Тема урока: Формулы сложения Тип урока: урок изучения нового материала.

Тема урока: Формулы сложения

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели урока: на основе полученных ранее знаний, вывести формулы для вычисления косинуса суммы и разности двух аргументов; выработать умения и навыки применения данных формул к упрощению выражений, решению уравнений.

Ход урока:

1.Организационный этап. Учитель приветствует учащихся, объясняет тему урока, цели и задачи урока.

2. Повторение (подготовка учащихся к активному усвоению нового материала). Необходимо повторить с учащимися следующие понятия и формулы: вектор, скалярное произведение векторов, определение координат данного вектора, формула скалярного произведения в координатах, определения косинуса и синуса.

3. Изучение нового материала.

Вывод формулы косинуса суммы и разности двух аргументов:



Рис.1 Рис.2

Повернем радиус ОА, равный R, около точки О на угол α и на угол β (рис.1). Получим радиусы ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение векторов и . же координаты имеют Пусть координаты точки В равны х₁ и y_1, координаты точки С равны х₂ и y_2. Эти соответственно и векторы и . По определению скалярного произведения векторов:

= х₁х_{2 +} y₁y₂. (1)

Выразим скалярное произведение через тригонометрические функции углов α и β. Из определения косинуса и синуса следует, что

х₁ = R cos α, y₁ = R sin α, х₂ = R cos β, y₂ = R sin β.

Подставив значения х₁, х₂, y₁, y₂ в правую часть равенства (1), получим:

= R²cos α cosβ + R²sin α sinβ = R²(cos α cosβ + sin α sinβ).

С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторов имеем:

= cos BOC = R²cos BOC.

Угол ВОС между векторами и может быть равен α - β (рис.1), - (α - β) (рис.2) либо может отличаться от этих значений на целое число оборотов. В любом из этих случаев cos BOC = cos (α - β). Поэтому

= R² cos (α - β).

Т.к. равно также R²(cos α cosβ + sin α sinβ), то

cos(α - β) = cos α cosβ + sin α sinβ.



cos(α + β) = cos(α - (-β)) = cos α cos(-β) + sin α sin(-β) = cos α cosβ - sin α sinβ.

Значит, cos(α + β) = cos α cosβ - sin α sinβ.

4. Закрепление изученного материала.

1. Вычислить: 1) cos75⁰, 2) cos15⁰.

Решение: 1) Воспользуемся тем, что 75⁰ = 45⁰ + 30⁰;

cos75⁰ = cos( 45⁰ + 30⁰) = cos45⁰·cos30⁰ - sin45⁰·sin30⁰= ;

2) Воспользуемся тем, что 15⁰ = 45⁰ - 30⁰;

cos15⁰ = cos(45⁰ - 30⁰) = cos45⁰·cos30⁰ + sin 45⁰·sin30⁰ = .

2. Вычислить: , если известно, что .

Решение:

. По условию аргумент y принадлежит второй четверти, а в ней синус положителен. Поэтому из равенства находим, что .

.

3. Вычислить:

1) cos37⁰cos8⁰ - sin37⁰sin8⁰; 2) cos107⁰cos17⁰ + sin107⁰sin17⁰.

Решение: 1) cos37⁰cos8⁰ - sin37⁰sin8⁰ = cos(37⁰ + 8⁰) = cos45⁰ =

2) cos107⁰cos17⁰ + sin107⁰sin17⁰ = cos(107⁰ - 17⁰) = cos90⁰ = 0.

4. Подведение итогов урока (выставление отметок, ответы на вопросы учащихся).

5. Домашнее задание.

§22, № 344-345