Примеры решений неравенств методом интервалов

I. Примеры решения иррациональных неравенств

1. .

Решение. Введем функцию f(x) = - 3. Необходимо определить промежутки, на которых f(x) 0. Очевидно, что D(f) = [0;). Нули f(x): x = 9.

f(16) >0,
f(4) < 0.

Ответ: [0; 9].

2. < 2 - x.

Решение. Традиционное решение этого неравенства приводит к системе неравенств

Решение этого неравенства можно осуществить, положив = y, где y  0. Получаем

y < 20 - y², y² + y - 20 < 0, (y + 5)(y - 4) < 0,

откуда y < 4, поскольку y0. Итак, < 4 и - 18 x  -2.

Интересен и такой вариант (графический) решения примера. Если заметить, что f(x) = - функция возрастающая на луче [- 18; + ), а g(x) = 2 - x - убывающая на R и x = 2 - абсцисса их точки пересечения и при этом f(- 14) < g(- 14), то ясен и

ответ: [- 18; - 2).

Обратимся к теме статьи. Пусть f(x) =+ x - 2. Надо решить неравенство f(x)< 0. Заметим, что D(f)=[- 18; +). Нули функции найдем, решив уравнение = 2 - x, откуда x = - 2.

Применяем метод интервалов:

f(- 14) < 0,
f(7) > 0.

Ответ: [- 18; - 2).

3. < 20.

Решение. Область допустимых значений определяется системой неравенств

. x

Для функции f(x) = - 20 D(f) = [4; +). Далее находим нули f(x):

откуда x = 29 и x = 13 - посторонний корень.

f(30) = - 20 = 0,3 > 0,
f(5) = - 1 - 20 = - 10 < 0.

Ответ: [4; 29).

Примечание. Это неравенство можно решить, например, выполнив замену переменной = y, где y 0.

4. < 1.

Решение. Область определения функции f(x) = - 1 найдем, решив систему неравенств

Легко видеть, что .

Находим нули функции f(x):

1 - 2x = , - 4x + 12x² = 0, x = 0 - посторонний корень, x = ;

f(- 0,1) = - 1 = - 1 < 0,
f(0,1) = - 1 = < 0,
f(0,34) = - 1 = > 0.

Ответ:.

Примечание. Этот пример показывает, что для двух чисел, «близко» расположенных на координатной прямой, применение метода интервалов осуществимо.

5. >x - 1.

Решение. Пусть f(x) = - x + 1. Найдем область определения этой функции, для чего решим неравенство x³ + x² - 2x  0 методом интервалов:

D(f) =.

Ищем нули функции f, решив уравнение

= x - 1, x³ = 1 и x = 1,

где x = 1 удовлетворяет уравнению, но не удовлетворяет исходному неравенству.

Далее применяем метод интервалов:

f(- 1) = + 2 > 0,
f(2) = - 1 > 0.

Ответ: .

Традиционное решение данного неравенства сводится к совокупности двух систем:

Примечание. Отметим, что не идет речь о преимуществах того или иного способа решения неравенств, а показывается применение метода интервалов на более широком классе неравенств.

Упражнения

Решите неравенства методом интервалов:

1. .
2. .
3. .
4. .

II. Примеры решения показательных неравенств

1. 4^x < 2^x+1 + 3.

Решение. Если f(x) = 4^x - 2•2^x - 3, то D(f) = R и необходимо решить неравенство f(x) < 0. Найдем нули

f: 4^x-2•2^x - 3 = 0, откуда 2^x = 3, x = log₂3.

Далее применяем метод интервалов:

f(0) < 0, f(2) > 0.

Ответ: (- ; log₂3).

2. - 3  0.

Решение. Пусть f(x) = - 3. Решаем неравенство f(x) 0. Заметим, что D(f) = (- ; 0)(0; + ). Для нахождения нулей функции f решаем уравнение:

- 3 = 0.

Полагая = t, где t > 0, приходим к уравнению t² - t - 3 = 0 с положительным корнем t = 2. Следовательно, = 2 и x = .

Применяем метод интервалов:

f(1) < 0,
f > 0,
f(- 1) < 0.

Ответ: (- ; 0) .

3. 4^x  .

Решение. Рассмотрим функцию

f(x) = 4^x - () .

Область определения функции f есть луч [0; + ). Найдем теперь нули функции f:

4^x - () = 0.

Разделив обе части последнего уравнения на , получим

,

откуда = 4, x- = 2, а это уравнение имеет единственный корень x = 4.

f(1) < 0, f(9) = 4⁹ - 3•2¹² - 4⁴ = 2⁸(2¹⁰ - 2•2⁴ - 1) > 0.

Ответ: [0; 4].

4. < 1.

Решение. Введем в рассмотрение функцию f(x) = - 1. Легко видеть, что D(f) = . Находим нули функции f(x): 4^x - 2 - 2^2x += 0. Уравнение корней не имеет.

f(0) => 0,
f(1) = < 0.

Ответ: .

Упражнения

Решите методом интервалов неравенства:

5. 9^x < 3^x + 2.
6. .
7. .
8. 3•4^x - 7•10^x + 2•25^x > 0.
9..

III. Примеры решения логарифмических
неравенств методов интервалов.

1. lg² x - 2lg x - 8  0.

Решение. f(x) = lg² x - 2lg x - 8, D(f) = (0; +). Для нахождения нулей функции f решаем уравнение

lg² x - 2lg x - 8 = 0,

откуда lg x = - 2, lg x = 4 и x = , x = 10000.

f(10⁵) = 25 - 10 - 8 = 7 > 0,
f(1) < 0,
f(10^-3) = 9 + 6 - 8 = 7 > 0.

Ответ: .

2. log_0,3 (x² - x - 20) - log_0,3 (x + 4) > 0.

Решение. Найдем область определения функции f в левой части неравенства, решив систему неравенств

x > 5.

Решая уравнение log _0,3 (x² - x - 20) - log_0,3 (x + 4) = 0, находим нули функции f: x² - x - 20 = x + 4, x² - 2x - 24 = 0, x = - 4 - посторонний корень и x = 6.

f(7) = log_0,3 22 - log_0,3 7 <0,
f(5,5) = log_0,3 4,75 - log_0,3 9,5>5.

Ответ: (5; 6).

3. .

Решение. Пусть f(x) = - 1. Необходимо решить неравенство f(x)  0.

Область определения функции f определяется системой неравенств

Итак, D(f) = .

Найдем нули функции f:

log₃ (5x + 1) = log₃ (7x - 1)²,

откуда 49x² - 19x = 0, x = 0 - посторонний корень, x = - корень уравнения.

f(1) = < 0,
f(0,3) = > 0,
f(0,2) = - 1 < 0, так как log₃ 2 > 0, log₃ 0,4 < 0.
f(0,1) = < 0,
f(- 0,1) = < 0.

Ответ: .

4. log_3x+1  0.

Решение. Для функции f(x) = log_3x+1 находим область определения. Решаем систему неравенств:

.

Найдем нули функции: log_3x+1 = 0, = 1, но последнее уравнение корней не имеет.

Применяем метод интервалов:

f(5) = log₁₆ 3 > 0,
f(1) = log₄< 0,
f(- 0,2) = log_0,4 > 0.

Ответ: (4; + ).

5. log_x2 2.

Решение. Для функции f(x) = log_x 2 - 2 имеем D(f) = (0; 1) (1; + ). Очевидно, что для нахождения нулей f необходимо решить уравнение x = , откуда x = 2.

Применяем метод интервалов:

f(4) = log₄ 2 - log₂ 2 < 0,

f(1,5) = ,

f = .

Ответ: (0; 1)  [2; +).

Упражнения

Решите методом интервалов неравенства:

10.
11. log₂ (x + 1) < 1 - 2log₄ x.
12. .
13. log_x < 1.
14. log_x 3  log_2x+3 9.
15. log_x (1 - 2x) < 1.
16. log₃ log₂₇ log₂ (x² + x + 2)  -1.

IV. Примеры на применение метода интервалов
к неравенствам, содержащим знак модуля.

1. x² > | 5x + 6 |.

Решение. Функция f(x) = x² - | 5x + 6 | определена при любом x. Найдем ее нули, решив уравнение
x²=| 5x + 6 |, откуда x² = 5x + 6 или x² = - (5x + 6), т. е.

x² - 5x - 6 = 0 или x² + 5x + 6 = 0.

Корни этих уравнений - 1, 6, - 2, - 3.

Далее применяем метод интервалов:

f(7) > 0, f(0) < 0, f(- 1,5) > 0, f(- 2,5) < 0, f(- 4) > 0.

Ответ: (-; - 3)  (- 2; - 1)  (6; + ).

Примечание. Неравенство можно также решить, заменив его на равносильное (x² - 5x - 6)(x² + 5x + 6) > 0.

2. y² - 4| y | < 12.

Решение. Здесь положим f(y) = y² - 4| y | - 12. Заметим, что D(y) = R и найдем нули функции f: y² - 4| y | - 12=0, откуда | y | = 6, | y | = - 2. Последнее уравнение корней не имеет.

Ответ: - 6 <� y < 6.

3. .

Решение. Заменим неравенство на равносильное  0 и положим f(x) = . Ясно, что D(f) = (- ; - 2)  (- 2; 2)  (2; + ). Находим нули функции f, решая уравнение | 3x | = | x² - 4 |, которое распадается на два:

x² - 3x - 4 = 0 и x² + 3x - 4 = 0.

Корни этих уравнений соответственно равны - 1; 4 и 1; - 4.

Далее применяем метод интервалов:

Ответ: (- ; - 4]  [ - 1; 1]  [4; + ).

Замечание. Конечно, при решении этого неравенства можно было учесть, что |x² - 4 | > 0 при x ±2.

4. x² + 2| x - 1 | + 7  4| x - 2 |.

Решение. Если f(x) = x² + 2| x - 1 | + 7 - 4| x - 2 |, то D(f) = R и необходимо решить неравенство f(x)  0.

Находим нули f:

а)

x = - 1 - нуль функции;

б)

система решений не имеет;

в)

система не имеет решений.

Применяем метод интервалов:

f(0) > 0,
f(- 2) > 0.

Ответ: - 1.

5. + 3 > | x - 1 |.

Решение. Для f(x) = + 3 - | x - 1 | находим D(f) = .

Находим нули функции f(x).

Если x , то

+3 - x + 1 = 0, = x - 4, 8x = 21,

x = 2 - не корень.

Если x , то

+3+x-1 = 0, = - x - 2, 4x = - 9,

x = - 2,25 - корень.

Итак, функция f имеет один нуль x = -2,25.

Применяем метод интервалов:

f(3) >0,

f(- 2,24) = + 3 - 3,24 < 0,1 - 0,24 < 0,

f(- 3) > 0.

Ответ: (- ; - 2,25)  [5; + ).

Упражнения

Решите методом интервалов неравенства:

17. | x - 6 | > x² - 5x + 9.
18. 16| x² - 2(x + | x | + 1 | < 1.
19. | x² - | x + 1 ||  2x - 3.

20.

Ответы

А. Смоляков,
г. Нефтекумск