Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Садовская средняя школа №2»

Методическую разработку урока

выполнила учитель математики

«МОУ Садовская средняя школа

№2» Елынко Елена Федоровна,

педагогический стаж 14 лет,

1 квалификационная категории.

Садовое, 2008

Тема урока. Разложение многочлена на множители с помощью комбинаций различных приемов.

Три пути ведут к знанию:

Путь размышления - это

Путь самый благородный,

Путь подражания - это

самый легкий и

путь опыта - это путь

самый горький.

Конфуций.

Цели урока:

Образовательные:

☺ Систематизировать, расширить, углубить знания, умения учащихся. Применять различные способы разложения многочлена на множители и их комбинации.

☺ Проконтролировать степень усвоения правил: определение многочлена, однородного многочлена, умение применять правила в практической работе.

☺ Формирования навыков самоконтроля.

Воспитательные:

☺ Воспитание коллективизма, гуманизма, отзывчивости, работоспособности.

Развивающие:

☺ Развитие самостоятельности.

☺ Умение выделять главное, сравнивать, обобщать.

☺ Развитие умения преодолевать трудности.

Оборудование:

интерактивная доска, наборы карточек для индивидуальной работы, карточки с заданием тестов, индивидуальные оценочные листы.

Тип урока: повторительно - обобщающий.

Работа учащихся состоит из трех этапов. Результаты каждого этапа урока ученики заносят в индивидуальные оценочные листы.

План урока:

1. Организационный момент - 2 мин.

2. Повторение теоретического материала- 7 мин.

А) Устная работа по определениям - 2 мин.

Б) Выполнение тестов 1 и 2 - 5 мин.

III. Работа по теме урока - 17 мин.

IV. Самостоятельная работа - 10 мин.

V. Сообщение познавательного материала о Калмыкии и П.Эрдниеве - 6 мин.

VI. Подведение итогов урока - 2 мин.

VII. Домашнее задание - 1 мин.

Ход урока

I.Организационный момент.

Организация учащихся на урок.

Учитель сообщает тему и цели урока, формы работы учащихся на уроке.

Слайд 1.

Слайд 2 (оценочный лист).

II.Этап I. Повторение теоретического материала.

Учитель:

-Давайте проверим, как мы с вами готовы к уроку. Начнем с повторения теоретического материала.

Слайд 3.

А) Устная работа по определениям. - 2 мин.

1. Что такое многочлен?

( Многочлен - сумма одночленов).

2. Как можно по другому назвать многочлен?

( полином).

3. Что такое однородный многочлен?

( Многочлен, все степени одночленов которого одинаковы).

4. Как по другому можно назвать одночлен, двучлен, трехчлен?

( моном, бином, трином).

Задание 1.

В парах выполняется задание теста 1.

Учитель:

- Вам предлагается выполнить задание теста, который состоит из трех пунктов. Каждое задание будет выполняться учеником на интерактивной доске, остальные учащиеся выполняют самостоятельно на индивидуальных листах. Затем, мы проведем проверку и комментарий задания.

Слайд 4.

ТЕСТ 1

А) Соединить линиями соответствующие части определения.

Представление многочлена в виде суммы двух или нескольких многочленов.

Разложение многочлена на множители - это..

Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких одночленов.

Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов.

Оценка 2 балла.

Б)

Слайд 5.

Перечислить методы разложения на множители.

1. Вынесение общего множителя за скобки.

2. Формулы сокращенного умножения.

3. Способ группировки.

Оценка 3 балла. (по 1б. за каждый верно названый).

Слайд 6.

В)Восстановить порядок выполнения действий при разложении на множители способом группировки.

1

Вынести в каждой группе общий множитель (в виде многочлена) за скобки

2

3

Сгруппировать его члены так , чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель

Вынести в каждой группе общий множитель в виде одночлена за скобки

Оценка 3 балла. ( по 1б. за каждое верное соединение).

После проверки ученики выставляют заработанное количество баллов в оценочные листы.

Учитель:

- Вам предлагается выполнить следующее задание.

Тест 2

Слайд 7.

Соединить линиями многочлены с соответствующими им способами разложения на множители. (2 ученика выполняют это задание на доске).

I вариант II вариант

Не раскладывается на множители

27в³+ а⁶

а²- ав- 5а - 5в

Способ группировки

3а²+ 3ав - 7а - 7в

49m⁴ - 25n²

2у(х-5) + х(х-5)

в(а+5)-с(а+5)

Остальные учащиеся выполняют задание теста 2 на карточках. После выполнения работы пары обмениваются вариантами, производят взаимопроверку, сверяют работу соседа с работой учащихся на доске, оценивают работу.

Оценка - 8 баллов (по 1 б. за каждое верное соединение).

Учитель:

- После выполнения теста даем характеристику каждому перечисленному приему.

Слайд 8.

► Вынесение общего множителя.

Из каждого слагаемого, входящего в многочлен, выносится некоторый одночлен, входящий в качестве множителя во все слагаемые. Таким общим множителем может быть не только одночлен, но и многочлен.

►Применение формул сокращенного умножения.

Группа из двух, трех слагаемых, которая образует выражение, входящее в одну из формул сокращения умножения, заменяется произведением многочленов.

►Группировка.

Бывает, что члены многочлена не имеют общего множителя и нельзя применить формулы сокращенного умножения, но после заключения нескольких членов в скобки (на основе переместительного и сочетательного законов сложения) удается выделить общий множитель, являющийся многочленом, или разложить с помощью формул.

III. Задание 3. Эстафета.

Учитель:

- Следующее наше задание предполагает проверку умений и навыков разложения многочленов на множители.

Работа по командам (рядам). На последней парте каждого ряда находится листок с 8-мью заданиями (по количеству учащихся). Каждый ученик выполняет задание и передает листок следующему, после чего включается в работу класса. Класс в это время решает примеры, записанные на доске.

В эстафете побеждают учащиеся того ряда, в котором раньше решат восемь примеров.

После проводится проверка и оценивание.

Оценка - 8 баллов ( по 1б. за верно выполненный пример)

Слайд 9.

Задания для эстафеты. Задания для класса.

1. 16а² +8ав + в² = 1. 3а+12в =

2. 3m - 3n +mn - n² = 2. 2а + 2в + а² +ав =

3. 5а - 25в = 3. 9а² - 16в² =

4. 4а² - 3ав +а - аg + 3вg- g = 4. 7а²в - 14ав² +7ав =

5. 9а² - 30 ав +25в² = 5. m² + mn - m - mg - ng +g =

6. 2(а² +3вс) + а(3в+ 4с)= 6. 4а² - 4ав +в² =

7. 144а² - 18ав² - 9ав= 7. 2(3а² +вс) +а(4в +3с) =

8. 9а²в -18 ав² - 9ав = 8. 25а² + 70ав + 49в² =

Слайд 9.

Ответы Ответы

1.(4а + в)² 1. 3(а +4в)

2. (m - n) (3 + n) 2. (а + в) (2 + а)

3. 5(а - 5в) 3. (3а - 4в) (3а +4в)

4. (а - g) (а - 3в +1) 4. 7ав(а - 2в +1)

5. (3а - 5в)² 5. (m - g) (m +n -1)

6. (2а + 3в) (а + 2с) 6. (2а - в)²

7. (12а - 5в) (12а + 5в) 7. (2а +с) (3а + 2в)

8. 9ав(а² - 2в - 1) 8. (5а +7в)²

Этап II. Применение знаний на практике.

Учитель:

- Часто при решении примеров приходится использовать комбинацию различных приемов. Давайте подумаем и постараемся выработать план их последовательного применения.

(после ответов учащихся идет демонстрация на слайде).

Слайд 10.

♦ Вынести общий множитель за скобки (если он есть).

♦ Попробовать разложить многочлен на множители по формулам сокращенного умножения.

♦ Попытаться применить способ группировки (если предыдущие способы не привели к цели).

♦ Применить предварительное преобразование: некоторый член многочлена раскладывается на необходимые слагаемые или дополняется путем прибавления к нему некоторого слагаемого (вычитания его).

Задание 4.

Разложить многочлен на множители, и указать какие приемы исследовались при этом.

Каждый пример у доски выполняют по одному учащемуся от команды (ряда). В случае затруднения члены команды могут помочь решающему у доски. Остальные учащиеся решают примеры в тетради и проверяют правильность решения.

Слайд 11.

1.) 36а⁶в³ - 96а⁴в⁴ + 64а²в² = …….4а²в³(9а⁴ - 24а²в + 16в²) = 4а²в³(3а² - 4в)²

2.) а² + 2ав + в² - с² =……………...(а² +2ав + в²) - с² = (а + в)² - с² = (а + в - с) (а + в +с)

3.) у³ - 3у² + 6у - 8 = ………………(у³ - 8) - (3у² - 6у) = (у - 2)(у² +2у + 4) - 3у(у - 2) = (у - 2)

(у² +2у + 4 - 3у) = (у - 2)(у² - у +4)

4.) n³ + 3n³ + 2n = ………………….n(n² + 3n +2) = n(n² + 2n +n + 2)= n((n² + 2n) + (n +2)) =

n(n(n +2) + (n +2) = n(n +2) (n +1) = n(n +1)(n +2)

Оценка 4 балла, (по 1б. за каждый правильный самостоятельно решенный пример).

Задание 5.

Учитель:

Совокупность различных приемов разложения на множители позволяет решать уравнения вида ах² + вх + с = 0 - квадратные, доказывать тождества, решать задачи на делимость (учитель предлагает выполнить следующие задания на доске и прокомментировать их).

Слайд 12.

1.Решить уравнения.

а) х² - 15х + 56 = 0 б) х² + 10х + 21 = 0

Решение

х² - 15х + 56 = 0 х² + 10х + 21 = 0

х² - 7х - 8х + 56 = 0 х² + 10х = 25 - 4 =0

(х² - 7х) - (8х - 56) = 0 (х + 5)² - 4 =0

х(х- 7) - 8(х - 7) = 0 ((х + 5) +2)(х +5 - 2) = 0

(х- 7) (х - 8) = 0 (х + 7)(х + 3) = 0

х - 7 = 0 или х - 8 =0 х + 7 =0 или х + 3 =0

х = 7 х = 8 х = - 7 х = -3

Ответ: 7; 8 Ответ: -3 ; -7

2. Вычислить:

38, 8² + 83* 15,4 - 44,2²

Решение

38, 8² + 83* 15,4 - 44,2² = (38,8² - 44,2²) + 83* 15, 4 = (38,8 - 44,2)(38,8 + 44,2) + 83* 15, 4 = - 5,4* 83 + 83* 15, 4 = 83(15,4 - 5,4) = 83* 10 = 830

3. Доказать тождество:

(а² +3а)² + 2(а² + 3а) = а(а +1) (а +2)(а + 3)

Решение

Способ I

Преобразуем левую часть равенства в правую:

(а² +3а)² + 2(а² + 3а) = (а² + 3а)(а² + 3а + 2) = а(а + 3)(а² + 2а + а + 2)= а(а +3)((а² + 2а) + (а +2)) = а(а + 3)(а(а +2) + (а + 2))= а(а +3)(а +2)(а + 1)=а(а +1) (а +2)(а + 3)

Способ II

Преобразуем правую часть равенства в левую:

а(а +1) (а +2)(а + 3) = (а *(а + 3))*(а +1)(а +2) = (а² + 3а)(а² + 2а +а +2) = (а² +3а)(а² + 3а +2) = (а² + 3а) ((а² + 3а) + 2) = (а² + 3а)² + 2(а² + 3а)

4. Делится ли на 5 при любом целом n - выражение:

(2n +3)(3n - 7) - (n +1)(n - 1)

Решение

(2n +3)(3n - 7) - (n +1)(n - 1) = 6n² - 5n- 21- n²- 11= 5n² - 5n - 20= 5(n² - n - 4)

Так как в полеченном произведении один множитель делится на 5, значит все произведения делятся на 5.

Оценка 5 баллов, (по 1б. за каждый правильно решенный пример)

IV. Этап III. Самостоятельная работа

Учитель:

- Вам предлагается выполнить самостоятельную работу на закрепление темы.

Разложить на множители, используя различные способы.

Слайд 13.

1 вариант 2 вариант

1. 5а³ - 125ав² 1. 63ав³ - 7а²в

2. а² - 2ав +в² - ас +вс 2. n² +6mn +9n² - m - 3n

3. (с - а)(с +а) - в(в - 2а) 3. (в - с)(в +с) - а(а +2с)

4. в² - а² - 12а - 36 4. а² +в² - 2ав - 25

5. p² - 16c² - p - 4с 5. 4а² - в² - 2а + в

6. а² + 6а + 6в - в² 6. х² - 7х +7у - у²

7. х² - 3х +2 7. х² +4х +3

8. х⁴ +5х² +9 8. х³ +3х² +4

После решения самостоятельной работы на экране появляется слайд с ответами, каждому из которых соответствует определенная буква.

Учащиеся сравнивают свои ответы с данными и проставляют буквы. В итоге получаются слова:

«Калмыкия», «П. Эрдниев».

Слайд 15.

Ответы

1 вариант 2 вариант

(p +4c)(p - 4c - 1) И (в - а - с) (в +а + с) Р

(с - а +в) (с +а - в) Л 7ав(9в2 - а) П.

5а (а - 5в) (а + 5в) К (а - в - 5)(а - в +5) Д

(а +в)(6 + а - в) Я (х +3)(х +1) Е

(в - а - 6)(в +а + 6) К (m +3n)(m +3n - 1) Э

(а - в) (а - в - с) А (х - у) (х +у - 7) И

(х - 2)(х - 1) М (2а - в)(2а +в - 1) Н

(х² +3 - х)(х² +3 + х) Ы (х² +2 - х)(х² + 2 + х) В

Оценка 8 баллов (по 1б. за верно решенный пример)

V. Рассказ учеников и учителя о Калмыкии и П.Эрдниеве (см. приложение).

Слайд 14 - 18

VI. Подведение итогов урока.

Учащиеся считают количество набранных баллов в оценочных листах, выставляют оценки, сдают их учителю.

После этого учитель проводит фронтальный обзор основных этапов урока;

Что кроме трех основных приемов разложения на множители: вынесение общего множителя за скобки, группировки, использования формул сокращенного умножения, учащиеся использовали при решении заданий II этапа еще два способа: метод выделения полного квадрата, предварительное преобразование.

Домашнее задание.

Составить 8 примеров для математической эстафеты. № 1007, 1012.

Слайд 19.

Оценочный лист учащегося

Фамилия_______________________

Имя __________________________

Этапы

Задания

Количество балов

I

№ 1

а) б) в)

№2

№3

II

№4

№5

III

Самостоятельная работа

Итоговое количество баллов

Оценка

(n)

Оценка за урок зависит от суммы (n) набранных баллов по всем заданиям.

Если n > 36, то ученик получает «5»

29 < n < 35, то ученик получает «4»

20 < n < 28, то ученик получает «3»

n < 19, то ученик получает «2»

Тест 1

А) Соединить линиями соответствующие части определения.

Разложение многочлена на множители - это..

Представление многочлена в виде суммы двух или нескольких многочленов.

Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких одночленов.

Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов.

Б)

Перечислить методы разложения на множители.

1.

2.

3.

В)

Восстановить порядок выполнения действий при разложении на множители способом группировки.

Вынести в каждой группе общий множитель (в виде многочлена) за скобки

1

2

3

Сгруппировать его члены так , чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель

Вынести в каждой группе общий множитель в виде одночлена за скобки

Задание 3. Эстафета.

1. 3а+12в =

2. 2а + 2в + а² +ав =

3. 9а² - 16в² =

4. 7а²в - 14ав² +7ав =

5. m² + mn - m - mg - ng +g =

6. 4а² - 4ав +в² =

7. 2(3а² +вс) +а(4в +3с) =

8. 25а² + 70ав + 49в² =

Тест 2

Соединить линиями многочлены с соответствующими им способами разложения на множители.

2 вариант

49m⁴ - 25n²

3а²+ 3ав - 7а - 7в

2у(х-5) + х(х-5)

Способ группировки

Тест 2

Соединить линиями многочлены с соответствующими им способами разложения на множители.

1 вариант

20х³у ² +4х²у

Вынесение общего множителя за скобки

4а²- 5а +9

Формула сокращенного умножения

Не раскладывается на множители

Способ группировки

2вх- 3ау-6ву+ах

а⁴- в⁸

9х² + у⁴

27в³+ а⁶

а²- ав- 5а - 5в

в(а+5)-с(а+5)

Калмыкия

Мы с вами живем в удивительном уголке Юга России с богатой историей, самобытной культурой и традициями - Калмыкии. Столица Калмыкии - Элиста, город, где звучит разноязычная речь. Это самый мирный, спокойный город на всем Северном Кавказе. Визитной карточкой столицы республики являются «Алтын Босх» - Золотые Ворота, через которые обязательно должны пройти гости, приезжающие в столицу. У человека проходящего через эти ворота очищаются душа и помыслы. Недалеко от Сити-Чесс построена «Ступа Просветления», которая дарит мир, согласие и благотворную энергию всему живому.
В начале XVII века калмыки вошли в состав Российского государства, став надежными стражами его южных границ. Получив обширные кочевья в междуречье Яика и Волги, в Придонье и Прикаспии, калмыки образовали Калмыцкое ханство. В настоящее время Республика Калмыкия состоит из 13 административных районов и 3 городов. В 2009 году Республика Калмыкия будет праздновать 400-летие вхождение калмыков в состав России.

Элиста - столица XXXIII Всемирной Шахматной Олимпиады. Специально для ее проведения был построен город - Сити-Чесс. Настоящим украшением города является Дворец Шахмат, где проходила XXXIII Шахматная Олимпиада и 69-й конгресс ФИДЕ. Сегодня Сити-Чесс-холл является местом проведения республиканских, общероссийских и международных соревнований по шахматам, деловых симпозиумов, выставок, научных и культурных встреч. Здесь открыты филиалы музеев. Коттеджи шахматного города образуют гостиничный комплекс, он отвечает европейским отелям 3-х звездочного уровня, здесь размещаются туристы, прибывающие в Калмыкию.

В 1990-е было построено несколько буддийских храмов по инициативе президента республики К. Н. Илюмжинова. В г. Элиста находится один из самых крупных центров буддизма в Европе.

Эрдниев П.М

Эрдниев Пюрвя Мучкаевич (р. 15.10.1921, урочище Хуцун Толга, ныне на терр. Красносельского р-на Калмыкии), педагог, математик-методист, акад. РАО (1993; акад. АПН СССР с 1989), д-р педагогических наук (1973), проф. (1972). Заслуженный деятель науки РСФСР (1981). На педагогической работе с 1939. Участник Великой Отечественной войны. Окончил Барнаульский педагогический институт (1949), работал учителем в Алтайском крае. После отмены спецпоселения калмыков (1957) преподавал в Ставропольском педагогическом институте. С 1964 зав. кафедрой в Калмыцком педагогическом институте (ныне Калмыцкий государственный университет) в Элисте.

В 50-70-х гг. на материале школы математики разработал систему укрупнения дидактических единиц (УДЕ) как технологию изучения взаимосвязанных понятий (уравнения и неравенства; обыкновенные и десятичные дроби; пропорции и проценты; координаты и векторы), в традиционных учебниках курсах попадающих в отдаленные разделы. Психологическим обоснованием УДЕ стали идеи контрастных раздражителей (И. П. Павлов), "обратной афферентации" в циклически замкнутых мыслит, процессах (П. К. Анохин), а также идея роли прототипа в умозаключении по аналогии (И. Пригожий). Технология УДЕ предполагает также изучение взаимообратных действий, задач, функций и т. п., обращение упражнений, матричные задания и т. п. Переход от традиционных схем к УДЕ позволяет рационально интенсифицировать учебный процесс, повысить у учащихся качество владения осваиваемым материалом. Они приобретают знания и навыки, важные для целостного восприятия учебного предмета и многих явлений действительности. Эрдниев составил учебники по математике для 1-6-х кл. (1973-89); их апробирование в школах (1977-80) дало основание автору поставить вопрос о расширении сферы использования УДЕ в преподавании предметов школьного курса (учебники разрабатываются) и в подготовке педагогов. Составил "Книгу для чтения по математике" для 1-го класса (на русском. и калмыцком языках). В 1992 в Калмыкии учреждена Государственная премия им. П. Эрдниева.