Конспект урока по теме: 'Решение тригонометрических неравенств'

Конспект урока по теме:

«Решение тригонометрических неравенств».

Задача урока - продолжить изучение решения тригонометрических неравенств, содержащих функции синус и косинус, перейти от простейших неравенств к более сложным.

Цели урока:

• закрепление знаний тригонометрических формул, табличных значений тригонометрических функций, формул корней тригонометрических уравнений;

• формирование навыка решения простейших тригонометрических неравенств;

• освоение приёмов решения более сложных тригонометрических неравенств;

• развитие логического мышления, смысловой памяти, навыков самостоятельной работы, работы в группе, самопроверки;

• воспитание аккуратности и чёткости в оформлении решения, интереса к предмету, уважения к одноклассникам.

• формирование учебно-познавательных, информационных, коммуникативных компетенций.

Оборудование: проектор, презентация, раздаточные карточки .

Форма организации обучения - урок.

Методы обучения, используемые на уроке - словесные, наглядные, репродуктивные, проблемно-поисковые, индивидуального и фронтального опроса, устного и письменного самоконтроля, самостоятельной работы, работы в группах.

Ход урока:

1.Организационный этап.

2. Формулировка цели урока.

- Сегодня на уроке повторим решение простейших тригонометрических неравенств и рассмотрим более сложные случаи.

3. Устная работа.

(Задания и ответы записаны на слайде презентации, открываю ответы по ходу решения)

1)Решить тригонометрические уравнения:

sinx = -, 2sinx =, sin2x = , sin(x - ) = 0, cosx = ,

cosx = -, cos2x = 1, tgx = -1.

2)Назовите главные промежутки монотонности функций синус и косинус.

3) Сравните а) sin3 и cos3; б)arcsin(-0,9) и arccos0,9

4.Повторение.

- Вспомним алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств.

Учащиеся письменно выполняют работу на листках, затем выполняют самопроверку (решения и ответы на слайде презентации).

1вариант 2 вариант

1) sinx ≥ -; 1)sinx

2) cosx < ; 2) cosx ≥ -

- Поменяйтесь вариантами, возьмите ручку другого цвета, проверьте

работу товарища.

5.Новый материал.

- При решении более сложных тригонометрических неравенств, их с помощью преобразований сводят к простейшим тригонометрическим неравенствам, используя при этом те же приемы, что и при решении уравнений.

Разберем некоторые из них. Решите неравенство: (решение неравенств на доске под руководством учителя).

1. cosxcos2x>sinxsin2x.

Воспользуемся формулой cos(α+β)= cosαcosβ - sinαsinβ. Получим:

cos3x>0,

.

.

Ответ:

.

2) cos²2x - 2cos2x ≥ 0.

(Вспомним прием решения тригонометрических уравнений вынесением общего множителя за скобку).

cos2x(cos2x - 2) ≥ 0.

Замена: cos2x = t, ≤ 1; t(t - 2) ≥ 0; Второе неравенство не удовлетворяет условию ≤ 1.

cos2x ≤ 0. (Решить неравенство самостоятельно. Проверить ответ).

Ответ: + n  х  + n, n  Z.

3) 6sin²x - 5sinx + 1 ≥ 0.

(Вспомним прием решения тригонометрических уравнений заменой переменной. У доски решает ученик с комментариями).

Замена sinx = t, ≤ 1. 6t² - 5t +1 ≥ 0, 6(t - )(t - ),

Ответ: + 2n ≤ х ≤ + 2n, --arcsin+ 2k ≤ х ≤ arcsin+ 2k,

n, k  Z.

5.Закрепление.

Работа в группах. Каждой группе предлагается решить одно неравенство, затем записать решение на доске и прокомментировать.

1)

2)

3)

4)

6. Домашнее задание.

(Раздаю карточки с записью домашнего задания. Комментирую решение каждого неравенства).

1. cosx  sin²x;

2. 4sin2xcos2x  -;

3. cos² ≤ sin² - 0,5;

4. sinx + cosx  1.

Повторить тригонометрические формулы, подготовиться к самостоятельной работе.

7.Подведение итогов. Рефлексия.

- Назовите приемы решения тригонометрических неравенств.

- Каким образом знание алгоритма решения простейших тригонометрических неравенств используется при решении более сложных неравенств?

- Какие неравенства вызвали наибольшее затруднение?

(Оцениваю работу учащихся на уроке).

Тема «Тригонометрические неравенства» является объективно сложной для восприятия и осмысления учащимися 10 класса. Поэтому очень важно последовательно, от простого к сложному формировать понимание алгоритма и вырабатывать устойчивый навык решения тригонометрических неравенств.

Успех освоения данной темы зависит от знания основных определений и свойств тригонометрических и обратных тригонометрических функций, знания тригонометрических формул, умения решать целые и дробно-рациональные неравенства, основные виды тригонометрических уравнений.

Особый упор нужно делать на методике обучения решения простейших тригонометрических неравенств, т.к. любое тригонометрическое неравенство сводится к решению простейших неравенств.

Первичное представление о решении простейших тригонометрических неравенств предпочтительно вводить, используя графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. И только после учить решать тригонометрические неравенства на окружности.

Проверочная работа

по результатам освоения материала.

Вариант 1.

Решите неравенства 1 - 3:

1. sin3x -  0;

2. cos²x + 3cosx  0;

3. coscos2x - sinsin2x ≥ -.

4. Определите все а, при каждом из которых неравенство 12sinx + 5cosx ≤ а имеет хотя бы одно решение.
   
   

Вариант 2.

Решите неравенства 1 - 3:

1. 2cos  1;

2. sin²x - 4sinx  0;

3. sincos3x - cossin3x ≤ -.

4. Определите все а, при каждом из которых неравенство 6sinx - 8cosx ≤ а имеет хотя бы одно решение.