешать уравнение самостоятельно).
Замена: tgx=у. 3у² -4 у + 1 = 0
D=16-12=4
или
tgx=1 tgx=1/3
х=arctg1+ πn, nZ
5. Этап проверки понимания учащимися нового материала (1 мин.)
Выберите лишнее уравнение:
;■
; sin²x - 2 sinx cosx + 4cos²x = 0 ;
; . <слайд 9>
6. Закрепление нового материала (24 мин).
Учащиеся вместе с отвечающими у доски решают уравнения на новый материал. Задания написаны на слайде в виде таблицы. При решении уравнения открывается соответствующая часть картинки на слайде. В результате выполнения 4-х уравнений перед учащимися открывается портрет математика, оказавшего значительное влияние на развитие тригонометрии. ( ученики узнают портрет Франсуа Виета - великого математика, внесшего большой вклад в тригонометрию, открывшего свойство корней приведенного квадратного уравнения и занимавшегося криптографией). <слайд 10>
1) sinx + cosx = 0,
Т.к. cosx ≠ 0, то
tgx +1 = 0;
tgx =-1/;
х= arctg (-1/) +πn, nZ.
х= -π/6 +πn, nZ.
2) sin²x - 10 sinx cosx + 21cos²x = 0.
Т.к. cos²x ≠0, то tg²x -10 tgx +21 = 0
Замена: tgx=у. у² -10 у +21 = 0
у=7 или у= 3
tgx=7 tgx=3
х=arctg7+ πn, nZ х=arctg3+ πn, nZ
3) sin²2x - 6 sin2x cos2x + 5cos²2x = 0.
Т.к. cos²2x ≠0, то 3tg²2x -6 tg2x +5 = 0
Замена: tg2x=у. 3у² -6 у +5 = 0
D=36-20=16
у=5 или у= 1
tg2x=5 tg2x=1
2х=arctg5+ πn, nZ 2х=arctg1+ πn, nZ
х=1/2 arctg5+ π/2 n, nZ х=π/8+π/2 n, nZ
4) 3) 6sin²x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.
6sin²x + 4 sinx cosx = 1.
6sin²x + 4 sinx cosx - sin²x - cos²x = 0.
5sin²x +4 sinx cosx -cos²x = 0.
Т.к. cos²x ≠0, то 5tg²x +4 tgx -1 = 0
Замена: tg x=у. 5у² +4 у -1 = 0
D=16+20=36
у=1/5 или у= -1
tg x=1/5 tg x=-1
х=arctg1/5+ πn, nZ х=arctg(-1)+ πn, nZ
х=-π/4+πn, nZ
Дополнительно (на карточке):
Решить уравнение и, выбрав один вариант из четырех предложенных, отгадать имя математика, который вывел формулы приведения:
2sin²x - 3 sinx cosx -5cos²x = 0.
Варианты ответов:
х=arctg2+ 2πn, nZ х=- + πn, nZ - П.Чебышев
х=arctg 12,5+ 2πn, nZ х=- + πn, nZ - Евклид
х=arctg 5+ πn, nZ х=- + πn, nZ - Софья Ковалевская
х=arctg2,5+ πn, nZ х=- + πn, nZ - Леонард Эйлер
Правильный ответ: Леонард Эйлер.
-
Дифференцированная самостоятельная работа ( 8 мин.)
Великий математик и философ более 2500 лет назад подсказал способ развития мыслительных способностей. «Мышление начинается с удивления» - сказал он. В правильности этих слов мы сегодня неоднократно убеждались. Выполнив самостоятельную работу по 2-м вариантам, вы сможете показать, как усвоили материал и узнать имя этого математика. Для самостоятельной работы используйте раздаточный материал, который находится у вас на столах. Вы можете сами выбрать одно из трех предложенных уравнений. Но помните, что решив уравнение, соответствующее желтому цвету, вы сможете получить только «3»,решив уравнение, соответствующее зеленому цвету - «4», красному цвету - «5». (Приложение3)
Какой бы уровень сложности не выбрали учащиеся, после правильного решения уравнения у первого варианта получается слово «АРИСТ», у второго - «ОТЕЛЬ». На слайде получается слово: «АРИСТ-ОТЕЛЬ». <слайд 11 >
Листочки с самостоятельной работой сдаются на проверку. (Приложение4)
8. Запись домашнего задания (1 мин)
Д/з : §7.17. Составить и решить 2однородных уравнения первой степени и 1 однородное уравнение второй степени (используя для составления теорему Виета). <слайд 12>
9. Подведение итогов урока, выставление оценок (2 минуты)
Учитель еще раз обращает внимание, на те типы уравнений и те теоретические факты, которые вспоминали на уроке, говорит о необходимости выучить их.
Учащиеся отвечают на вопросы:
-
С каким видом тригонометрических уравнений мы познакомились?
-
Как решаются эти уравнения?
Учитель отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся, выставляет отметки.
6