Обобщающий урок геометрии в 8-м классе по теме

"Признаки подобия треугольников"

Цели урока:

Образовательные:

• обобщить и систематизировать, расширить знания по теме: "Признаки подобия треугольников";

• продолжить формирование у учащихся навыков применения признаков подобия треугольников при решении задач.

Развивающие:

• развивать логическое мышление, умение сравнивать, обобщать, делать выводы;

• развивать интерес учащихся к изучаемому предмету, самостоятельность;

• развивать творческие способности учащихся.

Воспитательные:

• формировать мотивы познавательной деятельности,

• эстетическое воспитание учащихся.

Оборудование:

• мультимедийный проектор, экран;

• презентация для сопровождения урока;

• раздаточный материал;

• оценочный лист.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Структура урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация опорных знаний:
   
   а) проверка домашнего задания (самостоятельная работа);
   
   б) повторение теоретического материала;
   
   в) устное решение задач; г) письменное решение задач;

3. Воспроизведение знаний на новом уровне (Дифференцированная работа)

4. Обобщающая деятельность учащихся

5. Исторические сведения

6. Домашнее задание.

7. Итог урока.

Ход урока

I. Организационный момент.

Слово учителя о цели этого урока.

Треугольник - самая простая геометрическая фигура, знакомая нам с детства. К треугольнику на уроках геометрии мы обращаемся чаще всего. Эта фигура таит в себе немало интересного и загадочного, как Бермудский треугольник, в котором бесследно исчезают корабли и самолеты. Один мудрец сказал: "Высшее проявление духа - это разум. Высшее проявление ума - это геометрия. Клетка геометрии - это треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная". Это одна из основных фигур школьного курса планиметрии. Подобие, наряду с равенством треугольников, является одним из важнейших геометрических отношений. Если равенство объектов мы понимаем как «одинаковость» и по форме, и по размеру, то подобие объектов означает их « одинаковость» только по форме. Умение решать задачи на применение признаков подобия широко используется в геометрии, физике, астрономии.

Сегодняшний урок мы посвятим решению задач по теме: "Признаки подобия треугольников". Это урок обобщения и систематизации знаний, где мы с вами рассмотрим применение признаков подобия при решении задач. Запишите число, классная работа и тему урока

II. Актуализация опорных знаний.

Оценка за урок будет складываться из набранных на каждом этапе урока баллов.

Критерии оценки:

• Выше 18 баллов - «5»

• 15-18 баллов - «4»

• 10-14 баллов - «3»

• Менее 10 баллов - «2»

Чтобы урок прошел успешно, надо повторить теоретический материал. Но сначала проверим, как вы справились с домашним заданием.

Итак, я вам предлагаю небольшую самостоятельную работу на 3-5 минут.

а) Самостоятельная работа по теме "Признаки подобия треугольников" (Приложение 1.)

Критерии : 1 балл-« 1 задание», по 2 балла - «2 и 3 задания».

б) Повторение теоретического материала:

Критерии : по 1 баллу за каждое правило

1. Дайте определение подобных треугольников. [ Два треугольника называются подобными, если три угла первого треугольника равны трём углам второго треугольника, а три стороны первого треугольника пропорциональны соответствующим сторонам второго]

2. Дайте определение коэффициента подобия. [Коэффициентом подобия называется отношение сходственных сторон подобных треугольников]

3. Каков коэффициент подобия двух равных треугольников? [1]

4. Чему равно отношение площадей двух подобных треугольников? [отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия]

5. Перечислите признаки подобия треугольников.[ 1 признак - подобие треугольников по двум углам; 2 признак - подобие треугольников по пропорциональности двух сторон и углу между ними; 3 признак - признак подобия по пропорциональности трёх сторон]

в) Устное решение задач:

Учащиеся фронтально решают устные задачи по готовым чертежам (на слайдах), объясняя ход решения задачи.

Критерии : по 2 балла за каждое верно решённое задание

Пример 1

Дано: PEMD - трапеция

Найти подобные треугольники и

доказать их подобие.

Пример 2

Найти подобные треугольники и

доказать их подобие.

Пример 3

∆ ABC ~ ∆ A₁B₁C₁

Найти: х, у

г) Письменное решение задач.

Задача №1. Три стороны треугольника равны 6см, 8см, 9см. Через середину стороны длины 8 см проведена прямая, которая пересекает сторону треугольника, рассекая искомый на треугольник, подобный исходному, и четырёхугольник, не являющийся трапецией. Найдите периметр четырёхугольника.

Дан рисунок. Исправленный рисунок

Рисунок выполнен неверно. На рисунке М= С. Но Но М и С - соответственные при прямых NM и ВС и секущей АС. Тогда по признаку параллельности прямых MN || ВС и четырёхугольник BNMC - трапеция, что противоречит условию задачи.

Угол А у подобных треугольников - общий. Тогда прямая MN пересекает сторону АВ по другому.

Дано: АВС- треугольник: АВ=6, АС=8, ВС=9. М- середина АС, MN ВС,

∆АВС ~ ∆AMN, BNMC - четырёхугольник.

Найти: периметр четырёхугольника BNMC .

Решение:

BNMC - произвольный четырёхугольник.

∆АВС ~ ∆AMN ( по условию). Тогда выполняется условие:

АВ : АМ =ВС : МN=АС : AN

МС=АМ=½ АС= 4. ( по условию М- середина АС).

6 : 4=9 : МN = 8 : AN, 9 : МN = 3 :2; МN= (9∙2) :3 =6(см).

8 : AN = 3 :2; AN = (8∙2) :3 = 16/3 = 5 1/3.

NB= АВ - AN, NB= 6 - 5 1/3 =2/3, Р = 4+ 6 +2/3 +9 = 19 2/3(см)

Ответ: 19 2/3(см)

Задача №2. Биссектриса AD треугольника АВС делит сторону ВС на отрезки CD и BD, равные соответственно 3,5см и 10,5см. Найдите АВ и АС, если периметр треугольника АВС равен 46см.

Дано: ∆АВС , D ВС,

AD - биссектриса треугольника,

CD=3,5см, BD=10,5см

Р _∆АВС = 46см.

Найти: АВ иАС

Решение:

По условию AD - биссектриса треугольника. Тогда по свойству биссектрисы выполняется соотношение: CD : BD= АС : АВ. АС : АВ = ⅓, т.е. АВ = 3АС. Р _∆АВС = 46см

ВС = 10,5 + 3,5 = 14(см). Имеем: АВ + АС + ВС = 46, 3АС + АС +14 = 46, 4АС = 32,

АС = 8(см), АВ = 3∙ 8 =24(см)

Ответ: 8см и 24см.

III. Воспроизведение знаний на новом уровне ( дифференцированная работа)

1. Тест. Я предлагаю Вам небольшой тест, проверьте каждый сам себя, как хорошо вы изучили тему. В тесте 5 вопросов, внимательно прочтите сначала вопрос, затем предложенные ответы и лишь потом подчеркните ответ, который вы считаете правильным. (Приложение 2.) Самопроверка.

Критерии оценок: по 1 баллу-«1 и 2 задания », по 2 балла - «3 - 5 задания ».

2. Индивидуальная работа по карточкам (Приложение 3.)

IV. Подготовка учащихся к обобщающей деятельности.

В геометрии подобными могут быть не только треугольники, но и совершенно произвольные фигуры. На слайде мы видим подобные пятиугольники, фигуры, подобные на звёзды, фигуры со стрелками, параллелограммы.

Как вы думаете, какими свойствами они все обладают? [ У них одинаковые формы, но разные размеры]

Пропорциональность проявляется везде: в подобном строении дерева и его ветвей, в форме снежинок и кристаллов

Стекло и хрусталь состоят из мельчайших частиц, кристаллов. Поверхность хрустальной вазы состоит из геометрических фигур, которые подобны друг другу.

V . Выступление ученика о практической деятельности в Древней Руси.

Вот такие задачи т. е. - измерительные работы на местности:

1. Измерение высоты предмета ( телеграфного столба, водонапорной башни, высоты дерева )

2. Расстояние до недоступной точки ( ширина реки, болота) с использованием признаков подобия мы будем решать в следующей теме.

Геометрия- это наука, которая обладает всеми свойствами хрустального стекла, такая же прозрачная в рассуждениях, безупречная в доказательствах, ясная в ответах. Геометрия до конца не изученная наука, и может быть, многие открытия ждут именно вас.

6. Домашнее задание ( по группам - по карточкам) (Приложение 4.)</</font>

1. Менее 14 баллов- « 3 балла»

2. 15 - 18 баллов- «5 баллов»

3. Более 18 баллов- « 7 баллов»

6. Итог урока.( Слайд 17)

Пришло время подвести итог: используя схему на слайде, ответьте на вопросы:

• Что вы узнали нового? Я знаю…

• Чему научились? Я умею..

• Что вам показалось особенно трудным? Я не могу..

Вы все активно работали на уроке, аккуратно выполняли чертежи, хорошо справились с тестом, отлично выполнили самостоятельную работу, открыли для себя что - то новое, были очень внимательны и любознательны. Поэтому за урок вы получаете следующие оценки…………………………….

Всем удачи, спасибо за урок.

Приложение 1: Самостоятельная работа в 2 вариантах

Приложение 2: Тест в 2 вариантах

Приложение 3: Набор карточек для индивидуальной работы.

Приложение 4: Набор карточек для домашней работы

Приложение 5: Оценочный лист.

Приложение 1

Самостоятельная работа

Доказать подобие треугольников и найти коэффициент подобия

(1 балл)

2.

Доказать, что ∆DOC ~ ∆AOB и

найти D, если A=35⁰

(2 балла)

3.

Найти х, если АВ=21, ВС=30, МС=10

(2 балла)

1. дополнительно

Найти х, если АN=6, AС=12, AE=10

(3 балла)

Самостоятельная работа

Доказать подобие треугольников и найти коэффициент подобия

(1 балл)

2.

Доказать, что ∆DOC ~ ∆AOB и

найти D, если A=25⁰

(2 балла)

3.

Найти х, если АВ=16, ВС=20, МС=5

(2 балла)

4. дополнительно

Найти х, если АО=10, AС=40, РА=20

(3 балла)

Приложение 2

Тест

Вариант 1

1. Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то треугольники:

а) равны; б) подобны; в) нет ответа (1 балл)

2. Если треугольники подобны, то :

а) стороны равны; б) углы пропорциональны; в) углы равны (1 балл)

3. Углы треугольника равны 20⁰, 40⁰, А⁰. Угол, соответствующий углу А подобного треугольника, равен:

а) 40⁰; б) 120⁰; в) 60⁰ ; г) 20⁰ (2 балла)

4. По какому признаку ∆AВО подобен ∆СДО, если В=Д:

а)II; б) I; в) III (2 балла)

5. Отношение , если АВ=4;, СД=12:

а)9; б) 8; в) 4 (2 балла)

Тест

Вариант 2

1.Если углы одного треугольника равны углам другого треугольника, то треугольники:

а) подобны; б) нет ответа; в) равны; (1 балл)

2. Если треугольники подобны, то :

а) стороны пропорциональны; б) стороны равны; в) углы пропорциональны (1 балл)

3. Углы треугольника равны 15см, 21см, 30см. Две стороны подобного ему треугольника- 10см и 5 см. Длина третьей стороны:

а) 7см; б) 3см; в) 12см ; г) 10см (2 балла)

4. По какому признаку ∆AВО подобен ∆СДО, если В=Д:

а)II; б) I; в) III (2 балла)

5. Отношение , если АВ=6;, СД=4:

а)4/9; б) 9/4; в) 2/3 (2 балла)

Приложение 3

Вариант 1

Найдите АВ и ВС , если DE ║ AC

Решение

1. ∆DBE ~ ∆ABC (по 2 углам: В- общий, А =D как соответственные при DE ║ AC и секущей АВ)

2. Тогда выполняется равенство

DB : AB = BE : BC = DE : AC, AB = x+6

6 : (х+6) = 8 : ВС = 10 : 15, к= 2 : 3

3. 6 : (х+6) = 2 : 3 и 8 : ВС= 2 : 3

2х + 12 = 18, 2х = 6, х = 3

ВС= (8 * 3):2=12 АВ = 3+6=9

Ответ: ВС=12, АВ = 9

Критерии баллов:

5 баллов: решение выполнено верно и без ошибок

4 балла: допущена одна ошибка и ответ получен неверно

3 балла: найдена только одна из сторон ВС или АВ

2 балла: доказано подобие треугольников и составлено отношение сторон

1 балл: доказано подобие треугольников

Карточка для индивидуальной работы

Вариант 2 (дополнительно)

Прямые а и b параллельны. Найдите х и у

Карточка для индивидуальной работы

Вариант 3 (дополнительно)

В треугольнике АВС АС=12см, ВС=8см, АВ=6см. Продолжение сторон АВ и СВ за точку В соответственно равны : ВЕ=3см, ВМ=4см.

Найдите длину отрезка ЕМ

Карточка для индивидуальной работы

Вариант 4 (дополнительно)

ABCD - параллелограмм, ВН и ВЕ - высоты.

Найдите ВС , если АН=6см, DE=1см, ЕС=9см

Карточка для индивидуальной работы

Вариант 5 (дополнительно)

Две сходственные стороны подобных треугольников равны 5см и 6 см. Разность площадей этих треугольников составляет 22см². Чему равна площадь меньшего из треугольника?

Приложение 4

Набор карточек для домашней работы

Карточка на 3 балла

Задача 1.

Дано: AB ║ CD

AO = 1,5см

OB = 1 см

CO = 3 см

CD = 4,5см

Найти: 1) подобны ли треугольники AOB и DOC

2) укажите сходственные стороны , К

3) AB-? OD-?

4)

Задача 2.

Найдите АС, если ВС= 12см,

NM = 6см,

CN = 4см,

BM = NC

Карточка на 5 баллов

Задача 1.

Одна из диагоналей трапеции, равная 16 см, делит другую диагональ на части, равные 7см и 5 см. Определить, на какие части делится точкой пересечения первая диагональ, и найти большее основание трапеции, если меньшее ее основание равно 4 см.

Задача 2.

В треугольнике АВС АВ=15см, АС=20см, ВС=32см. На стороне АВ отложен отрезок AD=9см, а на стороне АС- отрезок АЕ=12см. Найти DE и отношение площадей треугольников АВС и ADE

Карточка на 7 баллов

Задача 1.

Две параллельные улицы пересекаются двумя улицами, выходящими из одного пункта А. Длины параллельных улиц, заключенных между лучевыми улицами, равны 0,75км и 1,25км. Трамвай идет по одной из лучевых улиц от пункта А до первой из параллельных улиц 15 мин. Сколько времени он при такой же скорости будет идти по той же лучевой улице от первой до второй из параллельных улиц.

Задача 2.

В треугольнике АВС и MNK, В = N. Отношение сторон, заключающих угол В, к сторонам, заключающих угол N, равно 0,6. Найдите стороны АС и MK, если их разность равна 24дм.

Приложение 5

Лист самооценки ученика

Критерии оценки: менее 10 баллов - «2»

10 - 14 баллов - «3»

15-18 баллов - «4»

более 18 баллов - «5»

16