Учителю
Проблемный урок. Формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

Проблемный урок. Формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

Автор публикации: Штадельман Е.В.

Дата публикации: 19.07.2015

Краткое описание:

предварительный просмотр материала

Автор: Штадельман Елена Викторовна

ОУ: Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа№90» Томской области, г. Северска,

Предмет: Математика

Тема урока: Формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии.

Класс: 9

Приложение к уроку: Компьютерная презентация (среда Power Point)

Цель:

Научить учеников формулам суммы первых n-членов арифметической прогрессий и применению их при решении задач.
Ознакомить с историческими данными о прогрессиях.
Систематизация и углубление знаний и навыков, закрепление и обобщение данной темы.
Развитие и активизация познавательной деятельности, внимания, интереса к теме, памяти.
Воспитание у учащихся чувства ответственности, культуры современного труда, простоты, четкости мышления.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Форма урока: проблемный урок.

Актуальность:

Человек на протяжении всей своей жизни постоянно решает какие - то острые и неотложные задачи и проблемы. Это означает одно - вокруг нас много неизвестного, скрытого. Какие бы новые веяния ни проникали в школу, как бы ни менялись программы и учебники, формирование интеллектуальной культуры учащихся всегда было и остается одной из основных общеобразовательных и воспитательных задач. И от умения учителя организовать систематическую познавательную деятельность зависит степень интереса учащихся к учебе, уровень их знаний, готовность к самообразованию, т.е. их интеллектуальное развитие.

Роль учебного предмета «Математика» в процессе формирования личности уникальна, его образовательный и развивающий потенциал огромен. Ведущей целью математического образования является интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, необходимых человеку для полноценной жизни в обществе. Математика как раз - таки является тем предметом общего образования, позволяющим наделять подрастающего человека способностями, необходимыми для свободной и безболезненной адаптации его к условиям жизни в современной обществе.

Развивает и формирует ученика не столько само знание, сколько методы его приобретения. Если учебная деятельность протекает только в рамках воспроизведения усвоенных знаний, это никоим образом не способствует развитию человека.

Числовые последовательности и, как частный случай, прогрессии изучаются в курсе алгебры 9 класса. Последовательности - тема математического анализа, и было бы логичнее начинать с нее изучение начал математического анализа в старшей школе".

Однако в стандарте математического образования тема "Прогрессии" представлена в рамках основной школы, и изучение ее является необходимым. Уровень обязательной подготовки характеризует следующий минимум, который должны достичь все учащиеся при изучении темы "Прогрессии": правильно употреблять буквенную символику; составлять несложные буквенные выражения и формулы; осуществлять в формулах числовые подстановки и выполнять соответствующие вычисления. Изучение программного материала дает возможность учащимся познакомиться с арифметической и геометрической прогрессиями, применять формулы n-го члена и суммы n первых членов при решении задач.

Умение решать задачи по теме "Прогрессии" является обязательным для выпускников основной школы, и такие задачи включены в задания выпускного экзамена (ГИА) за курс основной школы.

Материал данной темы чрезвычайно удобен для упражнений в творческих умозаключениях по аналогии. Обучая учащихся правильно пользоваться таким эвристическим методом как аналогия, находить и исправлять ошибки в одних предложениях и доказывать другие, подчеркивая истинные аналогии и разрушая ложные, можно развивать элементы творческого мышления.

Оборудование: Памятка, индивидуальные карточки, компьютерная презентация.

План проведения урока:

Этапы урока

Временная реализация

Мотивационно ориентированная часть.

6 мин.

Актуализация знаний и постановка проблем.

10 мин.

Изучение нового материала, его осмысление и первичное закрепление.

22 мин.

Подведение итогов урока. Задание на дом.

7 мин.

Итого:

Ход урока:

I. Мотивационно ориентированная часть.

Учитель приветствует учащихся, выявляет отсутствующих.

Учитель: Прежде чем начать урок, я хочу рассказать вам одну удивительную историю.

Очень давно, еще до нашей эры, в Древней Греции один правитель задал Эвклиду вопрос: «Сколько времени нужно, чтобы изучить математику?» На это ученый ответил, что понадобится не год, не два, а целая жизнь. Правитель воскликнул: «Но я же не обычный смертный, а царь!» И тогда Эвклид произнес одну из своих знаменитых фраз. Он сказал: «Нет царского пути в математику!».

Итак, царского, быстрого пути в математику нет. Но есть другой путь, по которому можно постигать эту науку в течение всей жизни.

Учитель: Тема нашего урока: "Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии". Вдумайтесь в формулировку темы и попытайтесь сформулировать проблемы, которые на ваш взгляд мы должны решить по этой теме. (Слайд № 1)

Учащиеся называют проблемы, а учитель кратко записывает их на доске и обещает, что на все вопросы мы постараемся узнать ответы на этом или последующих уроках. Учитель сообщает учащимся, какие ещё проблемы ему удалось выделить. (Слайд № 2)

Проблемы:

Как выглядят формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии?
Как вывести формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии?
Зачем нужно уметь вычислять сумму n первых членов арифметической прогрессии?

II. Актуализация знаний и постановка проблем.

Учитель: Предлагаю вам решить одну интересную, жизненную задачу.

Учитель просит учащихся выполнить задания, решения которых поможет повторить ранее изученный материал и лучше усвоить новый. Ответы на поставленные вопросы выясняются в ходе беседы.

Иван Иванович решил отгородить бассейн на даче фигурной стеной. Позвав строителей, начал объяснять. - В нижний ряд укладывается 19 блоков, на него кладётся 17 блоков, затем 15 и так далее. Всего 8 рядов.

«Арифметическая прогрессия, какая - то, получается», - произнес бригадир.

Прав ли бригадир?(Слайд № 3)

Учащиеся выписывают числа, соответствующие количеству блоков каждого ряда: 19, 17, 15, 13, 11, 9, 7, 5. Получают последовательность чисел. Описывают её. Доказывают, что придуманная ими последовательность чисел является арифметияеской прогрессией.

Сформулируйте определение арифметической прогрессии.

Каким еще способом можно доказать ?

Запишите формулу нахождения n - го члена арифметической прогрессии.

Заслушать ответы учащихся.

Ответ: Эта последовательность является примером конечной убывающей арифметической прогрессии, первый член которой, , а разность . Любой член этой прогрессии можно вычислить по формуле: , где n - натуральные числа от 1 до 8. (Слайд № 4)

Учитель: Рассмотрим бесконечно убывающую арифметическую прогрессию, первый член которой , а разность . Какие задания вы могли бы предложить классу, используя эти данные так, чтобы они могли бы выполнить их устно? Решите составленные задачи.

Варианты заданий:

Найдите 20-й член прогрессии. (Слайд № 5)
Является ли число 1 (21; - 8) членом последовательности?

(Слайд № 6, 7, 8)

Найти количество членов арифметической прогрессии? (Слайд № 9)

Учитель: Возвращаясь к нашему дачнику. Сколько блоков необходимо заказать в магазине Ивану Ивановичу? (Слайд № 10)

Заслушать ответы учащихся.

Учитель: Да, можно решить эту задачу непосредственным сложением чисел. Но будет ли этот способ рациональный?. А если бы перед вами стояла задача: найти сумму 20 чисел, как вы думаете, сколько времени вам потребовалось?... (Слайд № 11)

Предлагаю вопрос оставить открытым и вернуться к нему немного позже…

III. Изучение нового материала, его осмысление и первичное закрепление.

1. Класс разбивается на две группы и каждая группа получает карточку с заданиями. Приложение № 1

Карточка 1

Найдите сумму натуральных чисел от 1 до 100.

1 + 2 + 3 + 4 + … + 97 + 98 + 99 + 100

1. найдите суммы 1 и 100, 2 и 99, 3 и 98 и т.д.;

2. сравните их;

3. сколько пар чисел получилось?

4. как теперь найти сумму чисел?

5. подумайте и запишите формулу нахождения суммы.

Карточка 2

S₁₀₀ = 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100

S₁₀₀ = 100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1

1. найдите суммы слагаемых в правой части;

2. сравните их;

3. сколько пар чисел получилось?

4. найдите сумму слагаемых в левой части;

5. решите получившееся уравнение.

6. подумайте и запишите формулу нахождения суммы.

2. Заслушать отчеты групп о проделанной работе и вывести формулу n первых членов арифметической прогрессии (Слайд № 12)

Учитель: Как найти сумму n членов арифметической прогрессии не зная значения n члена (Слайд № 13)

3. Решить задачу, записанную в начале урока. (Слайд № 14)

4. Сообщение учащимся исторического материала. Приложение № 2

5.Обучающимся предлагается решить задания на применение формул суммы n членов арифметической прогрессии. Приложение № 3

Арифметическая прогрессия в сельском хозяйстве:

Суточный привес поросят на данной ферме в среднем равен 600 г. Какой массы достигнет поросенок через месяц, если его первоначальная масса равнялась 6 кг?

Арифметическая прогрессия в медицине:

Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день - на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня он пьёт по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает приём на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства необходимо купить больному, если в каждом содержится 20мл лекарства (что составляет 250 капель)? [1]

Арифметическая прогрессия в спорте: (дополнительная)

В соревнованиях по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах - одно штрафное очко, за каждый последующий - на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал стрелок в цель, если он получи 7 штрафных очков? [1]

IV. Подведение итогов урока. Задание на дом.

Предложить учащимся ответить на вопросы.

1) Какую новую информацию вы получили на сегодняшнем уроке?
2) Это только наше предположение или доказанный факт?
3) Назовите формулы для вычисления суммы n первых членов арифметической прогрессии?

Задание на дом: на бумажном носителе. Приложение № 4

Задача №1 Курс процедур начинают с 15 минут в первый день и увеличивают длительность процедуры ежедневно на 10 минут. Сколько дней следует принимать процедуры в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности в 1 час 45 минут? [2]

Задача № 2 В магазин поступили коробки с консервами. Продавщица решила расставить консервы из одной коробки на полке в форме треугольника, т.е. в каждом последующем верхнем ряду на одну баночку меньше, чем в нижнем. Сколько таких рядов у нее получится, если в коробке было 28 консервов? [4]

Задача №3 Часы с кукушкой настроены так, что кукушка кукует по 1 разу каждые полчаса и каждый час столько раз сколько времени показывают часы от 1 до 12 часов. Сколько раз прокукует кукушка за сутки? [5]

Спасибо за урок!

Список использованной литературы:

Мордкович А.Г. Алгебра. Учебник.
Мордкович А.Г., Мишустина Т.Н., Тульчинская Е.Е. Алгебра. Задачник.
Лебединцева Е.А., Беленкова Е.Ю. Алгебра 9 класс. Задачи для обучения и развития учащихся. - М.: Интеллект-Центр, 2006.
Миндюк М.Б., Миндюк Н.Г. Разноуровневые дидактические материалы по алгебре. 9 класс - М.: Издательский Дом «Генжер», 1995.
Муравин К.С. и др. Алгебра. 9 кл.: учеб. для общеобразоват. учеб. заведений. - М.: Дрофа, 2000.

Приложение № 1

Карточка 1

Найдите сумму натуральных чисел от 1 до 100.

1 + 2 + 3 + 4 + … + 97 + 98 + 99 + 100

1. найдите суммы 1 и 100, 2 и 99, 3 и 98 и т.д.;

2. сравните их;

3. сколько пар чисел получилось?

4. как теперь найти сумму чисел?

5. подумайте и запишите формулу нахождения суммы.

Карточка 2

S₁₀₀ = 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100

S₁₀₀ = 100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1

1. найдите суммы слагаемых в правой части;

2. сравните их;

3. сколько пар чисел получилось?

4. найдите сумму слагаемых в левой части;

5. решите получившееся уравнение.

6. подумайте и запишите формулу нахождения суммы.

Приложение № 2

С формулой суммы нескольких членов арифметической прогрессии связан один из эпизодов биографии немецкого математика Карла Гаусса (1777 - 1855), который уже в раннем возрасте проявил необыкновенные математические способности.

Однажды на уроке, чтобы надолго занять третьеклассников, пока он будет заниматься с первоклассниками, учитель велел сложить все числа от 1 до 100. Он надеялся, что старшие дети будут долго решать этот пример, но девятилетний Карл сразу же поднял руку и показал учителю ответ. Изумленный учитель понял, что это самый способный ученик в его практике.

Работа мальчика удивила учителя. Решение мальчика было не только правильным, но к тому же весьма простым и оригинальным. В решении Карла ярко проявилась его математическая зоркость. Ему оказалось достаточным взглянуть на запись задания

1 + 2 + 3 + … + 98 + 99+ 100.

Подумай, как рассуждал мальчик.

Ответ: Он заметил, что (1 +100) = (2 + 99) = …= (50 + 51) = 101

Таких пар было в 2 раза меньше, чем всех слагаемых, т.е. 50. Выходит, что вся сумма равна 101 50 = 5050.

В дальнейшем Гаусс сделал много замечательных открытий. Его даже называли «царем математики».

Арифметические прогрессии в древности.

Архимед.

В клинописных табличках вавилонян в египетских пирамидах (II в. до н.э.), встречаются примеры арифметических прогрессий. Вот пример задачи из египетского папируса Ахмеса:

«Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом меры»

Вот формула, которой пользовались египтяне:

; .

Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. Ариабхата (v в.) применял формулы общего числа, суммы арифметической прогрессии. Но правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книга абака» в 1202 г. ( Леонардо Пизанский).

Приложение № 3

Арифметическая прогрессия в сельском хозяйстве:

Арифметическая прогрессия в медицине:

Арифметическая прогрессия в спорте:(дополнительная)

Приложение № 4

⇧

⇩

скачать материал