Урок геометрии в 11 классе по теме:

Прямоугольный параллелепипед

c

b

a

Цели:

- вспомнить и обобщить понятие прямоугольного параллелепипеда;

- актуализировать личностный смысл учащихся к рассмотрению темы урока;

- рассмотреть свойства граней, двугранных углов и диагоналей прямоугольного параллелепипеда;

- научить решать задачи с использованием свойств прямоугольного параллелепипеда;

- развивать логическое мышление;

- воспитывать графическую культуру;

- воспитывать настойчивость, трудолюбие и способность адаптироваться в любой ситуации;

- совершенствовать санитарно-гигиенические навыки.

План урока:

1. Организационный момент -1 мин.

2. Создание проблемной ситуации с целью выведения учащихся на тему урока - 2 мин.

3. Актуализация опорных знаний - 2 мин.

4. Объяснение нового материала - 19 мин.

5. Первичное закрепление - 3 мин.

6. Обучающая самостоятельная работа -15 мин.

7. Итог урока - 2 мин.

8. Домашнее задание - 1 мин.

Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Создание проблемной ситуации с целью выведения учащихся на тему урока:

• Мы продолжаем изучать тему «Перпендикулярность прямых и плоскостей».

• Мы уже знакомы с различными геометрическими телами.

• Выберете среди множества геометрических тел у меня на столе параллелепипеды.

- Какие виды параллелепипедов вам известны?

При затруднении:

Какие геометрические фигуры образуют поверхности этих параллелепипедов?

(параллелограммы, прямоугольники)

• На какие геометрические фигуры делится прямоугольник его диагональю?

(на прямоугольные треугольники)

• Чем является диагональ прямоугольника в треугольниках?

(гипотенузой)

• Как её можно найти?

(по теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов)

• Как мы называли этот параллелепипед? (показываю наклонный)

(наклонный)

• А как бы вы назвали такой параллелепипед?

(прямоугольный)

- Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые рёбра перпендикулярны основанию, а основания являются прямоугольниками.

• Сегодня на уроке мы рассмотрим свойства граней, двугранных углов и диагоналей прямоугольного параллелепипеда, и будем решать задачи с использованием этих свойств.

3. Актуализация опорных знаний:

• Давайте вспомним, какие свойства параллелепипеда мы уже знаем.

(1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.)

• А что называется диагональю параллелепипеда? (показываю на модели)

(Диагональю параллелепипеда называется отрезок, соединяющий противоположные вершины параллелепипеда)

• Какой угол образуют смежные грани параллелепипеда? (показываю на модели) (двугранный)

При затруднении:

Какая фигура называется двугранным углом?

(Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой)

4. Объяснение нового материала:

• Откройте тетради. Запишите число и тему урока «Прямоугольный параллелепипед».

• Посмотрите на рисунок на экране и постройте у себя в тетрадях прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D_1.

• Обратите внимание, что рёбра АВ, AD и AA₁ исходят из одной вершины и взаимно перпендикулярны

• Проведите диагональ AC нижнего основания.

• Проведите диагональ параллелепипеда AC₁.

• Они тоже исходят из вершины А.

• Давайте рассмотрим свойства прямоугольного параллелепипеда.

Чем являются основания прямоугольного параллелепипеда?

(На доске: Основания ABCD и A₁B₁C₁D₁ - …)

• Как расположены боковые рёбра по отношению к основанию?

(На доске: AA₁ … AB)

• Чем является грань AA₁B₁B?

(На доске: Грань AA₁B₁B - прямоугольник)

• Что можно сказать об остальных гранях прямоугольного параллелепипеда?

(они тоже прямоугольники)

• Какой сделаем вывод?

(На доске: Все грани прямоугольного параллелепипеда - …)

(Показать на модели)

• Это свойство граней прямоугольного параллелепипеда.

III. Третий учащийся у доски:

• Давайте решим задачу.

Задача.

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁

со сторонами основания AB = 3, AD = 4 и высотой

AA₁ = 12. Найдите диагональ AC­₁.

Дано:

ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямоугольный параллелепипед

AB = 3

AD = 4

AA₁ = 12

Найти: AC­₁.

Решение:

Рассмотрим АСС₁:

С = 90°, => АСС₁ - прямоугольный

СС₁ = АА₁,

=> АС₁² = АС² + СС₁² или

АС₁² = АС² + АА₁² (1)

- Рассмотрим АВС:

В = 90°, => АВС - прямоугольный

ВС = AD,

=> АС² = АВ² + ВС² или

АС² = АВ² + AD² (2)

Подставим (2) в (1):

АС₁² = АВ² + AD² + АА₁²

• Найдём АС₁:

АС₁² = 4³ + 3² +12² =169

АС₁ = = 13

Ответ: АС₁ = 13.

- Чем являются АВ, АD и АА₁ в прямоугольном параллелепипеде?

(измерениями)

• Какой можно сделать вывод из решения этой задачи?

(Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.)

• Это свойство диагоналей прямоугольного параллелепипеда.

• А сколько диагоналей в параллелепипеде? (4)

• Все их можно найти по этому свойству. А, значит, все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

• Итак, мы рассмотрели свойства прямоугольного параллелепипеда. Давайте ещё раз их повторим.

А как называется прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны? (куб)

Первичное закрепление:

Задача 1.

Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 1 м, 2 м и 3м. Найдите его диагональ.

Задача 2.

Найдите диагональ куба с ребром 1 м.

Ответы: 1)м; 2)м)

5. Обучающая самостоятельная работа:

Вариант I «5»

1. Три измерения прямоугольного параллелепипеда

равны 3 м, 4 м и 5 м. Найдите:

а) диагональ;

б) сумму площадей всех его граней.

2. Диагональ куба равна 6 см. Найдите косинус угла между диагональю и плоскостью одной из его граней.

Вариант II «4»

1. Основание прямоугольного параллелепипеда квадрат со стороной м, а его высота равна м. Найдите:

а) диагональ;

б) сумму длин всех его рёбер.

2. Три ребра параллелепипеда, имеющие общую

вершину равны 2 дм, 3 дм и 5 дм, а одна из его диагоналей равна

6 дм. Является ли этот параллелепипед прямоугольным?

Вариант III «3»

1. Три измерения прямоугольного параллелепипеда

равны 6 см, 10 см и 15 см. Найдите диагональ этого параллелепипеда.

2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁

основание АВСD - квадрат, АD = 2, АС₁ = м. Найдите АА₁.

Вариант IV «3»

1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁

АВ = 2 м, АА₁ = 5 м, АС₁ = м. Найдите AD.

2.В прямоугольном параллелепипеде основание - квадрат со стороной 8 дм, а высота равна 4 дм. Найдите диагональ.

• Проверяем. Ответы на экране:

В-I: 1) а) м; б) 94 м²;

2) .

В-II: 1) а) см; б) 16 м;

2) Нет.

В-III: 1) 19 см;

2) 4.

В-IV: 1) 3 м;

2) 12 дм.

• Кто выполнил работу без ошибок?

• Кто ошибся в первом задании?

• Кто ошибся во втором задании?

(Разбор ошибок)

Итог урока:

• С каким геометрическим телом мы работали?

• Какие свойства рассмотрели?