Олимпиадные задания по математике (6 класс)

Открытая устная региональная олимпиада по математике.

18 декабря 2011г.

6 КЛАСС-РЕШЕНИЯ

1. Кошке до мышки 5 прыжков, мышке до норки - 20 шажков. Пока кошка прыгнет, мышка три раза шагнет, а в прыжке - 10 шажков. Съест кошка мышку или не съест? (нарисовать картинку)

Кошка Мышка Норка

Ответ: нет. Решение. Расстояние от мышки до норки - 20 шажков, а от кошки до норки - 20 + 50 = 70 шажков. Значит, кошка доберётся до норки за 7 прыжков. Мышка за это время могла пробежать 3•7 = 21 шажок, значит, кошка прибежит к норке позже мышки.

2. Запишите числа 1, 2, ..., 9 подряд так, чтобы среди них не было четырёх последовательных чисел, идущих в порядке возрастания или в порядке убывания. (Достаточно привести один пример.)

Существует много решений этой задачи, например 162738495.

3. В середине квадрата со стороной 6 см размещены 5 одинаковых прямоугольников, как показано на рисунке (стороны каждого прямоугольника параллельны сторонам квадрата). Найдите площадь прямоугольника.

Ответ: 2 см². Решение. Назовем отрезки, составляющие прямоугольник - длинным и коротким. Сторона квадрата (по ширине) состоит из трёх длинных отрезков. Значит, один длинный отрезок составляет 2 см. Кроме того, сторона (по высоте) состоит из 2 длинных отрезков и 2 коротких. Следовательно, короткий отрезок составляет 1 см., а площадь прямоугольника равна 2 см².

4. Восемь богатырей вели бой со Змеем Горынычем. В каждой схватке погибала половина живых богатырей, но каждый богатырь в каждой схватке (даже если он погибал) срубал по голове у Змея. После каждой схватки на каждые две живые головы появлялась третья. Так продолжалась до тех пор, пока в живых не остался один Илья Муромец, он-то и срубил последнюю голову змея. Сколько голов у Змея было вначале?

Ответ: 12 голов. Решение. Т.к. количество богатырей уменьшалось вдвое после каждой схватки, то всего схваток было 4 (включая последнюю). После 3-й схватки уцелела 1 голова, а срубили в этой схватке две. Значит, перед 3-й схваткой у Змея было 3 головы. Из них одна выросла после второй схватки, а две другие в ней уцелели. Значит, перед второй схваткой голов было 6 (так как 4 богатыря срубили 4 головы). Из них 4 головы уцелели в первой схватке, а две выросло потом. Значит, перед первой схваткой голов было 12 (так как в 1-й схватке у Змея было срублено 8 голов). Ниже приведена схема изменения количества голов Змея Горыныча:

12 → 4(-8) → 6(+2) → 2(-4) → 3(+1) → 1(-2) → 1(+0) → 0(-1)

5. Найдите наименьшее пятизначное число, делящееся на 9, в записи которого все цифры различны.

Ответ: 10269. Решение 1. Рассмотрим наименьшее такое число. На первом его месте стоит цифра 1 (иначе наше число меньше). Аналогично, на вторых и третьих местах стоят цифры 0 и 2. Кроме того, сумма цифра цифр должна делится на 9. На предпоследнем месте должно стоять одно из чисел 3, 4, 5, 6 (большие противоречат минимальности). Несложным перебором убеждаемся, что случаи 3, 4, 5 невозможны, а для 6 на последнем месте может стоять только 9.

Решение 2. Минимальное пятизначное число со всеми различными цифрами - это 10234. Минимальное число, не меньшее данного и делящееся на 9, есть 10242. Если к этому числу мы трижды прибавим по 9, мы получим числа 10251, 10260, 10269. Из них только последнее удовлетворяет условию задачи, т.к. все его цифры различны, и, по построению, оно делится на 9.

6. На столе лежат 2011 спичек. Дима, Коля и Паша играют в следующую игру. Дима всегда берёт одну спичку, Коля может взять 1 или 2 спички, а Паша - 1, 2 или 3. Тот, кто забирает последнюю спичку - выигрывает. Может ли кто-либо из ребят гарантировать себе победу вне зависимости от игры соперников?

Ответ: Паша. Решение. Так как Дима и Коля вместе берут две или три спички, Паша может дополнить это количество до 5 (взяв две или одну соответственно). Тогда пусть первые три хода Паша будет дополнять это количество до 5. После третьего его хода на доске останется 1996. Это число делится на 4, значит, дополняя каждый раз количество спичек до 4 (аналогично, отвечая единицей на колину двойку и наоборот), Паша заберёт последнюю спичку.

Возможны и другие верные стратегии!

7. Есть лист клетчатой бумаги и карандаши пяти цветов. Закрасьте наименьшее число клеток так, чтобы для любых двух цветов нашлись две клетки этих цветов, граничащие по стороне.

Ответ: 9 клеток. Пример:

3

4

4

1

2

5

5

3

4

Оценка: предположим, что было закрашено не более 8 клеток. Тогда есть хотя бы 2 цвета, в каждый из которых покрашена всего одна клетка (иначе было покрашено не менее 1•1 + 4•2 = 9 клеток). Назовем их цветами 1 и 2. Понятно, что клетки этих цветов стоят рядом. Кроме того, клетка цвета 1 граничит также с клетками остальных цветов (назовем их 3, 4, 5). Клетка цвета 2 граничит ещё с 3 клетками (см. рисунок ниже). Значит, цвета этих клеток должны быть 3, 4, 5 в каком-то порядке. Уже отмечено 8 клеток, поэтому другие клетки отмечены быть не могут. Но тогда у клеток цвета 4 не более 3 соседей среди отмеченных клеток (1, 2 и, возможно, ещё какой-то третий цвет). Получаем противоречие.

3

?

4

1

2

?

5

?

8. Строка из 36 нулей и единиц начинается с пяти нулей. Оказалось, что у неё все блоки из 5 подряд идущих цифр попарно различны. Найдите последние 5 цифр этой строки.

Ответ: 10000. Решение. Число блоков в этой строке равно 32. Число всевозможных строк длины 5, состоящих из нулей и единиц, тоже равняется 32. Значит, каждая строка длины 5 встречается среди блоков ровно один раз. Теперь рассмотрим 6-ю цифру исходной строки. Если это 0, то блок 00000 встречается во всей строке уже два раза. Значит, исходная строка начинается на 000001. Рассмотрим, где находится блок 10000. Предположим, что он не является концом строки. Тогда 0000 вместе со следующей цифрой образуют один из блоков 00001 или 00000, которые уже встречались. Получаем противоречие, поэтому указанный блок и является концом нашей строки.