Тема урока «Примеры применения производной»

Цели урока:

• Образовательные: обобщить знания учащихся о производной и ее приложениях к исследованию функций, закрепить практические навыки и умения учащихся при решении задач на геометрический и физический смысл производной; отыскание экстремумов функции, промежутков возрастания и убывания, учить применять знания при работе с графиком производной; выявить степень усвоения знаний.

• Развивающие: развивать логическое мышление, вычислительные навыки, умение пользоваться опорными конспектами, алгоритмами, расширять кругозор учащихся, раскрытие практической необходимости и теоретической значимости темы, развивать любознательность.

• Воспитательные: воспитывать стремление к овладению знаниями, интерес к предмету, культуру мышления, культуру речи, познакомить учащихся с практическим применением производной в различных областях деятельности человека, воспитывать чувство ответственности, уверенности в себе, умение высказывать свое мнение и доказывать свою точку зрения; воспитывать умение работать самостоятельно.

Оборудование: мультимедийный проектор, интерактивная доска, «Схема исследования функции с помощью производной», листы с заданиями на урок (по 1 на парту), плакат с заданиями для разминки.

План урока:

1. Организационный момент - вводное слово учителя.

2. Разминка «Найди ошибку».

3. Работа с графиками.

4. Решение задач.

5.Практическое приложение производной.

6. Домашнее задание.

7. Итог урока.

Ход урока.

1. Организационный момент - вводное слово учителя.

Исторически понятие производной возникло из практики. Скорость неравномерного движения, плотность вещества, также тангенс угла наклона касательной к кривой и другие величины явились прообразом понятия производной. Возникнув из практики, понятие производной получило обобщаемый смысл, что еще более усилило его прикладное значение. Создание дифференциального исчисления чрезвычайно расширило возможности применения математических методов в естествознании и технике.

Сегодня у нас заключительный урок по теме: "Применение производной", на котором мы должны, систематизируя знания и умения, подготовиться к контрольной работе. В связи с тем, что по окончании изучения курса алгебры вам предстоит сдавать экзамен, а для некоторых из вас в форме ЕГЭ, то основной материал к нашему уроку взят из сборников для подготовки к ЕГЭ.

2. Разминка «Найди ошибку»

А начнем мы свой урок с разминки. Вашему вниманию предложена заполненная таблица по нахождению производных некоторых функций. А вот правильно она заполнена или нет, предстоит выяснить вам. В случае, если производная найдена правильно, вы ставите в соответствующей графе знак «+». Если же вы обнаружите ошибку, то исправьте ее и объясните ее характер.

III. Работа с графиками.

Особую роль при изучении функций играют их графики. По графику функции или ее производной можно узнать характер поведения функции на заданном промежутке.

Вашему вниманию сейчас будут предложены различные задания из материалов ЕГЭ, которые потребуют от вас умения работать с графиками производных. При ответе на вопрос приведите математическое обоснование.

1. Функция у = f(x) определена на промежутке (- 6; 4). График ее производной изображен на рисунке. Укажите точку максимума функции у = f(x) на этом промежутке.

(учащиеся должны сформулировать признак максимума функции и объснить его геометрическую интерпритацию)

2. Функция у = f(x) задана на промежутке [-6; 4]. Укажите

промежуток, которому принадлежат все точки экстремума.

3. Функция у = f (x) задана на отрезке [a; b]. На рисунке изображен график ее производной

у = f (x). Укажите количество промежутков, на которых функция возрастает.

(при ответе на вопрос учащиеся должны сформулировать достаточный признак возрастания функции)

4.Функция определена на промежутке

(-3; 7). График ее производной изображен на рисунке.

Укажите число точек минимума функции на промежутке (-3; 7). Укажите количество промежутков убывания функции.

4. Решение задач.

А сейчас откройте тетради, запишите число и тему урока «Применение производной».

Мы уже с вами прорешали огромное количество физических задач с помощью производной. Теперь попробуйте решить задачу с химическим содержанием:

Задача №1.

Количество вещества, вступившего в химическую реакцию, задается зависимостью:

Q(t) = (моль). Найти скорость химической реакции через 5 секунд.

Решение.

Областью определения функции Q(t) является множество всех действительных чисел.

v(t) = р'(t) = 3t +4;

v(5) = 3·5+4 = 19(моль/с)

Ответ. 19 моль/с

Задача № 2. (Устно)

4 ученика исследовали функцию у=х⁴ - 2х³ -3. Каждый из них отобразил результаты исследования в таблице. Но график функции каждым из учеников был построен по-разному. Какой из построенных графиков является правильно построенным? Почему?(-∞; -2)

-2

(-2; 0)

0

(0; 2)

2

(2; +∞)

f' (x)

+

0

-

0

+

0

-

f(x)

-7

-3

-7

min

max

min

рис.1 рис.2 рис.3 рис.4

Из таблицы видно, что функция определена на всей числовой прямой. Ее производная существует также в каждой точке области определения. А это означает, что в каждой точке к графику функции можно провести касательную. Так как точки х=-2, х=0 и х=2 являются критическими точками и значение производной в этих точках равно 0, то касательные должны быть параллельны оси Ох. На рисунке 1 такую касательную нельзя провести в точке х=0, т.е. в этой точке функция не дифференцируема. Соответственно на рисунке 2 функция не имеет производную в точках х=2 и х=-2, а на рисунке 3 - во всех трех точках. Ответ - рис. 4 является верным.

Таким образом, мы с вами вспомнили, в чем состоит геометрический смысл производной.

C помощью аппарата производной можно исследовать функции на монотонность, экстремумы,

точки максимума и минимума. Предлагаю вам выполнить следующие задачи.

Задача №3.

Докажите, что функция f(x)= является возрастающей на всей области определения.

Решение.

f(x)=

D(f) = R

f'(x)= х² +1

Так как выражение х² +1 >0 при любом х из R, то f'(x)>0 на D(f). В силу достаточного признака возрастания функция f(x)= является возрастающей на всей числовой прямой.

Задача №4.

Найдите точки минимума функции f(x)= 3х⁴ - 6х² +5.

Решение.

f(x)= 3х⁴ - 6х² +5.

D(f) = R

f'(x)= 12х³ - 12х = 12x(x² - 1) = 12x(x-1)(x+1)

x=0, х=-1, х=1 - критические точки функции.

Таким образом, х = -1 и х=1 - точки минимума функции.

4. Домашнее задание.

Дома исследуйте данную функцию на монотонность, экстремумы, заполните таблицу и постройте схематично график этой функции.

4. Итог урока.

В заключение урока мы проведем небольшую самостоятельную, которая позволит выяснить, насколько прочно вы усвоили материал по изученной теме. На отдельном листе бумаги напишите свою фамилию, имя и номер варианта. Все внимание на доску. Вам будет предложено 4 задания по изученной теме.

1. Тело движется по прямой по закону S(t) = (S(t) = ). Найдите скорость тела через 4 секунды после начала движения. (S(t) - расстояние в метрах; t - время движения в секундах).

2. Функция определена на промежутке (- 3; 7). График ее производной изображен на рисунке. Укажите промежутки возрастания функции. (Укажите точки экстремума функции)

3. Определите, острым или тупым будет угол наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой х₀ = -1

у=3х² - 4х (у = 5х-х²)

Заключительное слово учителя о практическом приложении производной.

Приложения производной имеют очень большое практическое значение.

Многие, в том числе базовые законы теории производства и потребления, спроса и предложения в экономике оказываются прямыми следствиями математических теорем. Спрос-это зависимость между ценой единицы товара и количеством товара, которое потребители готовы купить при каждой возможной цене, за определенный период времени и при прочих равных условиях. Зависимость спроса от цены описывается функцией, которая исследуется с помощью производной. Любой индивид свой доход после уплаты налогов использует на потребление и сбережение. Ясно, что лица с низким доходом, как правило, целиком используют его на потребление, так что размер сбережения минимален. С ростом дохода субъект не только больше потребляет, но и больше сберегает. Зависимость потребления индивида от дохода называется функцией склонности к потреблению или функцией потребления. Использование производной позволяет определить такую категорию, как предельную склонность к потреблению, показывающую долю прироста личного потребления в приросте дохода.

Приведем только несколько примеров задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, в которых явно не указывается на использование функции и ее производной, и вы поймете, как велика практическая роль производной.

Задача 1. Строители решили пристроить к стене школы физкультурный зал прямоугольной формы. Оказалось, что кирпича у них хватит только на 100 м стены (по периметру трёх новых стен). Зал должен быть как можно большей площади. Что вы посоветуете строителям? Какие размеры пристройки выбрать?

Задача 2. Сварщики получили задание из металлического стержня длиной а, необходимо согнуть скобу прямоугольной формы и приварить её к металлической балке. Как выбрать на стержне точки сгиба, чтобы площадь образовавшегося прямоугольника была наибольшей?

Задача 3. На какой высоте нужно повесить фонарь в центре площади, чтобы осветить как можно сильнее края площади?

Задача 4. Для монтажа оборудования необходима подставка объемом 1296 дм³ форме прямоугольного параллелепипеда. Квадратное основание подставки будет вмонтировано в пол, а ее задняя стенка - в стену цеха. Для соединения подставки по ребрам, не вмонтированным в пол или стену, используется сварка. Определите размеры подставки, при которых общая длина сварочного шва будет наименьшей.

Решением одной из таких задач мы займемся с вами на следующем уроке.