Система вправ з математики

Недарма математику звуть царицею наук - вона всім допомагає, бо завдяки їй, люди вчаться логічно мислити. Спостерігаючи за дитячим глуздом на різних етапах вікового мислення, доходимо висновку, що математика не така вже й суха наука. Вона просто точна і оперує умотивованими логічно - завершеними між предметними зв'язками.

Дитяча уява така стрімка, що часом сягає польоту стріли. Отож педагог, особливо на уроках математики, повинен розвивати кмітливість, гнучкість мислення, ініціативу, дитячу фантазію, уяву. Блез Паскаль якось сказав, що предмет математик такий серйозний, що зробити його цікавим не тільки можна, а й треба. Багаторічні спостереження свідчать про те, щ уроки мають нести не лише абстрактні навантаження, а й цікавими для дітей елементами.

У теоретичних дослідження і в практичній роботі вчителя не завжди враховується різниця в засобах, які формують інтерес залежно від здібностей учня. Формувати стійкий інтерес до предмета педагогу дає змогу насамперед зміст матеріалу, який вивчається, вміле поєднання форм і методів роботи на уроці, моральний клімат у відношеннях як учителя з учнями даного класу, так і міжособистісні стосунки школярів.

Потрібно подбати про те, щоб розвивати кмітливість, допитливість, прививати любов і жадобу до предмету, і особливо валив в підлітковому віці, адже тільки формуються схильності, а відтак і визначаються інтереси до того чи іншого предмета. Саме в цей період потрібно розкривати прагнення до математичних знань. Дидактичні матеріали призначені для контролю засвоєння учнями певних тем програми. Подані задачі і вправи можуть бути включені також у домашні завдання та використовуватись при опитуванні. Умови задач і вправ підібрані так, що числові значення вправи враховують порядковий номер учня в класів класному журналі і тому умова однієї задачі або вправи є одночасно окремим варіантом для кожного учня класу.

Основна задача вчителя - виховувати віру учня у свої сили, навчити радіти спілкуванню з педагогом, товаришами, виховувати увагу, прагнення до самостійної діяльності школярів. Використовувати прийоми, що дають змогу ефективно застосовувати навчальний матеріал, щоб виробити в школярів навички самоосвіти. Чуйно відгукуватися на думку учня, імпровізувати. Робити урок емоційно яскравим. Створювати психологічний комфорт для класу. Робити ставку на самостійну працю учнів. Такими можуть бути:

• Уроки, де учні вчаться пригадувати вивчений матеріал;

• Уроки пошуку раціональних розв'язань;

• Урок перевірки результатів ляхом зіставлення з даними;

• Урок однієї задачі;

• Урок самостійної задачі ( задоволення від того, що вони думають);

• Урок самостійної роботи, що вимагає творчого підходу;

• Урок самостійної роботи з матеріалу, що не пояснювали;

• Урок, на якому повертаються до раніше вивченого матеріалу, розглядають знання під новим кутом зору;

• Урок - «бенефіс»;

• Лабораторні роботи з геометричного матеріалу для молодших;

• Урок - усна контрольна робота;

• Урок - залік (тематичний і підсумковий);

До нетрадиційних технологій уроку належать:

• Інтегровані уроки, засновані на між предметних зв'язках;

• Уроки у формі змагань та ігор: конкурс, турнір, естафета, дуель, ділова гра, кросворд, вікторина;

• Уроки, засновані на формах, жанрах і методах роботи, відомих у суспільній практиці: дослідження, винахідництво, аналіз першоджерел, коментар, мозкова така, рецензія;

• Уроки на основі нетрадиційної організації навчального матеріалу: урок мудрості, урок любові, урок - презентації;

• Уроки з імітацією публічних форм спілкування: прес -конференція, аукціон, мітинг, панорама, телепередача, телеміст, рапорт, усний журнал;

• Уроки з використанням фантазії: урок - казка, урок - сюрприз, урок - подарунок;

• Урок, засновані на імітації діяльності заснувань і організацій: суд, наслідок, патентне бюро, вчена рада;

• Уроки, що імітують суспільно - культурні заходи: заочна екскурсія в майбутнє, подорож, інтерв'ю, репортаж;

• Перенесення в рамки уроку традиційних форм позакласної роботи: КВК, «слідство ведуть знавці», «Що?Де?Коли?», «Ерудити», диспут тощо.

Вивчення будь - якого шкільного предмета передбачає оцінювання результатів навчання, тобто використання тих чи інших методів і засобів для збору тлумачення фактів, які вказують на обсяг, якість та цінність навчальних досягнень учнів.

У сучасній школі самостійна робота має неабияке значення для успішного засвоєння учнями знань, формування активності, розвитку розумових здібностей. Такі завдання дають змогу учням самостійно готуватися до уроків, проводити самооцінку та поступово просуватися по рівнях навчальних досягнень.

Велику роль у засвоєнні курсу математики відіграють такі самостійні роботи, коли в кінці навчального року оцінюються знання кожного учня за правильно розв'язані вправи або задачі. Для досягнення цієї мети постає три такі завдання:

• Розробити алгоритм виставлення оцінки за кількістю правильних відповідей;

• Підібрати для самостійної роботи умови задач і вправ таким чином, щоб запис умови займав мало часу і забезпечував кожного учня індивідуальним варіантом;

• За умовою задачі або вправи можна було прогнозувати правильну відповідь залежно від порядкового номера учня в класному журналі.

Розглянемо детальніше на розробці умов завдань для самостійних робіт з тем «Квадратні рівняння» і « Скалярний добуток векторів» (алгебра і геометрія 8 клас).

При розв'язуванні рівнянь можна використати таку самостійну роботу з чотирьох завдань.

Розв'яжіть рівняння , де Р - порядковий номер в класному журналі:

1) Х - (Р +1 ) Х + Р = 0

2) (РХ + 2) (Х+3)= 4Р + 8

3) (3 - РХ)(2Х+3) = Р + 3

4) (Х+2)+(Р+3)(РХ+3)=2

Якщо в класі 30 учнів, то за умовою цих рівнянь учні, підставляючи в кожне свій порядковий номер, отримують для розв'язання 4 індивідуальних квадратних рівняння з різними числовими коефіцієнтами. Один з корені кожного завдання повинен бути однаковим, щ дає змогу вчителю швидко перевірити правильність виконання завдання кожним учнем.

Так у третьому завданні передбачено один з коренів квадратного рівняння Х₁= - 1.

Розглядаючи функцію f(Х) = (3Р - Х) (2Х + 3) і знаходячи її значення f (-1) = P + 3/, учитель складає текст завдання.

Розв'яжіть рівняння (3Р - Х) (2Х + 3) = Р + 3.

Правильні відповіді для першого завдання: Х₁= Р, Х₂= 1;для другого завдання Х₁= 1; для третього завдання : Х₁= - 1; для четвертого завдання : Х₁= 1.

У 8 класі при вивченні тем «Скалярний добуток векторів» учні повинні розв'язувати задачі на знаходження величини кута між векторами. Учні обчислюють ці значення без рисунка або роблять схематичний рисунок, не зображаючи при цьому прямокутну систему координат. Для складання тексту самостійної роботи на засвоєння цієї теми розглянемо прямокутний трикутник з катетами 3 см ,4 см і гіпотенузою 5 см. Потрібно задати його в прямокутній системі координат вершинами точок А, В, С, де <�С прямий. Візьмемо точки А (-2; 1), В (1; - 3), С (-2; - 3). α= 3/5, β = 4/5, γ = 0 (косинуси). Довжина медіани, проведеної з точки С, повинна дорівнювати 5/2 = 2,5. Звідси складається умова задачі, в якій можна за прогнозувати 4 числові відповіді:

1) cos α = 3/5; 2) cos β = 4/5; 3) cos γ = 0; 4) cos СР = 2,5.

Задача. Трикутник задано вершинами А (-2 + Р; 1 + Р), В (1 + Р; -3 + Р), С(-2 + Р; -3 + Р). Обчислити:

1. cos α;

2. cos β;

3. cos γ;

4. довжину медіани СР.

Прагнення до математичних знань - це особливість не кожного учня тому, щоб його заінтересувати, дидактичні матеріали на уроках математики посідають неабияке значення.

Розв'яжіть складанням системи рівнянь задачі:

1. П'ять зошитів і чотири альбоми коштують 22 гривні.; Р зошитів і 3 альбоми коштують (2 Р + 9) гривні. Скільки коштує один зошит і один альбом?

2. Туристи проїхали 50 (Р + 4) км, з них Р годин потягом і 5 годин автобусом. Знайти швидкість потяга, якщо вона на 10 км/год більша від швидкості автобуса.

Відповіді: 1) 2 грн. ; 3 грн.; 2) 50 км/год.

3. Спортивний майданчик мав форму квадрата. Вирішили замінити його іншим майданчиком, який має прямокутну форму і таку саму площу. Для цього збільшили одну сторону вдвічі, а другу зменшили на Р см. Знайдіть довжину сторони першого майданчика

4. Довжина прямокутника на Р см більша його ширини, а площа дорівнює 60 см². Знайдіть сторони прямокутника.

5. Периметр прямокутника 46 см, а його діагональ (17 - Р) см. Знайдіть сторони прямокутника.

6. З двох натуральних чисел одне в (Р + 1) разів більше від другого, ф їх добуток дорівнює 448. Знайдіть ці числа.

7. одне з чисел на Р більше від іншого, а їх добуток дорівнює (-3 + Р). Знайдіть ці числа.

8 Площа прямокутного трикутника 180 см². Знайдіть катети трикутника, якщо один з них на (31 - Р) см більший від другого

9. Бригада повинна була засіяти 200 га до певного терміну, але щодня вона засівала на (Р + 5) га більше, ніж планувалося, і закінчила сівбу на 2 дні раніше. За скільки днів було закінчено сівбу?

10. Відстань від однієї пристані до іншої і назад моторний човен проходить за (6 - Р ) год, причому 15 хв припадає на зупинки. Знайти власну швидкість човна, якщо швидкість течії річки 3 км/год, а відстань між пристанями 30 км.

Розв'яжіть квадратні рівняння:

1. 15х + Рх = Р + 15

Відповідь: Х₁= 1, Х₂= 15 / Р

2. (2х + Р)(х + 9) = 10Р + 20

Відповідь: Х₁= 1, Х₂= -10Р + 20

3. 3х + (Р + 2)(х + Р) = 7

Відповідь: Х₁= 2, Х₂= - Р - Р / 2

4. (Р + 1)/(х + Р) + 6 /(х + 5) = 2

Відповідь: Х₁= 1, Х₂= - 0,5 Р - 2,5

5. 8 / (х + 3)- (Р + 1) / (х + Р) = 1

Відповідь: Х₁= 1, Х₂= -2Р + 3

6. 4х - (Р + 5)/(х + Р) = 19

Відповідь: Х₁= 5, Х₂= -5 Р - 1,25

7. 5х + (Р + 1) / (х + 6) = 6

Відповідь: Х₁= 1, Х₂= -Р + 0,2

8. (х + 3)(х + Р)= 10 (Р + 7)

Відповідь: Х₁= 7, Х₂= - Р - 10

9. (х + 7)(х + Р) = 10 (Р + 1)

Відповідь: Х₁= 3, Х₂= -Р-10

10. (х + 9)( х + Р) = 10 (Р + 1)

Відповідь: Х₁= 1, Х₂= - 10 - Р.

Розв'яжіть задачі:

1. Знайдіть сторін прямокутника, якщо одна з них на Р см довша від другої, а площа прямокутника дорівнює (10 Р + 100) см²

Відповідь: 10 см, Р + 10 см

2. Гіпотенуза прямокутного трикутника більша від одного з катетів на Р см, а від другого на 2Р см. Знайдіть сторони трикутника. Відповідь: 5Р см, 4Р см, 3Р см.

3. Написати рівняння кола з центром на бісектрисі першої чверті і радіусом 5 см, що проходить через точку (2 + Р ; 9 + Р).

4. Теплохід пройшов за течією Р км і 20 км озером. Затративши на весь шлях ( 25 + Р) / 25 год. Яка швидкість човна, якщо швидкість течії 5 км / год? Відповідь: 20 км / год.

5. Басейн наповнюється двома трубами за 2Р/3 год. Одна труба наповнює на Р год швидше, ніж друга. За який час може заповнити басейн кожна труба окремо? Відповідь: Р год, 2Р год

6) Дві бригади працюючи разом, закінчили роботу за 6Р/5 год. За який час могла закінчити роботу кожна з бригад окремо, якщо перша бригада виконала б всю роботу на Р год раніше від другої? Відповідь: 2Р год, 3Р год

7) Перше число більше від другого числа на Р. Різниця між квадратом першого числа і другого дорівнює Р ( Р + 2). Знайдіть ці числа. Відповідь: 1; 1 + Р.

8) Катети трикутника менші а гіпотенузу на Р см і 8Р см. Обчисліть гіпотенузу трикутника.

Відповідь: 13 Р см.

Теорема Піфагора.

9)Обчислити периметр прямокутника, якщо одна з його сторін 5Р см, а діагональ 13Р см.

Відповідь: 34Р см.

10) Основа рівнобедреного трикутника 16Р см, а висота, проведена до основи, 6Р см. Обчислити бічну сторону трикутника.

Відповідь: 10Р см.

11) Обчислити висоту прямокутної трапеції, бічна сторона якої дорівнює 5Р см, а різниця основ - 4Р см.

Відповідь: 3Р см.

12) Обчислити бічну сторону рівнобічної трапеції, якщо її основ дорівнюють Р см і 13Р см, а висота дорівнює 8Р см.

Відповідь: 10Р см.

13) Діагоналі ромба дорівнюють 6Р см і 8Р см. Обчислити периметр ромба. Відповідь: 20Р см.

Декартові координати

1. Знайти діагоналі квадрата АВСD, якщо А(Р; 4 + Р), В (4 + Р; 4 + Р), С (4 + Р ;Р), D(Р;Р).

2. Знайти координати вершини С паралелограма АВСD, якщо А(Р; 5 + Р), В (4 + Р; 2 + Р), D(-1 + Р;Р). Відповідь: С (3 + Р ;-3 + Р).

3. Знайти координати вершини D паралелограма АВСD, якщо А(1 + Р;2 +Р), В (4 + Р; 5 + Р), С(10 + Р;5 + Р). Відповідь: D(7 + Р;2 + Р

4. Який вид має трикутник А(1 + Р; - 2 +Р), В (3 + Р; 5 + Р), С(7 + Р; Р)? Обчислити медіану ВМ трикутника. Відповідь: рівнобедрений.

5. Який вид має чотирикутник з вершинами А(2 + Р; 1 + Р), В (Р + 1; Р), С (Р ;Р + 1), D(1 +Р;2 +Р). Відповідь: квадрат.

6. Вершини трикутника знаходяться в точках А(2 - Р; - 2 - Р), В (2 - Р; 2 - Р), С(5 - Р; -2 - Р). Обчислити медіану трикутника АК. Відповідь: АК = 2,5

7. За координатами середин сторін трикутника А(6 - Р;2 - Р), В (10 - Р; 5 - Р), С(10 - Р; -2 - Р). Обчисліть довжини сторін трикутника. Відповідь: 10, 10, 12.

8. Точки А- 4 + Р; 1 + Р), В (4 +Р ; 7 +Р) є кінцями діаметра кола. Напишіть рівняння цього кола.

9. Визначити вид чотирикутника АВСD (паралелограм, прямокутник, ром, квадрат), якщо А( 1 +Р; 9 + Р), В (-5 + Р; 41 + Р), С (3 + Р ; -5 + Р), D(9 +Р; 2 +Р). Відповідь: квадрат.

10. Скласти рівняння кола з центром у точці А ( -3Р; 4Р), що проходить через початок координат.

11. Знайти координати точки перетину діагоналей квадрата, якщо А(1 - Р; 5 -Р), В (5 - Р; 5 - Р), С ( 5 - Р ; 1 - Р), D( 1 - Р;1 - Р). Відповідь: (3 - Р ; 3 - Р).

12. Коло задане рівнянням (х - (3 + Р)) + (у + (1 - Р)) = 25. Назвіть координати центра кола і його радіус.

13. Чи належить точка М (0 ; 4 - Р) прямій 2х - 3у + 6 = 0.

Додаток 1

Урок з теми : «Декартові системи координат на площині» можна проводити у формі конкурсу. Клас потрібно розділити на дві команди. За правильні відповіді учням можна давати деякі геометричні фігури (ромб, коло, паралелограм, квадрат) за які в кінці уроку їм виставляється оцінка.

Починається конкурс з розминки. Кожна команда отримує по три запитання.

1. Що таке прямокутна система координат?

2. Які знаки у координат, що належать 1,2,3,4 чверті?

3. Як знайти відстань між точками?

4. Як знайти середину відрізка АВ?

5. Написати загальний вигляд рівняння кола?

6. Що таке координатна площина?

Після аргументованих відповідей команди показують виконання домашнього завдання, яке вони отримали заздалегідь.

1. Рене Декарт - французький вчений, мислитель, філософ, математик.

2. Математичні дослідження та відкриття Декарта.

Після відповідей вчитель пов'язує розповіді з сучасним життям, звертаючись до класу:

- Зараз ведеться багато розмов про ясневидців, екстрасенсів, перевіримо як ми можемо читати думки на відстані . Отже давайте поміркуємо азом, чи відгадаєте мої дуки?

1. Якщо дано точки В (4;0), С (0; 3), то відстань між ними дорівнює ? Точка М (2; - 1,5) є серединою відрізка ВС ?

2. Дано прямі х - 2у + 1 = 0 і 3х + у + 1 = 0, у - 2 = 0. Через точку Е (-1; 2) проходять які прямі? Відповідь: 3х + у + 1 = 0, у - 2 = 0.

3. Пряма 2х - 2у - 6 = 0 перетинає вісь Х в точці А (3;0), а вісь У в точці В (0; - 3).

Слідуючий конкурс спортивний, його завдання полягає в тому, що за правильну відповідь команда отримує один бал, а за неправильну, навпаки, знімається один бал. Це означає, що команда терпить поразку.

1 команда

1) Дано точки А (-5; 0), В (5;0), С (0;6). Довести, що трикутник АВС є рівнобедреним.

2) Напишіть рівняння кола з центром в точці С (-1; 0), якщо відомо, що йому належить точка А (-5; 0).

3) Знайдіть точки перетину з осями координат прямої х + у - 7 = 0

2 команда

1) Точка А (10;6) - точка кола з центром С (1; -6). Чому дорівнює радіус цього кола?

2) Точка С (1; 3) - середина відрізка АВ. Знайдіть координати точки А, якщо В (0; -5).

3) Знайдіть точку перетину прямих 3х - у - 2 = 0 і 2х + у - 8 = 0.

Урок можна завершити своєрідним змаганням математиків - художників. Обом командам пропонуються такі задачі.

1 команда

Дано трикутник з вершинами А (1;5), В(5;5), С (3;1). Знайти периметр трикутника, вершинами якого є середини сторін даного трикутника.

2 команда

Побудуйте графіки функцій у = х + 1 і у = х + 3. Обчисліть периметр трикутника, який утворюють графіки з віссю Оу.

Підводяться підсумки і визначаються переможці проведеного конкурсу.

Список використаної літератури.

1. Г.П. Бевз. Методика викладання математики . - К., "Вища школа" 1989 -367с.

2. Методика викладання математики : Практикум/під редакцією Г.П.Бевза/. -К.: "Вища школа" , 1981-198с.

3. Як організувати самостійну роботу учнів на уроках : Навчально-методичний посібник . Харків " Основа".

4. Гаук . М. М. Математичні диктанти. Навчальна книга Богдан: Тернопіль 1998.