Конспект мероприятия по математике 'Математический иллюзион' (5-9 кл)

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИЛЛЮЗИОН

Цель: формирование умений применять свойства чисел при решении нестандартных задач

Задачи: развитие творческой деятельности учащихся; любознательности; организаторских умений; умения выступать перед аудиторией с подготовленными сообщениями; интереса к предмету; представления об истории развития математики, воспитание чувства коллективизма; навыков самостоятельной деятельности; ответственности за коллектив в процессе творческой работы

Оборудование: магнитофон, компьютер, проектор мультимедийный, плакат «Математический иллюзион», высказывание Вейерштрасса, календарики, калькуляторы, ножницы, полоски бумаги.

ХОД МЕРОПРИЯТИЯ

Учащиеся рассаживаются за несколько столов. На каждом столе - календарики, калькуляторы, ножницы, полоски бумаги.

Учитель: Здравствуйте, дорогие ребята и уважаемые гости! Сегодня мы приглашаем вас на необычное мероприятие по математике, которое называется «Математический иллюзион». Слайд 1.

Знаменитый математик Вейерштрасс сказал: «Человек, который не является в известной мере поэтом, никогда не будет настоящим математиком». Поэзия и математика, фантазия и строгость. Что может быть общего? Слайд 2.

За строгими математическими формулами, которые чаще всего и наполняют учебники, порой на уроках мы не видим ее математической красоты и изящества и цель нашего занятия - найти пути к ее математической красоте.

Предмет математика настолько серьезен, что полезно не упускать случая делать его немного занимательным. Несмотря на то, что многим математика кажется скучной наукой, иногда и в ней проскальзывает озорная улыбка, фокус, иллюзия. Поэтому сегодняшнее занятие мы назвали «Математический иллюзион»

Помогать мне будут ученики, которые имеют успехи в изучении математики.

Иногда думают, что успех в математике основан на простом запоминании правил, формул. Конечно, память нужна, но значительно важней, умение находить наиболее удачные пути решения задач, умение правильно рассуждать, делать верные выводы. Например, при изучении геометрии важное значение имеет чертеж, рисунок. А каким он может быть?

Нередко, решая в школе какие-либо задачи, учащиеся делают вывод лишь на основании того, что они видят на чертеже, часто они даже уверены, что после этого никаких доказательств, построений уже не нужно.

Вы сейчас увидите несколько примеров того, как геометрический чертеж нас обманывает, подводит наше зрение, т. е. примеры геометрических иллюзий. С ними вас познакомит ученик ____________________________.

1 ученик

Я приведу несколько примеров, когда наблюдение над чертежом может нас привести к грубым ошибочным выводам. Приступая к решению геометрической задачи, как правило, первым делом строим чертеж. В древние времена решение на этом и заканчивалось. Все доказательства сводились к одному слову: «СМОТРИ». Но всегда ли мы можем доверять нашему зрению? Оказывается, нет! Ученые придумали и построили много обманчивых картинок, наглядно демонстрирующих сколь ограничены возможности наших глаз.

Слайд 3. Посмотрите на этот рисунок: белый квадрат, кажется крупнее черного. Хотя они равны.

Взглянув на следующий рисунок, можно заметить, что чем дольше вы на него смотрите, тем больше меняется изображение. Не сводите с него взгляда секунд 20-30, сосредоточитесь на белом квадрате. Что же происходит? Белый квадрат как бы последовательно меняет положение, переходя то на задний план, то на передний план, и будет вести себя так, пока вы смотрите.

Слайд 4.

Поразительную иллюзию создают вертикальные прямые, эти прямые кажутся изогнутыми на фоне сходящихся наклонных прямых. Слайд 5.

Похожий пример изображен на этом рисунке. Все линии кажутся здесь не параллельными из-за сдвига белых и черных квадратиков. Слайд 6.

Мы знаем из опыта, что при удалении предмета его видимые размеры уменьшаются, уходящие вдаль рельсы железной дороги кажутся сходящимися в одной точке на горизонте. Изображенные на фоне такой перспективы столбики кажутся разной высоты. Слайд 7.

Геометрические иллюзии создают богатые возможности для художников, фотографов, модельеров. Однако инженерам и математикам приходится быть осторожными с чертежами и подкреплять «очевидное» точными расчетами.

Учитель: Ну, что ж, ребята вы услышали о примерах геометрических иллюзий. Эти иллюзии объясняются тем, что мы порой бываем невнимательны, слишком уверены в своих знаниях, не проверяем их практикой.

А сколько в математике загадочных числовых курьезов!

2 ученик Вот, например, курьез, связанный со свойствами числа 12345679. Если его умножить на 9, то в результате получится число, записанное цифрой 1, если умножить на 18, то получится число, записанное цифрой 2. Давайте подумаем, какая связь между числами 9 и 18? Слайд 8.

Участники: 9=9*1, 18=9*2.

Ученик: Как вы думаете, какой цифрой будет записано полученное число?

Участники: цифрой 3.

Ученик: проверьте с помощью калькуляторов.

Учитель: В математике встречаются и другие курьезы, связанные с необычными и интересными свойствами некоторых чисел. Об одном из таких курьезов вам расскажет _________________________

3 ученик: Прекурьезнейшие соотношения иной раз обнаруживаются среди целых чисел. Возьмем например 12 обыкновенных целых чисел! Посмотрите на них 1,2, 3, 6, 11, 13, 17, 18, 21, 22, 23 с виду они ни чем не примечательны. Слайд 9.

Разъединяем их на 2 группы.

В 1 группу входят числа: 1, 6, 7, 17, 18, 23, а во 2 - 2, 3, 11, 13, 21, 22.

Сейчас мы с вами убедимся, что группы этих чисел обладают необычными свойствами. Я предлагаю каждой группе выполнить следующие задания.

1. Найдите сумму чисел 1 группы и сумму чисел 2 группы

Чему равна сумма? 72 и 72.

То есть суммы 1 и 2 групп чисел получились равными.

2. Найдите сумму квадратов чисел 1 группы и 2 группы

Чему равна сумма квадратов? 1228 и 1228. Суммы квадратов чисел тоже оказались равными.

(музыка, участники вычисляют на калькуляторах)

3 ученик: Можно убедиться в том, что и суммы кубов и суммы четвертых степеней этих групп чисел будут одинаковыми.

Еще поразительнее: если увеличивать или уменьшать все числа 1 и 2 групп на какое хотите одно и тоже целое число - получающиеся новые группы чисел будут обладать теми же свойствами. Если вы хотите убедить в этом, то проверьте самостоятельно дома.

Учитель: Свойства этих и подобных чисел были знакомы еще в Древней Греции и помогали им без вычислительных машин и калькуляторов выполнять сложные вычисления.

Учитель: Числа настолько вошли в жизнь человека, что им стали приписывать всякие магические свойства. Попросим об этом рассказать ___________________________

5 ученик: При археологических раскопках в Китае и Индии были найдены квадратные амулеты. Квадрат разделен на 9 квадратиков, в каждом из которых написано по одному числу от 1 до 9. Замечательно, что суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и по каждой из двух диагоналей равны одному и тому же числу 15.

Магический квадрат 3х3 был известен ещё в Древнем Китае, первое изображение на черепаховом панцире датируется 2200 до н.э.

В средние века магические квадраты были очень популярны. Один из магических квадратов изображен на гравюре знаменитого немецкого художника Альбрехта Дюрера «Меланхолия». Любопытно, что два числа в середине нижней строки указывают год создания картины - 1514 год.

Также любопытно, что сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.

Слайды 10, 11, 12.

5 ученик: В Европу эти магические квадраты проникли лишь в начале 20 века и вы можете попробовать стать автором магического квадрата.

С квадратами связано много других интересных свойств. Рассмотрим одно из них. У вас на столах есть календарики. Выберите любой месяц и отметьте на нем какой-нибудь квадрат, содержащий 9 чисел. Теперь мне достаточно назвать наименьшее из них, чтобы я объявил сумму этих девяти чисел.

Каждая группа называет наименьшее число.

(эти числа записываются на доске)

Теперь сосчитайте сумму всех девяти чисел, а я запишу ответы и вы их сравните со своими.

(музыка, участники считают, ученик находит результат по формуле 9*а +72, где а - наименьшее число)

Верно записаны ответы?

Математические квадраты обладают многими замечательными свойствами, о них вы можете прочитать в дополнительной литературе.

Учитель: Сколькими замечательными свойствами обладает магический квадрат. Не менее замечательными свойствами обладает лист (лента) Мебиуса.

Что такое лист Мебиуса вам расскажет _________________.

6 ученик: Склеим два кольца: Одно простое и одно перекрученное. Представьте муравья находящегося на поверхности простого кольца. Удастся ли муравью попасть на обратную сторону кольца, не переползая через его край. Конечно же, нет! А, если муравей ползет по перекрученному кольцу? Сейчас я попробую провести непрерывную линию по одной из сторон кольца, и посмотрим, что получится. Слайд 13.

Этот опыт провел в середине прошлого века немецкий астроном и геометр Август Мебиус. Он обнаружил, что на перекрученном кольце линия прошла по обеим сторонам, хотя карандаш не отрывался от бумаги. Оказывается у перекрученного кольца (впоследствии его назвали листом Мебиуса) имеется только одна сторона. Слайд 14.

Позже математики открыли еще целый ряд односторонних поверхностей. Но эта самая первая положившая начало целому направлению в геометрии по-прежнему привлекает к себе внимание не только ученых, но и художников.

Опыты, которые мы предлагаем вам провести с листом Мебиуса и подобными кольцами вы сами проделаете с приготовленными для вас кольцами, а вам надо выполнить задание.

(музыка, 1 группа - разрезают лист Мебиуса на расстоянии 1 см, 2см, 3см, 4см от края; 2 группа - разрезают вдоль и складывают лист Мебиуса; 3 - разрезают вдоль дважды перекрученное кольцо)

6 ученик: Итак, каждая группа выполняла разные опыты и сейчас я попрошу показать результаты.

Участники: 1 группа - получилось несколько лент

2 группа -получилось кольцо уже в два раза и длиннее, а при ударе по листу Мебиуса получился шестиугольник.

3 группа - две восьмерки.

6 ученик: Всем спасибо! Таких опытов можно провести различное множество, нужно только экспериментировать и вы сможете увидеть много неожиданного, удивительного.

Удивительное, необычное. А оказывается это можно использовать в технике. Если у ременной передачи ремень сделать в виде листа Мебиуса, то его поверхность будет изнашиваться вдвое медленнее, чем у обычного кольца. Это дает ощутимую экономию.

Также в системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности. Слайды 15, 16.

Учитель: Слайды 17-25. Примеры иллюзий не только с геометрическими фигурами, но и в природе.

Наша встреча с необычными явлениями в математике на этом заканчивается. С помощью моих помощников вы убедились в существовании многих замечательных и интересных, таинственных и поэтических свойств в математике. Тем, кому они стали интересны, советую воспользоваться дополнительной литературой по математике. Я благодарю за участие в математическом иллюзионе всех, которые помогли нам увидеть необычный мир математики и которые увидели необычный мир математики. Я уверена, что это не последняя встреча с удивительным миром математики. Слайд 26.

Источники:

1. Занимательный мир математики. Ройн Вайблун. Дельта. Санкт-Петербург, 1998г.

2. Магия чисел и фигур. В.В. Трошин. Глобус, Москва.