Муниципальное образовательное учреждение

Инсарская средняя общеобразовательная школа № 2

Элективный курс:

«Уравнения и неравенства с параметрами».

Составитель: Кузнецова О.Г.

Пояснительная записка:

Задачи с параметрами в настоящее время включены в программу большинства подготовительных факультативов, а также ряда базовых курсов алгебры и начал анализа в связи с потребностью подготовки учащихся к сдаче вступительных и единых экзаменов. Однако значимость этого курса не ограничивается лишь диагностической ценностью. Умение решать задачи с параметром способствует повышению качества знаний и умений учащихся, интеллектуальному развитию. Задачи с параметрами дают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы. К сожалению, в школьных учебниках таких задач недостаточно. Основная цель курса расширить и углубить знания учащихся по умению решать задачи с параметром. Курс разработан на основе материалов газеты «Математика» и вступительных экзаменов в различные российские вузы.

Курс рассчитан на 17 часов. В неделю - 0,5 часа.

Цель:

Создать условия для формирования и развития у учащихся:

• Интеллектуальных и научно-исследовательских способностей.

• Интереса к изучению задач с параметрами, имеющих реальное внутриматематическое и прикладное значение.

• Умения самостоятельно приобретать и применять знания.

Содержание программы

1. Введение (2 ч.)

2. Линейные уравнения и простейшие уравнения вида p(x)/q(x)=0.(2ч.)

3. Квадратные уравнения.(5ч.)

4.Простейшие иррациональные уравнения.(2ч.)

5.Рациональные неравенства.(3ч.)

6.Тригонометрические уравнения.(3ч.)

7.Функционально-графические методы решения задач с параметрами.(4ч.)

8. Уравнения степени выше второй.(2ч.)

9.Задачи с параметрами в разделе «Элементы математического анализа».(2ч.)

10. Семинар: решение задач с параметром, предлагаемых на ЕГЭ.(2ч.)

Литература.

Г.А.Ястребинецкий. Задачи с параметрами.

А.Г.Мордкович. Газета «Математика» №38 1994год.

Материалы вступительных экзаменов. Газета «Математика» 2002-2005г.

Введение

1.Что такое параметр?

Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

(Независимость параметра заключается в его «неподчинении» свойствам, вытекающим из условия задачи.)

Например: 2а (а -2) = а -2, где а - произвольное действительное число, т.е. параметр.

2. Что означает «решить задачу с параметром»?

Это зависит от вопроса в задаче.

Если требуется решить уравнение, неравенство и т. п., то это означает найти ответ для любого значения параметра.

Если надо найти значение параметра, при котором множество решений уравнения и т. д. удовлетворяет какому-то условию, то решение задачи состоит в поиске этих значений.

3. Основные типы задач с параметром.

Тип 1. Задачи, которые надо решить или для любого значения параметра, или для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Тип 2.Задачи, для которых требуется найти количество решений в зависимости от значений параметра.

Тип 3. Задачи, для которых надо найти все те значения параметра, при которых указанные задачи имеют заданное число решений.

Тип 4. Задачи, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

4. Основные методы решения задач с параметром.

Способ 1. Аналитический. Самый трудный, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им. Способ силового, прямого, «наглого» решения.

Способ 2. Графический. В зависимости от задачи рассматриваются графики или в координатной плоскости (х; у), или в координатной плоскости (х; а).

Графический способ применяют тогда, когда параметр присутствует в уравнении только в качестве слагаемого и не связан с переменной.

Способ 3. Решение относительно параметра. Переменные х и а принимаются равнозначными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных и заканчиваем решение.

План решения

Множество значений параметра разбиваем на подмножества, на которых происходит качественное изменение уравнения.

Для этого необходимо найти контрольные значения параметра. ( В дальнейшем будем обозначать К.З.)

Линейные уравнения и неравенства

Уравнение вида ах - b = 0, где а, b - параметры, называется линейным уравнением относительно х. Оно приводится к виду ах = b.

К.З. находятся при обращении старшего коэффициента в 0.

1. 0х = 0 множество решений.

2. 0х = с корней нет.

3. kx = b единственное решение.

Решение примеров.

1.Для каждого значения параметра, а найдите решение уравнения.

А). ах = 5.

Решение.

К.З: а = 0

Если а = 0, то 0х = 5 корней нет.

Если а  0, то х = один корень.

Ответ: при а  0 х = ; при а = 0 корней нет.

Б). ах + 1 0.

Решение.

К.З. а = 0

Ответ: При а = 0 0х  -1 множество решений.

При а  0 х > .

При а  0 х  .

В). 2а (а -2)х = а - 2.

Решение.

К.З. 2а (а-2) = 0, а = 0, а = 2.

Ответ: При а = 0 0х = -2 корней нет.

При а = 2 0х = 0 множество корней.

При а ¹ 0, а ¹ 2 х = один корень.

Г). (а² - 9)х = а - 3.

Решение.

К.З. а = 3, а = -3

Ответ: При а = 3 0х = 0 множество решений.

При а = -3 0х = -6 корней нет.

При а¹ 3, а ¹ -3 х = ; один корень.

2. Сколько корней имеет уравнение ах = 3а + 8 при указанных значениях параметра а: а = 10, а = -2, а = ¼, а = 0.

Решение.

х = , О.Д.З. а  0.

Ответ: При а = 10, а = -2, а = ¼ один корень.

При а = 0 корней нет.

3. При каких значениях параметра а среди корней уравнения

2ах - 4х - а² + 4а - 4 = 0 есть корни больше 1?

Решение.

(2а - 4)х = (а - 2)² К.З. а = 2.

При а = 2 0х = 0 множество решений, в том числе и больше 1.

При а  2 х = . По условию х  1, значит > 1, а > 4.

Ответ: при а = 2; а Є (4; +).

Задачи для самостоятельного решения.

Блок 1. Простейшие уравнения и неравенства.

Уравнения вида P(X)/G(X) = 0.

К.З. находятся при обращении старшего коэффициента и знаменателя в 0.

1.Решить уравнение.

А). = 0.

Решение.

К.З. х  а.

х² - 9 = 0, х = 3, х = -3.

Ответ: При а = 3 х = -3. При а = -3 х = 3 При а  3, а ¹ -3, х = 3, х = -3.

Б). = 0. О.Д.З. х ¹ 2, х ¹ -2.

Решение.

(а - 1)х - 5 = 0. К.З. а = 1.

При а = 1 0х = 5, корней нет.

При а ¹ 1, х = ; ¹ 2, ¹ -2.

а ¹ 3,5 а ¹ -1,5.

Ответ: при а = 1; а = 3,5; а = -1,5. корней нет.

при а ¹ 1; а ¹ 3,5; а ¹ -1,5. один корень х = .

В). = 3.

Решение.

К.З. а = 0, х  2а.

Преобразуем уравнение а = 6а - 3х, х = .

При а =0 0 = 3 корней нет.

При а ¹ 0 х = , ¹ 2а, а ¹ 0.

Ответ: при а = 0 корней нет. При а ¹ 0 один корень х = .

Г). - х - 1 = а. О.Д.З. х 

Решение.

Преобразуем уравнение к виду ах = 2а + 1. К.З. а = 0.

При а = 0 0 = 1 корней нет.

При а  0 х = . Учтем О.Д.З.  1, а  -1.

Ответ: при а = 0, а = -1 решений нет.

При а  0, а  -1 один корень х = .

Д). при каких значениях а сократима дробь:

Решение.

.

Ответ: При а = -4; 3. дробь будет сократима.

Задачи для самостоятельного решения.

Блок 2. Дробно-рациональные уравнения.

Зачет № 1

1. Решить уравнение.

1). ах = 1

2). (а - 2)х = а² -4.

3). (а² - 4)х = (а + 2)(а - 3).

4). ах - 2х + а = 0.

2. Сколько корней имеет уравнение (а² -5а + 6)х = а⁴ - 16 при указанных значениях параметра а: а = 0, а = 1, а = 2, а = 3, а = -1.

3. Найдите значения а, при каждом из которых уравнение а(3х - а) = 6х - 4 имеет положительный корень.

4. При каких значениях а среди корней уравнения х - ах + а² - 1 = 0 есть корни больше 1?

5. При каких значениях параметра корни уравнения = 2 будут не меньше -1

Квадратные уравнения

Уравнение вида ах² + bx + c = 0, где a, b, c выражения, зависящие только от параметров, и а  0 называется квадратным уравнением относительно х.

К.З. находятся при обращении в 0 старшего коэффициента и дискриминанта.

10 правил расположения корней квадратного трехчлена

Правило 1. Квадратное уравнение не имеет корней, если D  0.

Правило 2. Квадратное уравнение имеет два различных корня, если D  0.

Правило 3. Квадратное уравнение имеет два кратных корня, если D = 0.

Правило 4. Квадратное уравнение имеет два корня х₁ < М и х₂ > М, если аf(М) < 0. (корни разных знаков, если М = 0.)

Правило 5. Квадратное уравнение имеет два разных корня х₁, х₂  ()М, если D > 0, af(M)  0, х₀ > (<) M. (оба положительные или оба отрицательные, если М = 0)

Правило 6. Квадратное уравнение имеет один корень внутри интервала (m;M), а другой вне этого интервала, если f(m) f(M) < 0.

Y

 

m X₁M X₂X

Правило 7. Квадратное уравнение имеет единственное решение х₁ = х₂> М,

(х₁ = х₂ < М), если D = 0, х₀> M. ( D = 0, х₀< M).

Y



M X₀X

Правило 8. Квадратное уравнение имеет разные корни внутри интервала (m;M) или промежутка [m; M], если D > 0, af(m) > 0, af(M) > 0, m < х₀ < M, или D > 0, af(m) ³ 0, af(M) ³ 0, m < х₀ < M.

m X₁X₂M

  X

Правило 9. Квадратное уравнение имеет корни вне интервала или промежутка, если af(m) < 0, af(M) < 0, или af(m) £ 0, af(M) £ 0.

 

X₁ m M X₂ X

Правило 10а. Квадратное уравнение имеет корни х₁< m < х₂< M, если af(m) < 0, af(M) > 0.

X₁m X₂M

  X

Правило 10б. Квадратное уравнение имеет корни m < х₁< M < х₂, если аf(m) > 0, af(M) < 0.

  X

m X₁M X₂

Примеры решения задач

Пример 1. При каких значениях а уравнение х² - 2ах + а² + 2а - 3 = 0

1). Не имеет корней.

2). Имеет корни разных знаков.

3). Имеет положительные корни.

4). Имеет два разных отрицательных корня.

Решение.

1). Корней нет, если D < 0.

D = -4(2а - 3) < 0, при а  1,5.

2). Корни разных знаков для М = 0 имеем f (0) = а² + 2а - 3  0, откуда а Є (-3; 1).

3). Положительные корни для М = 0, D ³ 0 при а £ 1,5; f (0) = а² + 2а - 3 > 0

при а Є (-; -3)  (1; + ); (х₀)^' = а  0

-3 0 1 1,5

  //////// а

4).два разных отрицательных корня для М = 0, D  0 при а 

f (0) = а² + 2а - 3 > 0 при а Є (-; -3)  (1; + ) (х₀)^' = а  0

-3 0 1 1,5

/////// а

Ответ: 1). а  1,5. 2). а Є (-3; 1). 3). 1 ≤ а ≤ 1,5. 4). А  -3.

Пример 2. При каких значениях а уравнение х² + 2(а - 1)х + а + 5 = 0 имеет хотя бы один положительный корень?

Решение

Если один корень положителен, то

1. Другой может быть отрицательным. Для М = 0 имеем f(0) = a + 5  0. a  -5.

2. Другой корень может равняться 0.Для М = 0 имеем f(0) = a + 5 = 0.

(х₀)^' = 1 - а 0 , откуда а = -5.

3. Другой корень может быть положительным. Для М = 0 имеем

D = a² - 3a - 4 ≥ 0,

f(0) = a + 5  0.

(х₀)^' = 1 - а 0, откуда а Є (-5; -1.

Ответ: объединяя все три случая, получаем а Є (-∞; -1.

Пример 3. При каких значениях а уравнение х² + 2(а - 1)х + а - 5 = 0 имеет корни разных знаков, не превосходящих по модулю 5?

Решение

Решим систему

f(-5) = 30 - 9a ≥ 0 a ≤ 10/3

f(0) = a - 5 < 0, a  5

f(5) = 11a + 10 ≥ 0. a ≥ -10/11,

Ответ: откуда а Є  -10/11; 10/3.

Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение х² - 2ах + 9 = 0 имеет один корень?

Решение

D = 0, D = 4a² - 36 = 0, a = ± 3.

Ответ: а = ± 3.

Пример 5. При каких значениях параметра а уравнение ах² - х + 3 = 0 имеет один корень?

Решение

1.D = 0, D = 1 - 12а = 0, а = .

а = 0, линейное уравнение имеет один корень.

Ответ: а = ; 0.

Пример 6. Решить уравнение (а -1)х² + 2(2а + 1)x +4а + 3 = 0

Решение

1. Уравнение имеет один корень, если а - 1 =0, а = 1. 6х + 7 =0, х = . Уравнение имеет один корень, если а  1, D = 0, D = 20a + 16 = 0. a = .

Ответ: а = 1; .

2. Уравнение не имеет корней, если D  0, т.е. а  .

Ответ: а <

3. Уравнение имеет два корня, если D  0, а  , а  1.

Ответ: а > -4/5; а  1.

График квадратного трехчлена

1. Что вы можете сказать о знаках параметров a, b, c, если график функции y = ax² + bx + c имеет вид, изображенный на рис.1? рис.2?

У

Рис.2.

Рис.1

Х

Решение

1). Ветви параболы направлены вниз, поэтому а  0.

2).Т.к. парабола пересекает ось У в точке (0;с), то с  0.

3).х₀ =  0 значит  0, b > 0 рис.1.

Решение

1). Ветви параболы направлены вверх, поэтому а  0.

2). Т.к. парабола пересекает ось У в точке (0;с), то с  0.

3). х₀ =  0, значит  0, b >0 Рис.2.

2. При каких значениях параметра а корни уравнения (а - 2)х² - 2ах + а + 3 = 0 положительны?

Решение

1). К.з. а = 2 х =  0

2). а  2, тогда D ≥ 0, т.е. 6 - а ≥ 0, по теореме Виета х₁х₂ = > 0,

х₁ + х₂ =  0 т.к. оба корня положительны. В результате задача сводится к системе:

> 0,

 0

6 - а ≥ 0.

из которой находим а < -3, 2 < а ≤ 6.

Ответ: а < -3, 2 ≤ а ≤ 6.

3.При каких значениях а корни уравнения (а - 2)х² - 2ах + а + 3 = 0. меньше 3?

Решение

Разделим обе части уравнения на а - 2, получим х² - х + = 0

1). К.з. а = 2 х = < 3.

2). а  2, тогда D ≥ 0, f(3)  0. х₀ < 3. Получаем систему:

6 - а ≥ 0.

f(3) = > 0,

х₀ = .

Из которой находим а < 2, < а ≤ 6.

Х₀ 3 Х

Ответ: а < 2, < а ≤ 6.

4. При каких значениях а корни уравнения (а - 2)х² - 2ах + а + 3 = 0. заключены в интервале (1;3)?

Решение

Разделим обе части уравнения на а - 2, получим х² - х + = 0

1). К.з. а = 2 х = этот корень лежит в данном интервале.

2). а ¹ 2, тогда D ≥ 0, f(1)  0, f(3)  0, 1 < х₀ < 3. получаем систему

6 - а ≥ 0.

> 0,

> 0,

1 < < 3.

Из которой находим а = 2, < а ≤ 6.

У

1 х₀ 3 Х

Ответ: а = 2, < а ≤ 6.

Задачи для самостоятельного решения.

Блок 3. Исследование квадратных уравнений.

№

задание

Ответ

1.

Решить:

(а - 1)х² - х + а = 0

при а = 1 х = 1; при а Є (-∞; - 0,2)U(1,2; +∞) к.н. при а = -0,2; 1,2 х = , при других а два корня.

2.

ах² - 2х + а - 1 = 0

при а = 0 х = 0,5; при а Є (-∞; - 0,6)U(1,6;+∞) к.н.

при а = - 0,6; 1,6 х = ; при других а два корня.

3.

ах² - 2х + 4 = 0

при а = 0,25; х = 4; а = 0 х = 2; при а > 0,25 к.н.

при других а два корня.

4.

При каких а уравнение

имеет один корень?

4х² - 4ах + 1 = 0

а = ± 1

5.

9х² - 2х + а = 6 - ах

20 ± 6√5

6.

ах² - 2х + 5 = 0

0; .

Блок 4. Применение теоремы Виета и ей обратной.

№

задание

Ответ

1.

x² - 2bx + b + 6 = 0

найти все b при которых

уравнение имеет:

Отрицательные корни

(- 6; - 2]

Положительные корни

[3; +∞)

Корни разных знаков

(- ∞;- 6]

2.

Исследуйте знаки корней.

(а - 2)х² - 2ах + 2а - 3 = 0

При а Є [1; 1,5) оба отрицательны; при а = 1,5 х₁ = 0, х₂ < 0;

При а Є (1,5; 2) разные знаки; при а = 2 х = 0,25;

При а Є (2; 6] оба положительны.

3.

Найти все значения параметра,

при которых один корень

вдвое больше другого:

х² + (2а - 1)х + а² + 2 = 0

а = - 4

Разность корней равна 1

х² + ах + 12 = 0

а = ± 7

Отношение корней равно 2

х² + ах + а + 2 = 0

а = - 1,5; 6.

4.

при каких значениях параметра

сумма квадратов корней уравнения

наименьшая.

х² + (2 - а) х - а - 3 = 0

а = 1

5.

при каких значениях параметра

оба корня уравнения лежат в

промежутке (- 1; 1)

4 х² - 2х + а = 0

(- 2; 0,25]

Оба больше 1

(а - 1) х² + 2ах + а - 2 = 0, а ¹ 1

(; )

3 разделяет корни

х² - 2(а + 1)х + 4 - а = 0

(; +∞)

Оба корня положительны

(а + 2) х² - 2ах +3 а = 0

[- 3; - 2)

Зачет № 2

1. Исследуйте знаки корней: (а - 3) х² - 6х + а + 5 = 0

Ответ:. при а Є [- 6; - 5) оба отрицательны, при а Є (- 5; 3) разных знаков,

при а Є (3; 4) оба положительны, при а = - 5 х₁ = 0, х₂ < 0, при а = 3 х =

2. Найти все значения параметра, при которых разность корней уравнения равна 3

(а - 2) х² - (а - 4)х - 2 = 0 Ответ: 1,5; 3

3. Найти все значения параметра, при которых отношение корней равно 1,5

а х² - (а + 3)х + 3 = 0 Ответ: 2; 4,5

4. При каких значениях параметра сумма квадратов корней уравнения наибольшая

х² + (а - 1)х + а² - 1,5 = 0 Ответ: - 1

5. Нарисуйте различные случаи расположения параболы относительно осей координат и в каждом случае ответьте на вопросы о знаках a, b, c, D, f(0).

6. При каких значениях параметра оба корня уравнения лежат в промежутке (1; 3)

х² - ах + 2 = 0 Ответ: [2; 3)

7. При каких значениях параметра оба корня уравнения больше 3?

х² - 6ах + 2 - 2а + 9а² = 0 Ответ: (; +∞)

8. При каких значениях параметра 2 разделяет корни?

а х² + х + 1 = 0 Ответ: (-; 0)

9. При каких значениях параметра оба корня уравнения положительны?

(а - 2) х² - 2ах + 5а = 0 Ответ: [3; ]

10. При каких значениях параметра уравнение имеет один корень?

(2а - 5)х² - 2(а - 1)х + 3 = 0 Ответ: 2,5; 4.

11. Решить для всех значений параметра уравнение: ах² - х + 3 = 0

Ответ: при а = 0 х = 3; при а = х = 6; при а > к.н., при других а два корня.

12. При каких значениях параметра оба корня уравнения отрицательны?

х² + (а + 1)х + а +4 = 0 Ответ: (5; +∞).

Простейшие иррациональные уравнения

Решение этих уравнений сводится к постепенному переходу от иррациональных к рациональным путем возведения в степень обеих частей уравнения. Решение должно сопровождаться тщательной проверкой.

Прием решения.

1. По определению корня подставить данное значение х в уравнение.

2. Найти ОДЗ полученного уравнения.

3. Решить полученное уравнение с одним неизвестным (параметром).

4. Сделать проверку.

5. Записать ответ.

1.Решить уравнение (х - 1) = 0 ОДЗ: х - а ≥ 0

Решение

1. Если х₁ = 1, то х₂ = а.

2. Если а = 1, то х₁ = х₂ = 1.

Если а < 1, то х₁ = 1 удовлетворяет условию х ≥ а, т.е. является корнем.

Если а  1, то х₁ = 1 не удовлетворяет условию х ≥ а, т.е. является посторонним корнем.

Ответ: 1).а < 1, то х₁ = 1, х₂ = а. 2).а ≥ 1,то х = а.

2.При каких значениях параметра уравнение имеет один корень?

( - 2)(х - а) = 0 О.Д.З.: х ≥ 0

Решение

1. Если х₁ = 4, то х₂ = а.

2. Если а = 4, то корень будет единственный.

3. Если а < 0, то корень будет единственный

Ответ: уравнение имеет один корень, при а < 0 или а = 4.

3. Решить уравнение: = 4х + а

Решение

ОДЗ: х ≥ - . Воспользуемся методом замены переменной.

Заменим корень на у, и преобразуем уравнение у = 2(у² - 1) + а. у ≥ 0.

2у² - у + (а - 2) = 0. D = 17 - 8a. a = 2,125.

1. При а > 2,125 к.н.

2. При а = 2,125 у = 0,25 значит х = - .

3. При а < 2,125 два корня у = , причем ≥ 0, решая неравенство, получим, что а Є[2; 2,125].

4. Решить уравнение: = а - х

Решение

ОДЗ: а - х ≥ 0; х ≤ а.

Возведем обе части в квадрат: х² -1 = (а - х)², 2ах = а² + 1, х = , где а  0.

Найдем значения, при которых х ≤ а. ≤ а.

1. а  0, а  0

а² + 1 ≤ 2а². а² ≥ 1

. -1 0 1 а а ≥ 1.

2. а < 0, а < 0,

а² + 1 ≥ 2а². а² ≤ 1

. -1 0 1 а -1≤ а ≤.

Ответ: при а Є [-1; 0] U [1;+∞) , х =

Рациональные неравенства

1.При каких значениях а неравенство х² - 2ах + 9  0 выполняется для всех х?

Решение:

У

-3 3

A

Т.к. а > 0, ветви параболы направлены вверх, значит корней нет, D < 0. 4а² - 36 < 0. -3 < a < 3

Ответ: -3 < a < 3.

2.При каких значениях параметра неравенство ах² + 2(а + 1)х + 2а + 2 ≤ 0 выполняется для всех х?

Решение

-1 0 1 а

Т.к. у ≤ 0, то ветви параболы направлены вниз, значит а < 0, D ≤ 0.

4(а + 1)² - 4а(2а + 2) ≤ 0, 4а² + 8а + 4 - 8а² - 8а ≤ 0, -4а² + 4 ≤ 0, а ≤ -1, а ≥ 1

Ответ: а ≤ -1.

3.При каких значениях параметра неравенство (х³ - 8)(а - х) ≥ 0 имеет один корень?

Решение

Преобразуем неравенств к виду (х - 2)(х² + 2х +4)(х - а) ≤ 0.

Т.к. х² + 2х +4 > 0 при всех х (D < 0), то получим неравенство (х - 2)(х - а) ≤ 0.

1. Если а = 2, то (х - 2)² 0, откуда х = 2.

2. Если а ¹ 2, то при а< 2 имеем а ≤ х ≤ 2.

при а > 2 имеем 2 ≤ х ≤ а.

Ответ: один корень при а = 2.

4.При каких значениях параметра решением неравенства (х - а)²(х - 3)(х + 1) ≤ 0.

служит сплошной промежуток?

Решение

Применим метод интервалов. К.т. х = а, х = 3, х = -1.

1). + + − +

а -1 3 Х

при а < -1, -1 ≤ х ≤ 3, х = а.

+ − − +

2). -1 а 3 Х

при -1 < a < 3, -1 ≤ х ≤ 3.

+ − + +

3). -

-1 3 a X

при а > 3, -1 ≤ х ≤ 3, х = а.

4). + − +

-1 3 Х

при а = -1 имеем неравенство (х + 1)³(х - 3) ≤ 0, откуда-1 ≤ х ≤ 3.

5). + − +

-1 3 Х

при а = 3 имеем неравенство (х + 1)³(х - 3) ≤ 0, откуда-1 ≤ х ≤ 3.

Ответ: -1 ≤ а ≤ 3.

5.При каких значениях параметра во множестве решений неравенства

(1 - х) (х - а) ≥ 0.содержиться 5 целых чисел?

Решение

Преобразуем неравенство (х - 1)(х - а) ≤ 0. К.т. х = 1, х = а.

1). + − +

а 1 Х

при а < 1, а ≤ х ≤ 1, т.е. 1,0,-1,-2,-3. -4 < а ≤ -3

2).

+ − +

1 а Х

при а < 1, 1 ≤ х ≤ а, т.е. 1,2,3,4,5. 5 ≤ а <6.

Ответ: -4 < а ≤ -3; 5 ≤ а <6.

6.При каких значениях параметра неравенство < 0 выполняется для всех х из отрезка [1; 2]

Решение

1. Если а = 2а + 1, то < 1 к.н.

2).

а 1 2 2а + 1 Х

При а < 2a + 1, a < 1,

2 < 2a + 1.

½ < a < 1.

3).

2а +1 1 2 а Х

При а < 2a + 1, a > 2,

1 > 2a + 1. корней нет.

Ответ: < a < 1.

Задачи для самостоятельного решения.

Блок 5. Исследование квадратных неравенств.

Зачет №3.

1. При каких значениях параметра а неравенство (х - а) (х - 2) ≤ 0 имеет одно решение?

Ответ: а = 2.

2. Решить для всех значений параметра ах² - (а + 2)х + 2 ≤ 0

Ответ:1). при а = 0 х ≥ 1; при а = 2 х = 1;

2). при а > 2 х Є [; 1]

3). при а Є (0; 2) х Є [1; ]

4).при а < 0 х Є [-∞;]U(1; +∞);

3. При каких а неравенство ах² +2(а + 1)х + 2а + 2 > 0 выполняется для всех х?

Ответ: 0 < a < 1.

4. Решить для всех значений параметра.

(а - 1)х² + 2(2а+ 1)х + (4а + 3) ≤ 0

Ответ:1). при а < множество решений.

2).при а = множество решений.

3). при < a < 1 два корня.

4)при а = 1 х ≤

5). при а > 1 [x₂; x₁]

5. При каких а неравенство ах² + 4ах + а + 3 < 0 выполняется для всех х?

Ответ: (-∞;-4).

6. При каких а неравенство ах² - 4ах - 3 ≤ 0 выполняется для всех х?

Ответ: [-0.75; 0]

7. При каких значениях параметра а неравенство не имеет решений?

А) х² + 2ах + 1 < 0

Ответ: [-1; 1].

Б) ах² + 4ах + 5 ≤ 0

Ответ: [0; 1,25).

Тригонометрические уравнения

1.Решить уравнение sin x = 3a - 2

Решение

1.Если -1 ≤ 3a - 2 ≤ 1, т.е. ≤ a ≤ 1, то х = (-1)ⁿarcsin(3a - 2) + πn.

2.Если а < ; a > 1, то корней нет.

2.Решить уравнение сos²x = 2a - 1

Решение

По формуле понижения степени получим сos2х = 4а - 3. Далее рассуждаем, как в первом примере.

3.При каких значениях параметра уравнение sin x + сosx = a имеет корни.

Решение

Преобразуем уравнение к виду 2(sin x + сosx) = а, или sin(х + ) = .

Ответ: -1 ≤ ≤ 1, -2 ≤ a ≤ 2.

4.При каких значениях параметра уравнение sin2x = a имеет 5 корней в промежутке [0;2π]

Решение

1. Если а < -1; a > 1, то корней нет,

2 Если а = -1, то sin2x = -1, х = - + πn. Данному промежутку принадлежит только два корня: 3 и 7 , что не соответствует условию.

3.Если а = 1, то sin2x = 1, х = + πn. Данному промежутку принадлежит только

два корня, что не соответствует условию.

4.Если -1 ≤ a ≤ 1, только при а = 0 будет 5 значений. sin2x = 0, х = .Данному промежутку принадлежат корни: 0; ; ; π; 2π.

Ответ: а = 0.

5.Решить уравнение (5а - 1) сosx = 2а + 3

Решение

1. Если а = , то 0 = 2а + 3 корней нет.

2. Если а  , то сosх = , -1 ≤ ≤ 1, решим методом интервалов. Преобразовав, получим: ≤ 0, ≥ 0.

− + −

-2/7 1/5 4/3 Х

+ − +

Ответ:1). если а Є (-∞; -]U[;+∞), то х = ±arccos + 2 πn.

2).если а Є (-;), то корней нет.

6.Решить уравнение (а² - 1) sin x = а + 1

Решение

1.Если а = 1, то 0 = 2, к.н.

2. Если а = -1, то 0 = 0, множество корней.

3. Если а  ±1, то sin x = = 1/(а - 1). -1 ≤ ≤ 1, решим методом

интервалов. Преобразовав, получим: ≤ 0, ≥ 0.

+ - +

0 1 2 Х

- + -

Ответ:1). если а Є (-∞; -1)U(-1; 0]U[2;+∞),то х = (-1)^karcsin + πk, k Є Z.

2).если а = -1, множество корней.

3).если а Є (0;2), то к.н.

7.Найти все целые значения параметра, для каждого из которых уравнение имеет решения. 5 - 4 sin²х - 8 сos² = 3а

Решение

Преобразовав, получим 4 сos²x - 4 сosx - 3 - 3а = 0. Пусть сosx = t. где -1 ≤ t ≤ 1,

Получим 4t² - 4t - 3 - 3a = 0 Найдем все значения а, при которых:

1. оба корня принадлежат [-1;1];

2. хотя бы один корень принадлежит [-1;1];

Рассмотрим три случая возможного расположения параболы.

1). D ≥ 0,

f(-1) ≥ 0,

f(1) ≥ 0.

64 + 48а ≥ 0.

5 - 3а ≥ 0, f(-1) f(1)

-3 - 3а ≥ 0.

-1 t₁t₂ 1 t

≤ а ≤ - 1.

2). D ≥ 0,

f(-1) ≥ 0,

f(1) ≤ 0. f(-1)

a ≥ -1 t₁ 1 t₂ t

a ≤ ,

a ≥ -1. f(1)

-1 ≤ a ≤

3). D ≥ 0,

f(-1) ≤ 0,

f(1) ≥ 0.

a ≥ , f(1)

a ≥ , t₁ -1 t₂ 1 t

a ≤ -1. f(-1)

Корней нет.

Если а Є [; ], то уравнение имеет решение. Целые значения а = -1; 0; 1.

1. а = -1. t = 0; 1. сosx = 0 или сosx = 1

х = + πn, n Є Z. x = 2 πk, k Є Z.

2. a = 0 t = ; . сosx = или сosx =

x = ± + 2πp, p Є Z. к.н.

3. а = 1 t = -0,8; 1,8. сosx = -0,8 или сosx = 1,8

х = ±arccos(-0,8) + 2πm, m Є Z. к.н.

Ответ: 1). если а = -1,то х = + πn, n Є Z. x = 2 πk, k Є Z. 2).если а = 0, то

x = ± + 2πp, p Є Z. 3).если а = 1, то х = ±arccos(-0,8) + 2πm, m Є Z.

8.Найти все значения параметра, для каждого из которых уравнение имеет решения.

сos⁴х - (а + 2) cos²х - а - 3 = 0

Решение

Пусть cos²х = z, 0 ≤ z ≤ 1. z² - (a + 2)z - a - 3 = 0. D = (a + 4)² ≥ 0, z = -1; a + 3.

1. z = -1 не удовлетворяет условию , 0 ≤ z ≤ 1.

2. 0 ≤ а + 3 ≤ 1, -3≤ а ≤ -2; cos²х = a + 3, cosх = ± , х = ±arccos + πn, n Є Z.

Ответ:1). при -3≤ а ≤ -2 х = ±arccos + πn, n Є Z.

2). при а < -3 или a > -2 корней нет.

Задачи для самостоятельного решения.

Блок 6. Тригонометрические уравнения.

№

Задание

Ответ

1.

Решить для всех а

(а² - 9) sin x = а + 3

а Є (-∞; -3)U(-3; 2]U[4;+∞), то х = (-1)^karcsin + πk, k Є Z.

а = -3, то х Є R. a Є (2; 4), то к.н.

2.

a² tgx + 7 = 25tgx + a + 2

a  ±5, то х = arctg + πk, k Є Z.

a = 5, то х Є R. кроме х = + πn, n Є Z.

а = 5, то к.н.

3.

Найти все целые а для

которых есть корни.

2 sin²x + 6 cos²х/2 = 5 - 2а

а =0, то х = + πn, n Є Z.

а = 1, то x = ± + 2πp, p Є Z.

а = 2, то х = ±arccos(-0,8) + 2 πk, k Є Z.

4.

2 - 8sin x/2cosх/2 - 2cos2х =4а

а = 0, то х = πn, n Є Z. и х = + 2πm, m Є Z.

a = 1, то х = (-1)^{k + 1}arcsin 0,7 + πk, k Є Z

а = 2, то х = - + 2πn, n Є Z.

5.

4 cos²х - 4(а + 2) cosх + а² + 4а = 0

-2 ≤ а ≤ 2, то х = ±arccos + 2πm, m Є Z.

-6 ≤ а ≤ -2, то х = ±arccos + 2πk, k Є Z.

a < -6 или a > 2, то к.н.

6.

Найти все целые а для

которых есть корни

1 + а cosх = а² + 2а + 1

-3; -2; -1; 0.

Зачет № 4.

1. Решить для всех а: 3 cosх = 4а + 1

Ответ: 1). а Є [-1; ½], то х = ±arccos + 2πm, m Є Z.

2).а Є (-∞; -1)U(;+∞), к.н.

2.Найти все целые а для которых есть корни: 2 - 2 cos2х = 3а + 4 sin x

Ответ: 1). а = 0, то х = πn, n Є Z и х = + 2πm, m Є Z.

2).a = 1,то х = (-1)^{k + 1} + πk, k Є Z

3). а = 2, то х = (-1)^larcsin 0,8 + πl, l Є Z

3. Решить для всех а: sin²x - 4a sin x + 4a² - 2 = 0

Ответ:1). -3≤ а ≤ -2, то х = (-1)^karcsin (2а + 5) + πk, k Є Z

2).2≤ а ≤ 3, то х = (-1)^karcsin (2а - 5) + πk, k Є Z

3).При других нет корней.

4. Решить для всех а: sin x - = cos2х + 2

Ответ: 1).а = 0, то х = + πn, n Є Z.

2).а  0, то к.н.

5.Решить для всех а: sin⁴x + (a - 6) sin²x - 4(a - 2) = 0

Ответ: 1).1≤ а ≤ 2, то х = ±arccos + πk, k Є Z.

2).а < 1 или а > 2 к.н.

Функционально-графические методы решения задач с параметрами

Графический метод решения особенно эффективен, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра а.

1.Сколько корней имеет уравнение | | х| - 2| = а при различных значениях параметра

Решение

Построим график функции у = | | х| - 2|

3 у = а, а > 2

у = 2

у = а, 0 < a < 2

0 у = 0

у = а, а < 0.

Ответ:1). если а < 0, то к.н.

2).если а = 0, а > 2, то два корня

3). если а = 2, то три корня

4).если 0 < a < 2, то четыре корня.

2. Сколько корней имеет уравнение | х² - 2|х| - 3| = а при различных значениях а?

Решение: Построим график функции у = | х² - 2|х| - 3 |

5

у = а, а > 4

4 y = 4

y = а, 3 < a < 4

у = 3

3 y = a, 0 < a < 3

y = 0

y = a, a < 0

Ответ:1). a < 0, к.н.; 2). a = 0, a > 4 два корня; 3). 0 < a < 3, a = 4 четыре корня;

4). а = 3 пять корней; 5). 3 < a < 4 шесть корней.

3.Решить уравнение |х - 1| + |х - 3| = а

Решение

Построим график функции у = | х - 1| + |х - 3|

Построение:

- - + - + +

1 3

1. у = 1 - х + 3 - х = -2х + 4

2. у = -1 + х - х + 3 = 2

3. у = 2х - 4

3 y = a, a > 2

2 y = 2

1 y = a, a < 2.

1 3 Х

Ответ:1). a < 2, к.н. 2). а = 2, х Є [1; 3] 3). a > 2, x =

4. Сколько корней имеет уравнение (а - 1)х² - 4(а - 1)х + 3а - 4 = 0 при различных значениях параметра а?

Решение

Выразим а = ОДЗ: х  1, х 3

Горизонтальная асимптота равна 1, т.к. lim = 1; вертикальные асимптоты

х = 1, х = 3; а(х) = -2х + 4, х = 2 - точка максимума; пересечение с осью ОУ в точке (0; )

1

1 3 Х

Ответ:1). 0 < a ≤ 1, к.н.; 2). a > 1, a < 0 два корня 3). а = 0 один корень

5. Сколько корней имеет уравнение | х - 4| = ах + 2 при различных значениях а?

Решение

1. x < 4 a = - 1 гипербола

2. х > 4 а = 1 - гипербола

А

1

4 Х

-1

Ответ: 1) -1 ≤ а < 0 к.н. 2). 0 < a < 1 два корня 3).а ≥ 1, а = 0, а < -1 один корень.

6. Сколько корней имеет уравнение = х - а при различных значениях параметра а

Решение

у = у = = 1 х₀ = а₀ = -

у = х - а k = 1 угол наклона прямой равен 45⁰

У

у = х - а, а < a₀ y = x, a = 0

а₀

Х

y = x - a₀ y = x - a, a > 0

Ответ: 1). a > 0, а = а₀ один корень

2).a < a₀ к.н.

3). а₀ < a ≤ 0 два корня.

7. Сколько корней имеет уравнение = -х + а при различных значениях параметра а?

Решение

Построим графики функций левой и правой части данного уравнения.

У

2

1

-1 1 2 3 Х

-1

Ответ:1). а ≤0, а ≥2 один корень

2). 0 < a < 2 два корня.

8.При каких значениях параметра уравнение х² + а | х - 2| = 0 имеет три корня?

Решение

Приведем уравнение к виду х² = -а | х - 2|

Построим графики у = х² и у = - а | х - 2|

У

2 Х

-2

Ответ: а ≤ 8.

9. Сколько корней имеет уравнение х + 1 = а| х - 1| при различных значениях параметра а?

Решение

Приведем уравнение к виду а = .

Построим график.

У

5

4

3

2

1

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 Х

Ответ: 1). а ≤ -1 корней нет;

2). -1 < a ≤ 1 один корень

3). а > 1 два корня.

10. Сколько корней имеет уравнение - х² = х + а при различных значениях параметра а?

Решение

Построим графики функций у = - х² полуокружность, у = х + а прямая.

У

y = х + а, а > a₀

В

2

М y = x - 2

y = x + a, a < -2

С О

-2 2 Х

y = x + a₀

y = x + 2

Найдем а_0. ОС = ОВ = а₀, ОМ = 2, значит ОВ = ОМ, т.е. а₀ = 2

Ответ: 1). а < -2, а > 2 к.н.

2). -2 ≤ а < 2, а = 2 один корень

3). 2 ≤ а < 2 два корня.

Задачи для самостоятельного решения.

Блок 7. Графический метод решения.

№

задание

Ответ

1.

Сколько корней имеет ур-ие

х + 2 = а | х - 1|

а ≤ -1, к.н. -1 < а ≤ 1 один корень; а > 1 два корня

2.

| х + 1| = а (х - 1)

а ≤ -1, а > 1, а = 0, один корень; -1 < а < 0, два корня;

0 < а ≤ 1, к.н.

3.

2| х | - 1 = а (х - 1)

а ≤ -2, а > 2, а = 1, один корень;

-2 < а < 1 , два корня; 1 < а ≤ 2 к.н.

4.

При каких значениях

параметра уравнение имеет

три корня ах² + | х - 1| = 0

а = -

5.

При каких значениях

параметра уравнение имеет

один корня |3 х + 3| = ах + 5

-3 ≤ а ≤ 3

Зачет № 5

Сколько корней имеет уравнение при различных значениях параметра а?

1. |  х  - 3| = а

Ответ:1). а < 0, к.н. 2).а = 0, а > 3, два корня

3). а = 3 три корня 4). 0 < а < 3 четыре корня.

2. | х + 1| + | х + 2 | = а

Ответ:1). а < 1 к.н. 2).а = 1 множество корней из [-2; -1] 3). a > 1 , два корня

3. х² - 4 х  + 3 = а

Ответ:1).а < 0 к.н. 2).а = 0, а < 3 четыре корня

3).0 < а < 1 восемь корней 4).а = 1 шесть корней

5). а = 3 три корня 6). а > 3 два корня.

4. . х² - 6 х  + 5 = а

Ответ:1). а < 0 к.н. 2). а = 0, 4 < а < 5 четыре корня

3).0 < а < 4 восемь корней 4). а = 4 шесть корней 5). а = 5 три корня

6). а > 5 два корня

5. | 3х + 6| = ах + 2

Ответ: 1).а ≤ -3, а > 3, а = 1 один корень

2). -3 < а < 1 два корня.

6. х⁴ - 2х² + 3 = а

Ответ: 1).а < 2 к.н. 2). а = 2, а > 3 два корня

3). а = 3 три корня 4). 2 < а < 3 четыре корня

7. х³ - 3х² + 2 = а

Ответ: 1). а > 2, а < -2 один корень

2). а = 2, а = -2 два корня 3). -2 < а < 2 три корня

8. 3х² - х³ = а

Ответ:1). а > 4, а < 0 один корень 2). а = 4, а = 0 два корня

3). 0 < а < 4 три корня

Уравнения степени выше второй

Иногда уравнения можно рассматривать как квадратные не только относительно одной из своих неизвестных, но и относительно параметра. Рассмотрим этот метод.

Задача 1. Найти все значения параметра, при которых уравнение

(х² - а) = 6 х² - 4х - 2а имеет три корня.

Решение

Преобразуем уравнение к виду а² + 2а(1 - х²) + х⁴ - 6 х² + 4х = 0

Корни этого уравнения: а = х² + 2х - 2, а = х² - 2х. Построим эти параболы.

У

2

1

-3 -2 -1 1 2 3 Х а = -3/4

-1 а = -1

-2

-3

Ответ: а = ; а = -1.

Задача 2. Найти число корней в зависимости от параметра.

х⁴ - 10х³ - 2(а - 11) х² + 2(5а + 6)х + 2а + а² = 0

Решение

Преобразуем уравнение к виду

а² + 2(1 - х² + 5х) а + х⁴ + 10х³ + 22 х² + 12х = 0

Корни уравнения, а = х² - 4х - 2, а = х² - 6х. Построим эти параболы.

А

-1 2 4 6 8 х

-2

-4

-6

-8

Ответ: 1). а < -9 к.н. 2) а = -9 один корень 3) -9 < a < -6 два корня

4) а = -6; -5 три корня 5) -6 < а < -5, а > -5 четыре корня.

Задача 3. Найти число корней в зависимости от параметра х⁴ - 2а х² + а² - 1 = 0

Решение

Преобразуем уравнение к виду а² - 2а х² + х⁴ - 1 = 0

Корни уравнения: а = х² - 1, а = х² + 1 Построим эти параболы.

а

2

1

-2 -1 1 2 х

-1

Ответ: 1) а < -1 к.н. 2) а = -1 один корень 3) -1 < а < 1 два корня

4) а = 1 три корня 5) а > 1 четыре корня.

Задача 4. При каких значениях параметра уравнение х⁴ + (1 - 2а) х² + а² - 1 = 0

имеет четыре корня?

Решение

Заменим х² = t, получим t² + (1 - 2a)t + а² - 1 = 0

Первоначальное уравнение имеет четыре корня тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет два различных положительных корня, т.е.

D = -4а + 5 > 0,

t₀ = > 0.

f(0) = а² - 1 > 0.

Ответ: a Є (1; )

Задача 5. При каких значениях параметра уравнение х⁴ + (1 - 2а) х² + а² - 1 = 0 имеет три корня?

Решение

Заменим х² = t, получим t² + (1 - 2a)t + а² - 1 = 0

Первоначальное уравнение имеет три корня тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет один положительный корень и один корень равный 0, т.е.

t₀ = (2a - 1) > 0,

f(0) = а² - 1 = 0.

Ответ: a = 1.

Задача 6. При каких значениях параметра уравнение х⁴ + (1 - 2а) х² + а² - 1 = 0

имеет два корня?

Решение

Заменим х² = t, получим t² + (1 - 2a)t + а² - 1 = 0

Первоначальное уравнение имеет два корня тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет либо один положительный и один отрицательный корни (1), либо один кратный положительный корень (2).

1). f(0) = а² - 1< 0, откуда: a Є (-1; 1)

2).

t₀ = (2a - 1) > 0,

D = -4а + 5 = 0, откуда а =

Ответ: a Є (-1; 1) U {}

Задача 7. При каких значениях параметра уравнение х⁴ + (1 - 2а) х² + а² - 1 = 0

имеет один корень?

Решение

Заменим х² = t, получим t² + (1 - 2a)t + а² - 1 = 0

Первоначальное уравнение имеет один корень тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет один неположительный корень и корень равный 0, т.е.

t₀ = ≤ 0.

f(0) = а² - 1 = 0.

Ответ: а = -1

Задача 8. При каких значениях параметра уравнение х⁴ + (1 - 2а) х² + а² - 1 = 0

не имеет корней?

Решение

Заменим х² = t, получим t² + (1 - 2a)t + а² - 1 = 0

Первоначальное уравнение не имеет корней тогда, когда полученное квадратное уравнение само не имеет корней (1), а также когда его возможные корни отрицательны (2)

1). D = -4a +5 < 0, откуда а >

2).

t¢₀ = < 0.

f(0) = а² - 1 > 0.

откуда а < -1

Ответ: a Є (-; 1)U(;+∞)

Задача 9. При каких значениях параметра уравнение sin²x + (1 - 2а) sinx + а² - 1 = 0

не имеет корней?

Решение

Заменим sinx= t, получим t² + (1 - 2a)t + а² - 1 = 0

Первоначальное уравнение не имеет корней тогда, когда полученное квадратное уравнение

1). Само не имеет корней.

2). Его возможные корни меньше -1.

3). Его возможные корни больше -1.

4). Имеет корни х₁ < -1 и х₂ > 1.

1). D = -4a + 5 < 0, откуда а > .

2). t¢₀ = < -1,

f (-1) = а² + 2a - 1 > 0, откуда а < -1 - .

3). t¢₀ = > 1,

f (1) = а² - 2a + 1 > 0, откуда a Є (; +∞)

4). f (-1) = а² + 2a - 1 < 0,

f (1) = а² - 2a + 1 < 0, корней нет.

Ответ: a Є (-∞;- 1 - )(;+)

Задачи для самостоятельного решения.

Блок 8. Уравнения степени выше второй.

№

задание

Ответ

1.

Найти значения параметра при которых уравнение

имеет три корня

(2 х² -а)² = 13х² + 6х - 2а

А = ;

2.

Найти значения параметра при которых уравнение

имеет четыре корня

х (х + 1)(х + а) (х + 1 + а) = а²

 а | > + 2, | а | < - 2

3.

Найти значения параметра при которых уравнение

имеет корни

tg²x + tgx - a = 0

[-0.25;+)

4.

Найти значения параметра при которых уравнение

не имеет корней

2х⁴ - 2ах² + а² - 2 = 0

(-;-)U(2;+ ¥)

5.

Найти значения параметра при которых уравнение

не имеет корней

25^х + (а + 4)5^х - 2а² - 10а - 12 = 0

[-3;-2]

Зачет № 6.

1. При каких значениях параметра уравнение (а + 2х)² = х⁴ + 4х + 2а - 1 имеет три корня?

Ответ: а = 0; 1; 2.

2. Найти число корней в зависимости от параметра х⁴ - 4х² + 4а - а² = 0

Ответ: 1) а < 0, а > 4, а = 2 два корня

а = 0, а = 4, 0< а < 2, 2< а < 4 три корня

3. Найти число корней в зависимости от параметра х³ - ах² - 2х - 2а²х - 2а = 0

Ответ: при любом значении параметра три корня.

4. При каких значениях параметра уравнение х⁴ - 4х² = а имеет четыре корня?

Ответ: (-4;0)

5. При каких значениях параметра уравнение sin⁴x + cos²x - a = 0 не имеет корней?

Ответ: (-∞;)U(1;+∞)

Задачи с параметрами в разделе «Элементы математического анализа»

1. При каком значении параметра касательная к графику функции у = ах² + 5х + 4

в точке х = 1 образует с осью х угол 135⁰?

Решение

k = tg135⁰ = -1

y = 2ax + 5, k =y(1) = 2a + 5 = -1, a = -3.

Ответ: а = -3.

2. При каких значениях параметра функция у = ах³ + 3ах² + 6х + 7 возрастает на всей числовой оси?

Решение

y = 3ах² + 6ах + 6 ≥ 0, при условии

3а > 0

D < 0.

D = 36a² - 72а < 0 , а = 0, а = 2.

+ - +

0 2 х

Ответ: 0 < а < 2.

3. При каком значении параметра функция у = 2х³ - 6а² х + 3 имеет минимум в точке х = 3?

Решение

y = 6х² - 6а² = 6(х - а) (х + а) = 0

При а = 0, y¢ = 6 х² ≥ 0, т.е. функция возрастающая, минимум в точке х = 3 иметь не

может.

При а  0, а > 0 х = а - точка минимума, т. е если а = 3 ,то х = 3 точка минимума.

+ - + y¢

Х

-a a y

При а  0, а < 0 х = - а - точка минимума, т. е если а = -3 ,то х = 3 точка минимума.

+ - + y¢

Х

a -a y

Ответ: а = 3, а = -3.

4. При каком значении параметра а > 0 площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = , х = 1, у = 0, х = а, равна 2?

Решение: Задача сводится к решению уравнения ∫dx/x = 2, откуда находим а = е².

5.При каких значениях параметра наименьшее значение функции у = х³ -12х + а на [1;3] равно 0?

Решение

у(1) = -11 + а, у(3) = -9 + а, y¢ = 3 х² - 12 = 0, х = ± 2.

+ - +

-2 1 2 3 х

у(2) = -16 + а, т.к. в точке х = 2 - минимум, то в ней и наименьшее значение функции, значит -16 + а = 0, а = 16.

Ответ: а = 16

6. При каких значениях параметра наименьшее значение функции у = х + е^{а - х}

равно 4

Решение

y¢ = 1 - е^{а - х} = 0, а - х = 0, а = х.

- +

а х

т.к. в точке х = а - минимум, то в ней и наименьшее значение функции, значит у (а) = а + 1 = 4, а = 3.

Ответ: а = 3

7. При каких значениях параметра функция у = х³ + 3 х² + ах возрастает на всей числовой оси?

Решение

y¢ = 3 х² + 6х + а > 0, D = 36 - 12а = 0, а = 3.

+ - D

а

3

1). Если а ≥ 3, то D ≤ 0, y¢ > 0 функция возрастает.

2). Если а < 3, то D > 0, уравнение имеет два корня, функция не монотонна.

Ответ: а ≥ 3.

8. При каком значении параметра прямая у = ах - 7 касается параболы

у = 2х² - 5х + 1?

Решение

Уравнение касательной у = (4х₀ - 5)х - 2х₀² + 1

- 2х₀² + 1 = -7,

4х₀ - 5 = а.

х₀ = ± 2, а = 3, а = -13.

Ответ: а = 3, а = -13.

9. При каком значении параметра прямая у = 2х + 6 касается графика функции

у = ?

Решение

Найдем уравнение касательной.

1). у₀ = 2 -

2). y¢ =

3). y¢(х₀₎ =

4). у = 2 - + (х - х₀) = х + 2 - 2

= 2, а = 2 х₀² х = -1,

2 - 2 = 6. -4 = 4. а = 2.

Ответ: а = 2.

Задачи для самостоятельного решения.

Блок 9. Параметры в математическом анализе.

№

задание

Ответ

1.

При каком значении параметра прямая 4х + у + 3 = 0 касается графика функции у =

а = -2

2.

При каком значении параметра прямая 16х + у - 13 = 0; касается графика функции у =

а = 1

3.

При каких значениях параметра функция у = х³ + ах² + 3х + 21

убывает на всей числовой оси?

а Є R

4.

При каких значениях параметра наименьшее значение функции

у = 2х³ - 6а² х + 3 равно 0?

5.

При каком значении параметра функция у = х + е^{а - х} имеет максимум в точке х = 3?

Зачет № 7.

1.При каком значении параметра прямая 4х + у - 6 = 0 касается графика функции

у = ?

Ответ: а = -1.

2. При каком значении параметра касательная к графику функции у = х³ - ах

в точке х = 1 проходит через точку (2;3).

Ответ: а = 0,5; -1.

3. При каких значениях параметра функция у = 2х³ - 3а² х + 7 возрастает в интервале (а - 1, а + 1)?

Ответ: а ≤ -1, а ≥ 2.

4. При каком значении параметра функция у = х³ - 3а х² + 27х - 5 имеет одну стационарную точку?

Ответ: а = ± 3.

Решение задач с параметром, предлагаемых на ЕГЭ

1. При каких значениях параметра уравнение log₃²x - (2a + 3)log₃x + a² + 3a = 0 имеет два различных корня, равноудаленных от точки х = 42?

Решение

Пусть log₃x = t, тогда уравнение примет вид t² - (2a + 3)t + a² + 3a = 0,

его корни t = a + 3; a.

log₃x = a + 3 или log₃x = а

х₁ = 3^{а + 3} х₂ = 3^а.

Точка х = 42 является серединой отрезка. По формуле координаты середины отрезка: = 42, откуда а = 1.

Ответ: а = 1.

2. При каких значениях параметра уравнение (2а + 3)х² + (а + 3)х + 1 = 0

а) имеет хотя бы один корень

б) число различных корней равных числу различных корней уравнения:

Решение

а) 2а + 3 = 0, а = -1,5. один корень.

D = 0, если 2а + 3  0, а = -1, 3.

б) (2х + 1)( + 3). = 21 -а.

Построим графики функций 1). у = (2х + 1)( + 3). и 2).у = 21 -а.

1. ОДЗ х ≥ 3, у^ > 0, функция возрастает, у(3) = 21, у = 21 -а

2. прямая, 21 - а ≥ 21, значит а ≤ 0

у

21

3. х

Объединим решения а) и б)

-1,5 -1 0 3 а

Ответ: а = -1,5; -1.

3. При каких значениях параметра уравнение 6sin³x = a - 5cos2x не имеет корней?

Решение

Пусть sinx = t, где -1 ≤ t ≤ 1, тогда уравнение примет вид 6t³ - 10t² + 5 = 0.

Рассмотрим функцию у = 6t³ - 10t² + 5, у^ = 18t² - 10t = 0. t = 0; .

+ - +

-1 0 5/9 1 t

y(-1) = -11, y(1) = 1, y(0) = 5

Ответ: (-∞; -11)U(5; +)

4. При каких целых значениях параметра уравнение х²(х - 4) +а = 0 имеет три корня?

Решение

Построим графики функций у = х²(х - 4) и у = - а.

1). у = 3х³ - 4х², у = 3х² - 8х = 0, х = 0;

При х = 0, у = 0. при у = 0, х = 0; 4

При х = , у = -9,5

+ - +

0 8/3 х

max min

у

8/3 х

-9,5

При -9,5 < - a < 0 , 0 < a < 9,5

Ответ: 1,2,3,4,5,6,7,8,9.

5. При каких значениях параметра уравнение  sinx  = ÷cosx ÷ + a имеет целые положительные корни?

Решение

|cosx|

1

|sinx|

Ответ: а = 1.