Опорный конспект по математике 'Действия с рациональными числами'

Действия с рациональными числами

Сложение нуля с другим рациональным числом

Сформулируем правило сложения рационального числа с нулем: прибавление нуля к любому числу дает это же число. С помощью букв это правило записывается так: a+0=a для любого рационального a, а в силу переместительного также справедливо равенство 0+a=a.

Приведем пару примеров. Сумма рационального числа 0,5 и числа 0 равна 0,5. Еще пример: .

Сложение противоположных рациональных чисел

Теперь установим, как проводится сложение противоположных рациональных чисел: сумма равна нулю. В буквенном виде это правило имеет такую запись: a+(−a)=0, для любого рационального a.

Например, рациональные числа 4,(35) и −4,(35) - противоположные, значит, их сумма равна нулю, то есть, 4,(35)+(−4,(35))=0. Другой пример: .

Сложение положительных рациональных чисел

Любое положительное рациональное число можно записать в виде . Таким образом, для сложения положительных рациональных чисел нужно знать, как рациональные числа приводятся к виду обыкновенных дробей, и как выполняется .

Пример.

Сложите рациональные числа 0,7 и 7/8.

Решение.

Выполнив , от суммы 0,7+7/8 приходим к сумме 7/10+7/8. Осталось провести : .

Ответ:

.

Если складываемые рациональные числа можно записать как , либо как , то можно выполнить и соответственно.

Сложение рациональных чисел с разными знаками

Для сложения рациональных чисел с разными знаками используется : из большего модуля слагаемых надо вычесть меньший, и перед полученным числом поставить знак того числа, модуль которого больше.

Пример.

Выполните сложение рациональных чисел с разными знаками 7,2 и .

Решение.

Нам нужно сложить положительное число с отрицательным. По правилу сложения чисел с разными знаками нам сначала нужно найти слагаемых: .

7,2 и дает , значит, остается от 7,2 отнять , и перед полученным числом поставить знак плюс. Заменив десятичную дробь 7,2 смешанным числом , приходим к : .

Перед полученным числом нет смысла ставить знак плюс, так как запись отвечает числу .

Ответ:

.

Сложение отрицательных рациональных чисел

Сложение отрицательных рациональных чисел проводится по : складываются модули слагаемых и перед полученным числом ставится знак минус.

Приведем пример сложения отрицательных рациональных чисел.

Пример.

Сложите отрицательное число −4,0203 с отрицательным числом −12,193.

Решение.

Модули складываемых чисел равны 4,0203 и 12,193 соответственно. :

Осталось перед полученным числом поставить знак минус, имеем −16,2133.

Ответ:

(−4,0203)+(−12,193)=−16,2133.

Вычитание рациональных чисел

Переходим к рассмотрению следующего действия над рациональными числами - вычитания. Вычитание является действием, обратным к сложению. То есть, вычитание - это нахождение неизвестного слагаемого по сумме и известному слагаемому. Это также означает, что из равенства c+b = a следует, что a−b = с и a−c = b, и наоборот, из равенств a−b=с и a−c=b следует, что c+b = a. Вычитание из большего положительного рационального числа меньшего числа сводится либо к , либо, если это удобно, к или .

Пример.

Вычислите разность рациональных чисел вида .

Решение.

Для начала будем действовать как при : . Так мы приходим к вычитанию обыкновенной дроби из смешанного числа: .

Ответ:

.

В остальных случаях вычитание рациональных чисел заменяется сложением: к уменьшаемому прибавляется число, противоположное вычитаемому. То есть,

а − b = a + (−b).

Это равенство доказывается на основании . Они позволяют записать такую цепочку равенств:

(a+(−b))+b = a+((−b)+b)= a+0= a, откуда в силу смысла вычитания следует, что сумма вида a + (−b) является разностью чисел a и b.

Пример.

Выполните вычитание из рационального числа 2/7 рационального числа .

Решение.

Число, противоположное вычитаемому, есть . Тогда . Так мы пришли к сложению рациональных чисел с разными знаками, имеем .

Ответ:

.

Умножение рациональных чисел

Понятие числа расширяется от натуральных чисел к целым, а от целых чисел к рациональным. Это объясняет тот факт, что действия с целыми числами обладают всеми свойствами действий с натуральными числами. Следовательно, действия с рациональными числами должны обладать всеми свойствами действий с целыми числами. Однако для умножения рациональных чисел характерно еще одно свойство - свойство умножения взаимно обратных чисел.

С указанным принципом согласуются все перечисленные ниже правила умножения рациональных чисел.

Умножение на нуль

Произведение любого числа a на нуль есть нуль. Запишем это утверждение в буквенном виде: a·0=0 для любого рационального числа a, а в силу переместительного свойства умножения это равенство можно переписать как 0·a=0. Приведем примеры. Умножение рационального числа 5/12 на 0 дает 0, произведение нуля и отрицательного рационального числа также равно нулю. В частности произведение нуля на нуль есть нуль, то есть, 0·0=0.

Умножение на единицу

Теперь озвучим правило умножения рационального числа на единицу: умножение любого рационального числа a на 1 в результате дает число a. То есть, a·1=a или 1·a=a, для любого рационального a. Таким образом, единица является нейтральным числом по умножению.

Например, умножение рационального числа 4,73 на 1 в результате дает 4,73. Другой пример: произведение равно .

Произведение взаимно обратных чисел

Если множители являются , то их произведение равно единице. То есть, a·a⁻¹=1.

Так произведение взаимно обратных чисел 7/8 и 8/7 равно единице. Аналогично, умножение −1,5 на −0,(6) в результате дает 1, так как −1,5=−3/2 и −0,(6)=−2/3, а −3/2 и −2/3 - взаимно обратные числа.

Умножение положительных рациональных чисел

В общем случае умножение положительных рациональных чисел можно свести к . Для этого множители нужно представить в виде обыкновенных дробей, если они сразу не являются таковыми.

Пример.

Вычислите произведение положительных рациональных чисел 0,4 и 5/28.

Решение.

Представим десятичную дробь 0,4 в виде обыкновенной дроби: 0,4=4/10=2/5. Таким образом, . Осталось выполнить умножение обыкновенных дробей: . На этом умножение исходных рациональных чисел завершено.

Вот все решение: .

Ответ:

.

Иногда удобно работать с конечными десятичными дробями, не выполняя переход к обыкновенным дробям.

Пример.Вычислите произведение рациональных чисел вида 2,121·3,4. Решение.Здесь мы можем выполнить :
(−3,146)·(−56)=176,176.

Ответ:

2,121·3,4=7,2114.

В частном случае умножение положительных рациональных чисел может собой представлять , или .

Пример.

Проведите умножение рациональных чисел 0,(1) и 3.

Решение.

Сначала переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную дробь: . Таким образом, от умножения исходных рациональных чисел 0,(1) и 3 ми переходим к умножению обыкновенной дроби 1/9 на 3. В итоге имеем .

Ответ:

.

Умножение рациональных чисел с разными знаками

Для умножения рациональных чисел с разными знаками применяется : надо умножить модули множителей и перед полученным числом поставить знак минус. Это правило позволяет от умножения рациональных чисел с разными знаками перейти к умножению положительных рациональных чисел, с которым мы разобрались в предыдущем пункте.

Рассмотрим решение примера.

Пример.

Выполните умножение отрицательного рационального числа на положительное рациональное число.

Решение.

По правилу умножения чисел с разными знаками имеем . Заменив смешанные числа соответствующими неправильными дробями, завершаем вычисления .

Ответ:

.

Умножение отрицательных рациональных чисел

Умножение отрицательных рациональных чисел сводится к умножению положительных чисел. При этом применяется следующее : нужно перемножить модули множителей.

Рассмотрим применение этого правила при решении примера.

Пример.

Выполните умножение отрицательных рациональных чисел −3,146 и −56. Решение. Модули множителей равны соответственно 3,146 и 56. Вычислим их произведение, для этого выполним умножение столбиком:

Таким образом, произведение исходных отрицательных рациональных чисел равно 176,176.

Ответ:

(−3,146)·(−56)=176,176.

Деление рациональных чисел

Деление представляет собой действие, обратное умножению. Иными словами, деление - это нахождение неизвестного множителя по известному произведению и другому множителю. То есть, смысл деления таков: из равенства b·c=a следует, что a:b=c и a:c=b, и, наоборот, из равенств a:b=c и a:c=b следует, что b·c=a.

На множестве рациональных чисел деление сложно считать самостоятельным действием, так как оно выполняется посредством умножения. Об этом свидетельствует следующее правило деления рациональных чисел: разделить число a на отличное от нуля число b - это все равно, что умножить делимое a на число, обратное делителю. То есть, на множестве рациональных чисел a:b=a·b⁻¹.

Доказать это равенство не составляет труда. Действительно, в силу свойств действий с рациональными числами справедливы равенства (a·b⁻¹)·b=a·(b⁻¹·b)=a·1=a, которые доказывают равенство a:b=a·b⁻¹.

Итак, деление рационального числа на отличное от нуля рациональное число сводится к умножению рациональных чисел.

Осталось лишь рассмотреть пример деления рациональных чисел по озвученному правилу.

Пример.

Выполните деление .

Решение.Найдем число, обратное делителю . Запишем это число в виде неправильной дроби: . Тогда число, обратное этой дроби есть .

Теперь мы можем по правилу деления перейти от деления рациональных чисел к умножению, что позволит нам закончить вычисления: .

Ответ:

.