Применение теорем Чевы и Менелая при решении задач ЕГЭ

Выпускная работа

Тема: «Применение теорем Чевы и Менелая

при решении геометрических задач ЕГЭ»

Содержание

1. Теоретические факты:

• Теорема Чевы

• Теорема Менелая

2. Применение теорем Чевы и Менелая при подготовке к ЕГЭ

Теоретические факты

Решение задач с помощью теорем Чевы и Менелая более рационально, чем их решение другими способами, требующими дополнительных действий и построений, которые не всегда оказываются очевидными.

Теорема Чевы.

С

Если на сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты соответственно точки C₁, A₁ и B₁ (рис.1), то отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполнено равенство

Теорема Менелая.

Если на сторонах ВС, АВ и продолжении стороны АС треугольника АВС за точку С отмечены соответственно точки А´, С´,В´, лежащие на одной прямой, то

Применение теорем Чевы и Менелая при подготовке к ЕГЭ

Хочу вам предложить два способа решения одной интересной задачи из ЕГЭ. Первый способ довольно длинный, но его нужно знать, поскольку прием, который в нем используется, применяется довольно часто при решении задач, в которых дано отношение отрезков.

Второй способ позволяет решить задачу в одно действие, но в нем используется Теорема Менелая.

Итак задача №1:

На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N так, что AM:MB=2:3, BN:NC=2:1. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O. Найти отношение CO:OM.

Вот наш треугольник:

Проведем через точку В прямую параллельно отрезку AB, затем продолжим отрезок AN до пересечения с этой прямой и поставим там точку К:

Рассмотрим треугольники ANC и BNK. Эти треугольники подобны, так как AC||BK. Стороны треугольника BNK относятся к сторонам треугольника ANC как 2:1.

Пусть AC=x, BK=2x.

Теперь продолжим отрезок MC до пересечения с прямой BK. Поставим там точку L.

Мы получили подобные треугольники LMB и AMC, сходственные стороны которых относятся как 3:2. Так как AC=x, то LB=1,5x.

Пусть LM=3n, MC=2n. Тогда LC=5n.

Теперь рассмотрим подобные треугольники LOK и AOC.

, следовательно, . Пусть LO=3,5z, OC=z. Тогда LO+OC=LC=4,5z.

Получили, что 5n=4,5z. Тогда MC=2n=z. Отсюда MO=MC-CO=z-z=z

Отсюда CO:OM=z:z=5:4=1,25.

Ответ: 1,25

Применим теорему Менелая к нашей задаче. Рассмотрим треугольник MBC и прямую AN:

Запишем теорему Менелая для этого треугольника:

Ответ: 1,25

Задача №2.
Точки В´ и С´ лежат на сторонах соответственно АС и АВ ∆АВС, причем АВ´:В´С=АС´:С´В. Прямые ВВ´ и СС´ пересекаются в точке О.
а) Доказать, что прямая АО делит пополам сторону ВС.
б) Найти отношение площади четырехугольника АВ´ОС´ к площади ∆АВС, если АВ´:В´С=АС´:С´=1:2.

а)Доказать, что прямая АО делит пополам сторону ВС.

Докажем, что ВК=КС. Используем теорему Чевы.

т.к. , то ВК=КС

б) Найти отношение площади четырехугольника АВ´ОС´ к площади ∆АВС, если АВ´:В´С=АС´:С´В=1:2.

1. Т.к. АВ´:АС= 1:3, то

По теореме Менелая найдем

Для ∆АВВ´ и секущей СС´:

,

Значит

2. , значит =

Найдем .

Ответ:

Используемая литература

1. Учебник «Геометрия»10-11кл.: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др.-М.: Просвещение, 2011.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С. Б., Шестаков С.А., Юдина И.И. Геометрия. Доп. главы к учебнику 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.-М.: Вита-пресс, 2008.

3. Математика. ЕГЭ-2014. Типовые тестовые задания. 30 вариантов. Под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. 2013г.

4. Математика. ЕГЭ-2014. Под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. 2014г.

5. Математика. ЕГЭ-2014. Под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. 2015г.

6. Математика. Подготовка к ЕГЭ. Под ред.Ф.Ф.Лысенко. 2014г

7. Математика. Подготовка к ЕГЭ. Под ред.Ф.Ф.Лысенко. 2015г.

8. Математика. Подготовка к ЕГЭ. Под ред.Ф.Ф.Лысенко. 2016г.

9. Журнал математика в школе. М.: 2014

10. Пособие по геометрии. Часть І. Планиметрия, векторы. В помощь учащимся 10-11-х кл.О.В.Нагорнов, А.В.Баскаков и др.М.:НИЯУ МИФИ,2009.

11. Пособие по геометрии. Часть І. Планиметрия, векторы. В помощь учащимся 10-11-х кл.О.В.Нагорнов, А.В.Баскаков и др.М.:НИЯУ МИФИ,2009.