Методическая разработка по теме Динамическая геометрия, 7-11 класс

Методические приемы демонстрационных «живых»

моделей по предмету «Математика»

Введение

Чтобы привить интерес учащихся к школьному курсу геометрии, на уроках применяю «живую» (динамическую) геометрию.

Хотя компьютер давно уже превратился из «роскоши» в рабочий инструмент, далеко не все возможности, которые он предоставляет учителям, и в частности, учителям математики, используются нами в полной мере. Среди разнообразных программных продуктов, разработанных специально для преподавания математики, наибольшее признание заслужили так называемые «программы динамической геометрии» или «интерактивные геометрические системы».

Идея динамической геометрии зародилась более 20 лет назад, когда появились технические возможности для ее реализации. Пионерами в этой области стали Жан-Мари Лаборд (Jean-Marie Laborde) во Франции и Николас Джекив (Nicholas Jackiw) в США. Их программы (соответственно Cabri и The Geometer's Sketchpad (GSP)), получили наибольшее развитие и распространение. Относительно широкую популярность в России завоевали программы «Живая Геометрия», «Живая Математика». Российские разработчики выпустили собственные варианты программ динамической геометрии, в частности программную среду «1С: Математический конструктор» (далее - МК).

I Программы динамической геометрии

Прежде, чем говорить конкретно о МК, кратко расскажу о программах динамической геометрии вообще.

В своем изначальном виде эти программы предоставляют пользователю набор виртуальных чертежных инструментов, с помощью которых на экране, как на листе бумаги, можно выполнять классические геометрические построения. Важнейшей особенностью полученного чертежа является то, что программа запоминает порядок (алгоритм) построения, а исходные данные (фактически, некоторые точки) можно изменять «на лету» - перетаскивать мышью, что приводит к соответствующему изменению всей конструкции. Кроме чертежных инструментов, в этих программах имеются инструменты для измерения углов, расстояний и площадей, для рисования следов точек при вариации данных, а также для оформления чертежей - изменение цвета фигур, создание буквенных обозначений и т.п. Современные программы динамической геометрии позволяют выполнять преобразования фигур, строить геометрические места точек и графики функций, динамически зависящие от параметров, широко использовать координаты. В дополнение к инструментам для создания собственно динамических чертежей эти программы содержат и инструменты для создания презентаций на их основе.

Программы динамической геометрии позволяют с минимальными усилиями создавать высококачественные чертежи и добиваться требуемого расположения их элементов, не перерисовывая чертеж заново, и это, безусловно, очень ценно. Но еще более ценно то, что глядя на изменяющийся чертеж, можно выделить те его свойства, которые сохраняются при вариации, то есть следствия условий, накладываемых на рассматриваемую фигуру. Например, легко увидеть, что какие-то прямые всегда параллельны или какие-то отрезки равны.

Благодаря этому модель становится и инструментом для геометрических открытий, и замечательным педагогическим средством: смоделировав подобный эксперимент заранее, я могу подвести учеников к самостоятельному осознанию той или иной идеи. Да и сам процесс построения гораздо более поучителен в его компьютерном варианте, т.к. требует от ученика полного понимания алгоритма построения и точности его исполнения.

II Концепция динамической геометрии

Концепция динамической геометрии стала в определённой мере реакцией на формализм в обучении математике. Основатели проекта положили в основу изучения геометрии эксперимент, наглядность, эвристическую деятельность.

Самым главным в динамической геометрии является то, что при работе с программами ученик строит чертежи не на бумаге, а на экране компьютера. Что это меняет? Оказывается, что разница, по сравнению, например, с написанием текста и набором его на компьютере, принципиальная.

Проверяя решение задачи (на построение), проиллюстрированное обычным рисунком, учитель должен проанализировать все рассуждения ученика - сам рисунок не даёт учителю никакой информации о правильности решения. Когда же ученик строит чертёж в программе динамической геометрии, он фактически конструирует алгоритм построения. Построенный чертёж получается динамическим.

Например, если ученик правильно построил вписанную в треугольник окружность, она должна оставаться вписанной, даже если изменить форму треугольника, «потянув» за вершины. Такая устойчивость показывает, что построение верное.

Эта способность среды проверять правильность конструкций простым изменением параметров позволяет сделать преподавание более демократичным и индивидуализированным. Ученик может придумать неожиданное для учителя решение и легко убедить учителя в своей правоте. Разные ученики могут предложить разные решения.

Появляется возможность естественно ввести в учебный процесс творческую составляющую: конструирование, эксперимент, исследование. Можно обнаруживать закономерности в наблюдаемых геометрических явлениях, самостоятельно формулировать утверждения для последующего доказательства, подтверждать уже известные факты, применять их на практике и развивать понимание теории.

III Примеры некоторых типов конструктивных геометрических задач

Покажу, как динамические модели могут быть использованы в решении некоторых типов конструктивных геометрических задач.

Задачи на нахождение геометрических мест точек: таких задач в школьном курсе геометрии рассматривается немного. Это не значит, что эти задачи неинтересны. Дело в том, что эти задачи непросты в своём решении и трудны в проверке полученного результата. Всё становится намного проще и понятнее, если воспользоваться возможностями динамической геометрии. Перед геометрическими рассуждениями можно строим модель задачи с использованием анимации и видим результат, к которому надо стремиться, т.е. получаем искомое геометрическое место точек до математических рассуждений. Как во всякой задаче на построение, в конце решения задачи на нахождение геометрического места точек необходимо провести исследование, т.е. выяснить, при любых ли данных задача имеет решение и как оно зависит от этих данных. Модель в этом случае помогает провести исследование.

Задачи на построение сечений многогранников: благодаря технологии, разработанной для изображений пространственных объектов, эти объекты можно поворачивать и наклонять, следовательно, осматривать их с разных сторон. Создаётся уникальная возможность проверки сделанных построений. Всё это на первом этапе изучения стереометрии помогает школьникам быстрее "войти" в пространство.

Опыт показывает, что среда динамической геометрии является эффективной поддержкой школьного курса геометрии, уроков и факультативных занятий. Применение компьютерного эксперимента влечет за собой повышение качества обучения, так как позволяет усваивать геометрическую информацию не догматически, а экспериментально - в том числе и учащимся с затруднённым восприятием геометрии.

IV Возможности программы «1С: Математический конструктор»

Программная среда «1С: Математический конструктор» предназначена для создания интерактивных моделей по математике, сочетающих в себе конструирование, моделирование, динамическое варьирование, эксперимент. Динамический наглядный механизм «Математического конструктора» предоставляет младшим школьникам возможность творческой манипуляции с объектами, а ученикам старшей школы - полнофункциональную среду для конструирования и решения задач. МК предназначен также для работы с функциями и их интерактивными графиками, имеется возможность проверки ответа ученика.

V Методические особенности МС

Программная среда «1С: Математический конструктор»:

• может использоваться как дома, так и в школе при различных формах проведения занятий и при различной компьютерной оснащенности учебного класса;

• позволяет быстрее и эффективнее освоить школьный курс по математике, повышает запоминаемость материала;

• обеспечивает возможность изучения математики на основе деятельностного подхода за счет внедрения элементов эксперимента и исследования в учебный процесс;

• повышает степень эмоциональной вовлеченности учеников, обеспечивает возможность постановки творческих задач и организации проектной работы.

Укажу три основных направления использования МК в учебно-практической деятельности:

1. «Математический конструктор» - незаменимый помощник учителя. В простейшем случае он позволяет легко создавать качественные рисунки для вставки в печатные тексты. Однако в полном объеме возможности конструктора раскрываются при создании интерактивных моделей-иллюстраций к объяснению теории и моделей-заданий, содержащих заготовки математических объектов, условия заданий и инструкции по работе с ними, пошаговые планы построений, а также, при необходимости, модуль проверки.

2. Заранее подготовленные модели по конкретным вопросам учебной программы используются мною и учениками на всех этапах занятий, в том числе, благодаря модулю проверки, и как задания для самостоятельных и контрольных работ. При этом ученики работают не с конструктором, а с автономными моделями.

3. «Математический конструктор» служит инструментальной средой для самостоятельной работы учащихся на уроке (или дома) «с чистого листа». При этом перед учениками ставлю задачи построения и исследования определенных объектов, в ходе решения которых и должны достигаться те или иные учебные цели. Использование конструктора в таком качестве отвечает самым современным педагогическим концепциям. В то же время, такая форма занятий предполагает определенную перестройку учебного процесса, перенос акцентов на новые, современные формы работы.

VI Типы динамических моделей

Приведу примеры различных типов динамических моделей.

1. Манипулятивные модели для исследования.

Приемы разработки:

• «Совершаем открытие»: ученика вряд ли удивит, что при деформации треугольника луч, построенный как биссектриса его угла, всегда будет делить этот угол пополам - ведь именно так он и построен. Но если провести все три биссектрисы, то мы увидим, что они будут всегда пересекаться в одной точке, хотя эту точку мы и не строили - она возникла «сама». А это уже маленькое геометрическое открытие. И такое открытие может перевернуть весь ход урока - от заунывного изложения «фактов», пусть даже сопровождаемого пассивным иллюстрированием, я перехожу к активному стимулированию творческого потенциала учеников, развиваю в них навык видеть, формулировать и понимать геометрические закономерности, существенно увеличиваю степень эмоциональной вовлеченности и запоминаемости изучаемого материала.

• «Ставим численный эксперимент»: все расстояния, углы и площади в «Математическом конструкторе» легко измеряемы. Это позволяет проводить численные экспериментальные наблюдения, которые могут вести к самостоятельному открытию тех или иных фактов.

  Пример: Сумма расстояний до сторон равностороннеготреугольника
  
  
  
  

• «Черный ящик»: нравятся ученикам и задания типа «черный ящик», в которых, наблюдая за изменениями одних элементов чертежа при перемещении других элементов, учащиеся должны разгадать скрытый связывающий их «механизм». Например, дана фигура и ее образ при некотором движении. Требуется указать вид движения и его параметры.

  Пример: Отгадай преобразование

• «Выбери правильный ракурс»: специфическим классом задач, в которых манипулирование компьютерной моделью предоставляет ученику качественно новые возможности, являются стереометрические чертежи. Развитие пространственного воображения - одна из важнейших целей при изучении стереометрии. Нередко в стереометрической задаче достаточно взглянуть на пространственную конструкцию с нужной точки - и принцип решения станет понятен без долгих объяснений.

  Пример: Сечение тетраэдра
  
  
  
  
  
  

• «Определи граничные значения»: другой тип математического эксперимента, проводимого при помощи конструктора: исследование пограничных и крайних ситуаций. Пусть, например, я показала ученикам как строится треугольник по трем сторонам. А затем стала менять длину исходных отрезков - и вдруг треугольник «исчез». Так я пришла к содержательной задаче о наличии и числе решений в зависимости от исходных данных.

2. Конструктивные задания.

Приемы разработки:

• « Выполни построение циркулем и линейкой»: важнейшим классом учебных заданий, формируемых при помощи «Математического конструктора», являются задачи на конструирование с помощью предоставляемого ученику набора виртуальных инструментов. В частности, любая «классическая» школьная задача на построение циркулем и линейкой может быть представлена в интерактивной компьютерной форме. Причем как на итоговом чертеже, так и на всех промежуточных фазах решения важную роль играет возможность проверки правильности построения вариацией данных - когда кажущийся «правильным» чертеж рассыпается при деформировании исходных объектов, если он был создан лишь визуально похожим рисованием, а не геометрически корректным построением. Выполнив построение, ученик имеет возможность исследовать условия существования решения и зависимость числа решений от данных задачи.

Пример: Построить симметричную точку

• « Построения на шаблоне»: в заданиях на построение можно разнообразить не только инструменты, но и «рабочее поле». Особенно интересны в этом смысле построения на изображениях стереометрических фигур. Эти изображения снабжены механизмом, позволяющим изменять ракурс - вращать данную фигуру. Таким образом, по ходу работы ученик имеет возможность как бы выйти в пространство. Задания, которые при этом можно ставить, весьма разнообразны; в частности, я предлагаю на построение сечений многогранников.

Пример: Сечение куба

• «Преобразования графиков»: отдельное место среди конструктивных заданий занимают задания на построение графиков функций. «Математический конструктор» позволяет строить графики функций, задаваемых аналитически (с помощью специального редактора формул). Я уделяю больше внимания построению графиков с помощью преобразований: искомый график получается из некоторого стандартного сдвигами, растяжениями, симметриями. Для таких преобразований в «Математическом конструкторе» предусмотрены специальные команды.

Пример: Преобразование графика функции

3. Сценарные презентации и тренажеры.

Приемы разработки:

• «Воспользуйся визуальной подсказкой»: очень полезны динамические чертежи с визуальными подсказками. На этих чертежах часть информации, играющая роль подсказки, поначалу спрятана. Доступ к подсказке может быть как прямым (вызов ссылкой-кнопкой), так и требовать от пользователя предварительного выполнения каких-либо действий (например, введения ответа). Подсказкой может быть дополнительное построение, значение какой-то величины, анимированное преобразование фигуры и т.д. Важно, что подсказки носят невербальный характер и тем самым развивают геометрическое воображение, интуицию, умению воспринимать по-разному представленную информацию.

Пример: Построение треугольника по медиане и двум сторонам (с подсказкой)

• «Изучи построение по шагам»: при помощи «Математического конструктора» можно создавать и пошаговые демонстрации рассуждений (презентации). На таких чертежах имеется краткий текст, описывающий по шагам ход доказательства, построения или вычисления и содержащий гиперссылки, управляющие показом. При этом ученик может (должен) производить с чертежом некоторые действия. Чертежи этого типа служат заменой фрагментам учебника и особенно полезны при самоподготовке.

Пример: Построение треугольника по медиане и сторонам (пошаговый разбор)

Источники информации:

1. Л.Ф.Батан. УМП «Использование информационно-коммуникационных технологий в обучении математике», Новосибирск, 2012

2. Образовательная программа «1С6 Математический конструктор 4.5», изд.ООО «1С-Паблишинг», 2009

3. Рузанова И.М., ст. «Обучение математике с использованием ИКТ», Самара, 2012

4. Сайт obr.1c.ru/mathkit/help/intro/index.html</