Опорная таблица по алгебре и началам математического анализа 10 класс основные свойства функций

Основные свойства функции

Необходимые условия. Определение

График функции

Тригонометрические функции

Примеры

1. Чётность

функции y=f(x)

1) Область определения функции симметрична относительно точки 0.

2) Если x є D(y), f(-x)=f(x).

График симметричен относительно оси Oy

y=cos x

cos (-x)=cos x

f(x)=x⁴

D(f)=R

F(-x)=(-x)⁴=x⁴=f(x)

2. Нечётность функции y=f(x)

1) Область определения функции симметрична относительно точки 0.

2) Если x є D(y), f(-x)=-f(x)

График симметричен относительно начала координат

1) y=sin x; sin (-x)=-sin x

2) y=tg x; tg (-x)=-tg x

3) y=ctg x; ctg (-x)=-ctg x

f(x)=x+1/x

D(f)=(-∞;0)U(0; ∞)

f(-x)=-x+1/(-x)=-(x+1/x)=-f(x)

3. Периодичность

1) Если существует такое число Т≠0, что при любом х из области определения функции числа х-Т и х+Т также принадлежат этой области и выполняется равенство

f(x)=f(x-T)=f(x+T), Т - период, то Тk, где k є Z, k≠0, также период.

2) Если функция периодическая и имеет период Т, то функция Af(kx+b), где A, k, b - постоянные и k≠0, также периодическая, причём её период равен Т^'=T/|k|.

3) Периодичность функции, представляющей собой сумму непрерывной и периодической функции, равен наименьшему кратному периоду слагаемых, если он существует.

Значение периодической функции через промежуток, равный периоду, повторяется. Это свойство использую при построении графиков.

Наименьший положительный период:

а) Для y=sin x; y=cos x равен 2π

б) Для y=tg x; y=ctg x равен π

1) cos (a+T)=cos a, при a=0

cos T= cos0=1, T=2π

2) sin (a+T)=sin a, при а=π/2

sin (π/2+T)=sin π/2=1

sin x=1 при x=π/2+2πn, n є Z.

3) tg x=tg (0+T)=tg 0=0

Но на интервале (0;π) тангенс нулей не имеет,Т≥π,

то есть π - наименьший положительный период тангенса.

1) sin (2π+x)=sin x, tg (π+x)=tg x, sin (x-6π)=sin x,

ctg (x+20π)=tg x

2) а) sin (3x-π/2) б) cos (-x/2+π)

T=2π, T=2π,

a=1, k=3, b=-π/2, a=1, k=-1/2 b=π,

T^'=T/|k|, T^'=2π/|3|=²/₃π T^'=T/|k|, T^'=2π/¹/₂|=4π

3) y=cos x/3 + tg x/5

T=2π, k=¹/₃, T=π, k=¹/₅,

T^'=2π/|¹/₃|=6π T^'=π/|¹/₅|=5π

НОК(6π;5π)=30π

T=30π

4. Монотонность.

Функция только возрастает или убывает на данном числовом промежутке.

1) Функция f(x) называется возрастающей на данном числовом промежутке, если большему значению аргумента x их этого промежутка соответствует большее значение функции f(x),

т.е. если x₂>x₁, то f(x₂)>f(x₁), где x₁,x₂ є I

2) Функция f(x) называется убывающей на данном числовом промежутке, если большему значению аргумента x из этого промежутка соответствует меньшее значение функции f(x),

т.е. если x₂>x₁, то f(x₂)<f(x₁), где x₁,x₂ є I

1) Если смотреть слева на право, то график возрастающей функции идёт

«в гору».

2) Если смотреть слева на право, то график убывающей функции идёт

«с горы».

а) y=sin x возрастает при

x є [-π/2+2πn; π/2+2πn] n є Z;

убывает при

x є [π/2+2πn; 3π/2+2πn] n є Z.

б) y=cos x возрастает при

x є [-π+2πn; 2πn] n є Z;

убывает при

x є [2πn; π+2πn] n є Z.

в) y=tg x возрастает при

x є [-π/2+πn; π/2+πn] n є Z.

г) y=ctg x убывает при

x є [0+πn; πn] n є Z.

Рассмотрим функции:

а) f(x)=3x². Докажем, что функция возрастает при x≥0 x₁є[0; ∞) x₂є[0; ∞), x₂>x₁ f(x₂)-f(x₁)= 3x₂²-3x₁²=3(x₂²-x₁²)=3(x₂-x₁)(x₂+x₁). 3>0, x₂-x₁>0, x₁+x₂>0 => 3(x₂-x₁)(x₂+x₁)>0 => f(x₂)>f(x₁). По определению функция f(x)=3x² возрастает на промежутке [0;∞).

б) f(x)=1/x D(f)=(-∞;0)U(0;∞) x₂x₁є(0;∞), x₂>x₁ f(x­₁)=1/x₁ f(x₂)=1/x₂ f(x₂)-f(x₁)=1/x₁ -1/x₂=(x_1-x₂)/(x­₁x₂)<0 x₁-x₂<0

f(x­₂)<f(x­­­₁) => f(x)=1/x убывает на промежутке (0;∞).

x₂x₁є(-∞;0), x₂>x₁ f(x₂)-f(x₁)=(x_1-x₂)/(x­₁x₂)<0 x₁-x₂<0

f(x­₂)<f(x­­­₁) => f(x)=1/x убывает на промежутке (-∞;0).

Ответ: функция убывает на промежутке (-∞;0)U(0;∞)

5. Экстремумы

Точки минимума и максимума называются точками экстремума, а значение функции в них - экстремумами.

Окрестность точки А - любой интервал, содержащий эту точку.

1) x_o называется точкой максимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x_o выполняется неравенство f(x)≤f(x_o).

2) x_o называется точкой минимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x_o выполняется неравенство f(x)≥f(x_o).

1) Точка, в которой возрастание функции сменяется убыванием - самая высокая точка окрестности. График имеет вид «холма» или «пики».

2) Точка, в которой убывание функции сменяется возрастанием - самая высокая точка окрестности. График имеет вид «впадины»

а) y=sin x x _max=π/2+2πn; y _max=1

x _min=-π/2+2πn; y _min=-1. n є Z.

б) y=cos x x _max=2πn y _max=1 x _min=π+2πn; y _min=-1. n є Z.

в) y=tg x и y=ctg x таких точек не имеют

y y

f(x₀)

y_max

x₀ x

y x_min

f(x₀) x_max x

y_min

x₀ x