Доклад: «НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ ПРОДУКТИВНОГО МЫШЛЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ»

Нижнеколымское районное управление образования

учебно-методический отдел учебное методическое объединение

учителей математики

ДОКЛАД:

«НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ ПРОДУКТИВНОГО МЫШЛЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ»

Подготовила: учитель математики Деева Н.А.

п. Черский

Содержание:

1. Введение

2. Определение нестандартной задачи

3. Некоторые методические рекомендации обучения учащихся решению нестандартных задач

4. Заключение

Известный современный методист и математик Д. Пойа пишет: «Что значит владение математикой? Это умение решать задачи, причем не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности и изобретательности». Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития любого индивидуума. Поэтому любая проверка знаний обязательно содержит решение задач, и решение задач является основной частью любого экзамена по математике. Подсчитано, что период обучения в школе учащиеся на уроках и при выполнении домашнего задания решают несколько десятков тысяч задач. Но довольно часто оказывается, что ученик, даже имеющий хорошие знания, теряется при встрече с задачей незнакомого типа и заявляет: «Это мы не проходили». Это значит, что он привык решать задачи только по готовым образцам и не знает, как проанализировать задачу, в чем смысл доказательства, построения или проверки, не умеет выделить в задаче главное, найти общие приемы и способы.

Одна из главных причин затруднений учащихся при решении задач - это то, что математические задачи в школьных учебниках, как правило сгруппированы и ограничены одной темой. Функции этих задач сводятся к иллюстрации изучаемого материала, и ученику незачем искать метод решения данной задачи. Метод уже подсказан самой темой, изучаемой на уроке, названием раздела учебника, указаниями учителя. Самостоятельный поиск способа решения сводится к минимуму. А между тем функции задач очень разнообразны: обучающие, развивающие, воспитывающие, контролирующие. Главная цель задач - развить творческое и математическое мышление учащихся, заинтересовать их математикой, привести к «открытию» математических фактов.

Во многих ныне действующих учебниках есть специальные разделы с задачами повышенной трудности, для решения которых ученик сам без подсказки названием главы или параграфа должен определить, какой математический аппарат необходимо применить. Большинство из задач этих разделов нестандартные, требующие от учащихся изобретательности и смекалки.

Какая же задача называется нестандартной? Фридман Л.М. и Турецкий Е.Н. в своей книге «Как научиться решать задачи» дают такое определение: «Нестандартные задачи - это такие задачи, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения». Очевидно, понятие»нестандартная задача» является относительным. Одна и та же задача может быть стандартной или нестандартной для знающих способы решения задач такого типа и незнающих.

Любая задача является для учащихся нестандартной до тех пор, пока они не узнают способ решения таких задач, а если дать детям несколько аналогичных задач, то такие задачи становятся для них стандартными.

Поэтому будем считать нестандартной такую задачу, алгоритм решения которой заранее неизвестен, т. е. неизвестны ни способ решения, ни общие положения, на которые нужно опираться при решении.

Профессор Московского университета С.А. Яновская на вопрос: «Как решить нестандартную задачу?» дала такой ответ: «Решить задачу - значит, свести ее к уже решенным». Совет прост, как все гениальное, да только непросто его использовать. Нет такого определенного алгоритма сведения незнакомых задач к уже решенным, вот и приходится применять интуицию, догадку, память, отрабатывать различные приемы.

В системе задач школьного курса математики по праву большое место занимают задачи, направленные на отработку навыков, тренировочные упражнения, выполняемые по образцу, задачи иллюстративного характера, но не менее необходимые задачи, направленные на воспитание у учащихся интереса к изучению математики, творческого отношения к учебной деятельности, общим приемам учить наблюдать, пользоваться аналогиями, сравнениями, логически и эвристически рассуждать.

Научить решать задачи (в том числе и нестандартные) можно только в том, случае, если у учащихся будет желание их решать, т.е., если задачи будут интересными и содержательными с точки зрения ученика. Значит, надо суметь убедить школьников что от решения задачи можно получить удовольствие, как от разгадывания, допустим, кроссворда или ребуса. Также не стоит предлагать сложную задачу, если нет уверенности, что они смогут ее решить. Потеря веры в свои силы может оказаться необратимой, всегда лучше провести некоторую подготовку к сложной задаче, подобрать вспомогательные задачи, или даже систему вспомогательных задач, свято соблюдать одно из главных правил дидактики: «от простого к сложному».

Д. Пойа: «Лучшее, что может сделать учитель для учащегося, состоит в том, чтобы путем неназойливой помощи подсказать ему блестящую идею… Хорошие идеи имеют своим источником прошлый опыт и ранее приобретенные знания».

Как подвести детей к нужной идее? И тут поможет серия вспомогательных задач.

Задача: Найти все решения уравнения

х²+5у²+4ху+2у+1=0

Вспомогательные задачи, их вполне можно решать устно:

1. х²+у²=0

2. (х+1)²+(у-2)²=0

3. х²-2х+1+у²=0

Ученикам осталось вполне разумная доля самостоятельной работы для решения этой задачи.

Даже если подсказка слишком прозрачна, она все равно полезнее, чем ознакомление с готовым решением, она создает у ученика ощущение, что он сам решил задачу, вера в свои силы укрепляется, появляется стремление запомнить решение.

Аналогичная методическая хитрость: предложить подборку задач, имеющих в основе решения похожий (иногда даже чисто внешне) прием. Хорошо, если несколько из них уже были когда-то решены.

Надо сразу уяснить такую истину: задачи всех типов, какие только ни есть на свете, рассмотреть невозможно. Для любого знатока и умелого решателя всегда отыщется незнакомая задача с неожиданной формулировкой. Отсюда следует вывод: при рассмотрении задач нового типа не стоит замыкаться на готовом способе решения. Намного полезнее научить детей не запоминать способ решения конкретной задачи, а умению анализировать ее, меняя точку зрения, вопросы, данные.

Чтобы развивать у учащихся навыки продуктивного мышления. (Продуктивное мышление характеризуется не только созданием субъективного нового продукта, но и существенными новообразованиями в самой познавательной деятельности, ее организации и мотивации. Результат этого мышления всегда личностно значим, наделен для субъекта особым личностным смыслом). Полезно изменять условия задач и вместо требования доказать какой-либо математический факт, предложить вопрос: А может ли…? В таком случае учащиеся должны сами сформулировать соответствующую гипотезу, а уж после этого ее доказывать.

Индуктивное мышление, умение обобщать можно развить, если после решения задачи, иллюстрирующей какой либо частный случай, предложить ученикам попытаться сформулировать рассмотренную задачу в общем виде. Дети должны понимать, что частный случай может привести к правильному выводу, но ничего не доказывает, и четко осознавать разницу между гипотезой и доказательством. Значит, сформулированную гипотезу обязательно нужно или доказать или опровергнуть.

Как известно, умение решать задачи различными способами имеет огромное значение. При отыскании различных способов решения задач у школьников формируется познавательный интерес, развиваются творческие способности, вырабатываются исследовательские навыки. Решая одну и ту же задачу различными методами, можно лучше понять специфику того или иного метода, его преимущества и недостатки по отношению к конкретной задаче.

Порой на экзаменах бывает, что задачи с параметром, вызывают у учеников страх, и ученики просто не берутся за них. А если у них в запасе будет хотя бы небольшой арсенал способов решения таких задач?

Задача: Найдите все значения параметра а, при которых не имеет корней уравнение

=х-1

Уравнение не имеет корней, когда не имеет корней равносильная ему система

Это возможно в двух случаях: или квадратное уравнение не имеет корней, или корни есть, но они не удовлетворяют неравенству системы.

С первым случаем все ясно, дискриминант отрицательный, значит, теперь тремя способами решим второй случай.

1 способ: Корни уравнения меньше1, если больший корень меньше 1.

< 1 <

2 способ: Рассмотрим квадратичную функцию

f(х) = х²+(а+2)х+2а+9

Ее корни меньше 1 тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия: Д≥0, f(1)>0, <1, где - точка минимума данной функции. Отсюда

_у

х

0 Х₀ 1

3 способ: Пусть . Тогда х<1, рассмотрим уравнение

Корни уравнения отрицательны, если их сумма отрицательна, а произведение положительно. По теореме Виета получим:

Наряду с умением использовать общие методы решения задач полезно воспитывать у учеников умение находить индивидуальные особенности каждой задачи, позволяющие отыскать более простой путь решения, поощрять отход от шаблона. Так что это уже исследование задачи.

Для развития логики, оригинальности мышления, изобретательности полезно решать задачи не шаблонным способом с помощью уравнения, а арифметическим способом.

Задача: Катер проплывает путь от А до В по течению за 12 часов, а путь от В до А против течения за 15 часов. За сколько часов плоты проплывают путь от А до В.

Пусть от А до В 120 км (120 делится и на 12 и на 15, можно взять и другое подходящее число, можно вместо километров взять версты или «условные метры», ответ задачи от этого не зависит).

120:12=10 км в час катер проплывает по течению

120:15=8 км в час проплывает катер против течения

10-8=2 км в час - разница между скоростями

2:2=1 км/час скорость течения

Плоты плывут со скоростью течения, тогда 120:1=120 часов потребуется плотам, чтобы доплыть от А до В.

Ответ: 120 часов.

Надо еще отметить, что эффективное развитие математических способностей учащихся невозможно без использования в учебном процессе задач на сообразительность, задач-шуток, практических заданий. Поэтому необходимо иметь банк задач, направленных на воспитание у учащихся устойчивого интереса и творческого отношения к занятиям математикой. При этом нужно приучать их к «страшным» задачам с пугающими формулировками и легким решением. На олимпиадах дети часто просто не берутся за задачи с длинными и, на первый взгляд, непонятными текстами просто робея перед такими монстрами. А ведь самые «навороченные» задачи чаще всего очень просты. Если остается несколько минут до конца урока, почему не побаловать детей такой быстрой на решение задачкой?

В 8 классе можно предложить вот такую задачу, способную вогнать в шок иного старшеклассника: Найти все возможные значения х, при которых верно равенство:

+

Для приобретения навыков решения довольно сложных задач следует приучать школьников больше внимания уделять изучению полученного решения. Для этого полезно предлагать детям придумывать задачи, аналогичные решенным, а так же задачи, обратные решенным.

Когда и где на уроке можно использовать нестандартную задачу каждый учитель определяет сам, исходя из возможностей класса, отдельных учеников. Обычно многие учителя добавляют их желающим в домашнее задание в качестве необязательных, предлагают сильным ученикам, закончившим досрочно контрольную работу. В классах с относительно высоким уровнем подготовки можно посвятить таким задачам целый урок в конце изучения какой либо темы перед контрольной работой или после нее. Еще одна форма использования учителем нестандартных задач - домашние контрольные работы, выдаваемые на срок от недели до двух. У каждого учащегося есть ведомость, в которую он ставит оценки за решенные им задачи. Если он считает, что задача решена, то ставит высший балл, если нет - низший. Далее проводится семинар, на котором проходит защита решений.

К доске вызывается тот, кто объявил о правильности своего решения. Остальные ученики выступают в роли оппонентов. И, разумеется, каждый учитель знает, что недопустимо снижать оценку ученику за неумение решать нестандартные задачи. Напротив, за работу с такими задачами ученик получает только поощрение, даже тогда, когда успех виден разве что под микроскопом. Вот и вся нехитрая методика работы с задачами повышенной сложности.

На уроках, как уже отмечалось выше, до нестандартных задач руки доходят не так часто, как хотелось бы. Значит, в дело идет внеклассная работа. Но на кружки ходят не все, на факультативы - тем более немногие, а большая часть ребят предпочитает решению задачек другие интересы. И школа теряет, теряет и дальше продолжает терять потенциальных любителей математики. Ведь очевидно: чтобы способности не затухали и развивались, необходимо их постоянно тренировать. Не надо бояться перезагрузки детей. Человек вообще использует мизерную долю возможностей такого великолепного инструмента как мозг. Дети могут сделать много. Надо только, чтобы они не уставали. Усталость появляется, когда приходит однообразная рутинная работа. Значит, надо разнообразить саму работу по решению задач.

Немало для подростков значит возможность самоутверждения. Каждому хочется не только самому уважать себя, но и дать возможность высоко оценить себя своим друзьям, знакомым, родителям. Именно поэтому детям так нравятся соревнования. Так почему бы им не дать возможность почаще состязаться в умении решать задачи?

Школьникам можно предложить самые разнообразные конкурсы по решению задач: традиционные олимпиады, азартная «Математическая регата», «Математический бой» и т.д.