Конспект урока по теме: Свойства и признаки параллелограмма (8 класс)

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«СРЕДНЯЯ ШКОЛА №8» ГОРОДА СМОЛЕНСКА

Конспект урока по теме:

«Свойства и признаки параллелограмма»

разработан учителем математики

Нефедовой Е.В.

2016 г.

Свойства и признаки параллелограмма

1. Загадка

Хоть стороны мои

Попарно и равны, и параллельны,

Все ж я в печали, что не равны мои диагонали,

Да и углы они не делят пополам

Но все ж, скажи, дружок, кто я?

2. Определение

Параллелограмм - это четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых.

3. Значение слова

Параллелограмм ( от греч. parallelos - параллельный и gramme - линия), четырехугольник с попарно параллельными сторонами.

4. Свойства

1. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (т. 6.2)

2. У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны (т. 6.3)

3. Сумма величин углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна

4. Диагональ параллелограмма разбивает его на два равных треугольника

Дано: ABCD-пар-м

AC-диагональ

Док-ть: ABC=CDA

Доказательство:

ABC=CDA по 3 сторонам: AB=CD

BC=AD по т. 6.3

AC - общая

Или

ABC=CDA по стороне и прилежащим углам: AC - общая

∟1=∟2 - внутр. н. л. При AD//BC, сек. AC

∟3=∟4 - внутр. н. л. При AB//CD, сек. AC

5. Биссектриса любого угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник

Дано: ABCD-пар-м

AM-диагональ

Док-ть: ABM: AB=BM

Доказательство:

ABM - равнобедренный, т.к ∟1=∟3 - углы при основании

∟1=∟2=∟3 внутр. н. л.

6. Биссектрисы двух противолежащих углов параллелограмма параллельны

Дано: ABCD-пар-м

AM- биссектриса ∟A

CE- биссектриса ∟C

Док-ть: AM//CE

Доказательство:

Т.к. ABCD-пар-м. то ∟A=∟C, значит ∟1=∟3=∟4=∟5

∟5=∟4=∟2

∟2=∟5=∟1, значит

AM//CE, т.к. ∟1=∟2 - соответственно

7. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, перпендикулярны

Дано: ABCD-пар-м

AE- биссектриса ∟A

BK- биссектриса ∟B

Док-ть:AE┴BK

Доказательство:

ABEK-ромб, т.к. 1) пар-м ∟A+∟B=180

2) AE и BK являются диагоналями и биссектрисами

Значит AE┴BK, т.л. диагонали ромба перпендикулярны

8. В параллелограмме угол между высотами, проведенными из вершины его тупого угла, равен острому углу параллелограмма

Дано: ABCD-пар-м

BK и BF-высоты ∟B

Док-ть: ∟1=∟2

Доказательство:

KBFD-четырехугольник

∟K+∟1+∟F+∟D=360

∟1+∟D=360-180=180

∟1=180-∟D=∟A

9. Сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри параллелограмма, до прямых, на которых лежат его стороны - величина постоянная для данного параллелограмма

Доказательство:

5. Признаки

1. (т. 6.1) Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм

Дано: ABCD

ACBD

AO=CO

BO=DO

2. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм

Дано: ABCD

AB=CD

AB//CD

3. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм

Дано: ABCD

AB=CD

AB//CD

4. Если в четырехугольнике противолежащие стороны и противолежащие углы равны, то этот четырехугольник - параллелограмм

Дано: ABCD

AB=CD

AB//CD

1. Надо доказать, что AB//CD и BC//AD

2. ∟A+∟B+∟C+∟D=360 (Сумма углов двух треугольников, например, ABD и CBD)

Значит, 2∟A+2∟B=360

∟A+∟B=180 - в.о. при BC и AD, сек. AB, значит BC//AD

∟С+∟B=180 - в.о. при AB и CD, сек. BC, значит AB//CD

ABCD - параллелограмм по второму признаку: AB=CD и AB//CD

5. Если диагонали четырехугольника разбивают его на 2 равных треугольника, то этот четырехугольник - параллелограмм

Дано: ABCD

ABC=CDA

Т.к. ABC=CDA, то AB=CD и BC=AD -соответственно, значит ABCD - параллелограмм по третьему признаку