- Учителю
- Статья: 'Неравенства. Некоторые методы их решений'
Статья: 'Неравенства. Некоторые методы их решений'
РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА РАЦИОНАЛИЗАЦИИ
Очень многие неравенства, которые мы встречаем в заданиях 17 ЕГЭ, проще и короче решать с помощью метода рационализации, нежели методом интервалов. Для этого необходимо знать несколько формул, которые нетрудно запомнить. Приведу некоторые чаще других встречающиеся замены:
№
Исходное выражение (F(x))
Выражение после замены (G(x))
1
(h(x) ≠ 1)
(h(x) - 1) (f(x) - g(x))
2
(h(x) ≠ 1)
(h(x) - 1) (f(x) - 1)
3
(h(x) - 1) (p(x) - q(x))
Рассмотрим примеры, в которых удобно применить подобные замены:
Пример 1: + 2х +1) < 0
Найдем ОДЗ: х2 +2х + 1 > 0
(х + 1)2 > 0
Х ≠ -1
Воспользуемся второй строчкой таблицы замен. В нашем случае h(x) = 0,5; f(x) = х2 +2х + 1. Значит на ОДЗ данное неравенство равносильно неравенству:
(0,5 - 1)( х2 +2х + 1 - 1) > 0
х2 +2х < 0
х(х + 2) < 0 , т.е. х ϵ (-2; 0).
С учетом ОДЗ получим решение исходного неравенства: х ϵ (-2; -1) ᴜ (-1; 0).
ОТВЕТ: (-2; -1) ᴜ (-1; 0).
Пример 2: ≥ 0
Найдем ОДЗ: , т. е. мы получим:
Х ϵ (- ; - 1)
Воспользуемся первой строчкой таблицы замен. В нашем случае h(x) = х2; f(x) = х2 +4; g(x) = 2x + 3. Значит на ОДЗ данное неравенство равносильно неравенству:
(x2 - 1)( х2 +4 - (2x + 3));
(x2 - 1)( х2 - 2х + 1) ;
(х - 1)3(х + 1); т. е х
С учетом ОДЗ получим решение исходного неравенства: х ϵ (- ; - 1).
ОТВЕТ: (- ; - 1).
Пример 2: .
Преобразуем исходное неравенство к виду:
.
Воспользуемся третьей строчкой таблицы замен. В нашем случае h(x) = 4; p(x) = х2 - 3; q(x) = х2 - 4x. Таким образом данное неравенство можем заменить на следующее:
х2 - 3 > х2 - 4x;
4х > 3, т. е. х ϵ ( ; +).
ОТВЕТ: ( ; +).