Конспект урока по геометрии на тему Прямоугольный треугольник. Решение одной задачи.

Открытый урок по геометрии в 7 классе

Прямоугольный треугольник. Решение одной задачи.

Учитель: Богданов А. И.

г.Санкт-Петербург

2013-2014 уч.год

Тема урока: «Прямоугольный треугольник. Решение одной задачи».

Цель урока:

- поучить учащихся доказывать предложения различными способами;

- способствовать развитию логического мышления и речи, внимания и памяти;

содействовать воспитанию интереса к предмету, активности, умения общаться.

Тип урока: урок закрепления знаний с помощью решения задачи разными способами.

Методы обучения: частично-поисковый (эвристический).

Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная, групповая.

Оборудование и источники информации: мультимедийный проектор (аргументы доказательств и суждения для каждой из трех задач), у учащихся на партах листы учета знаний.

Ход урока

1. Организационный момент.

Сегодня вам будет представлена прекрасная возможность испытать свои способности при решении задачи на доказательство разными способами: «Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный».

2. Актуализация знаний.

Сейчас повторим некоторые основные вопросы, необходимые при решении задачи. (Отвечают устно, а вопросы высвечиваются на доске).

1.Какой треугольник называется прямоугольным?

(Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным).

2. Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника?

(Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90⁰).

3. Что такое внешний угол треугольника?

(Внешним углом треугольника называется угол смежный с каким-нибудь углом этого треугольника).

4. Чему равен внешний угол треугольника?

(Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним).

5. Чему равен угол МВС на рис.1?

(Угол МВС = углу А+угол С=30⁰+50⁰=80⁰).

6. Какой треугольник называется равнобедренным?

(Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны).

7. На рис.2 назовите боковые стороны и основание треугольника.

(АВ и СВ боковые стороны, АС - основание).

8. Каким свойством обладают углы равнобедренного треугольника?

(В равнобедренном треугольнике углы при основании равны).

9. Назовите равные углы на рис.2.

(угол А и угол С - углы при основании АС, угол А = углу С).

10. Что можно сказать об общей стороне двух равных смежных углов? Рис.3

(Если два смежных угла равны, то общая их сторона перпендикулярна к прямой, на которой лежат две другие стороны).

11. Какой отрезок называется медианой треугольника, проведенной из данной вершины?

(Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника).

Фронтальная работа окончена. Ученики выставляют за правильные ответы по 2 балла.

В качестве домашней работы три группы учащихся получали задания:

Используя данные суждения в качестве аргументов, доказать предложение: «Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный».

На доске высвечиваются аргументы доказательств.

1 группа:

В качестве аргументов доказательства использовать два суждения:

1. Сумма углов треугольника равна 180⁰.

2. Углы при основании равнобедренного треугольника равны между собой.

2 группа:

В качестве аргументов доказательства использовать три суждения:

1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны между собой.

2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

3. Сумма двух смежных углов равна 180⁰.

3 группа:

В качестве аргументов доказательства принять следующие суждения:

1. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов не смежных с ним.

2. Углы при основании равнобедренного треугольника равны между собой.

3. Если два смежных угла равны, то общая их сторона перпендикулярна к прямой, на которой лежат две другие стороны.

Представитель первой группы решает задачу у доски. На доске остаются аргументы доказательства первой группы.

Дано: треугольник АВС,

ВД - медиана,

ВД = 1 АС

2

Доказать: треугольник АВС прямоугольный.

Решение.

Побуждающий диалог, подводящий к цели.

1. Треугольник АДВ и треугольник ВДС равнобедренные.

1. Назовите виды треугольников, изображенных на рисунке.

2. Угол А=углу 1, угол С=углу2 (1)(как углы при основании равнобедренных треугольников).

2. Что можно сказать об углах данных треугольников?

- Использовали одно из утверждений, данных в качестве аргумента.

Ученику, решающему у доски, помогают ребята его группы.

3. угол А+угол В+угол С=180⁰. (2)

3. Чему равна сумма углов треугольника АВС?

4. угол В = угол 1+ угол 2. (3)

4. Чему равен угол В треугольника АВС?

5. Заменим в равенстве (2) уголА=углу1, уголС=углу2, уголВ=углу1+угол2,

угол1+ (угол1+угол2)+угол2=180⁰,

2*угол1+2*угол2=180⁰,

2 (угол1+угол2)=180⁰,

угол1+угол2=180⁰:2,

угол1+угол2=90⁰, а т.к.

угол В=угол1+угол2, то угол В= 90⁰.

5. Какие замены углов можно произвести в равенстве (2), используя равенств (1) и (3)?

6. Треугольник АВС - прямоугольный

6. Какими аргументами мы пользовались при доказательстве?

На доске высвечиваются аргументы доказательства 2 группы.

Другая группа учащихся в качестве аргументов доказательства использовала три суждения. Какие? (Повторяем).

Дано: треугольник АВС, ВД - медиана,

ВД= 1 АС.

2

Доказать: треугольник АВС прямоугольный.

Решение.

Побуждающий диалог,

подводящий к цели.

1. Треугольник АДВ и треугольник ВДС - равнобедренные, уголА=углу1, уголС=углу2, уголВ=углу2, т.е. первое суждение использовано.

1. Чтобы решить задачу вторым способом, необходимо выполнить чертеж. Кто из второй группы готов это сделать?

2. Так как необходимо использовать второе суждение «Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов не смежных с ним, то угол3=уголА+угол1, угол4=уголС+угол2».

2. Определите вид треугольника АДВ и треугольника ДВС. Чему равен уголВ треугольника АВС?

3. Далее нам необходимо использовать суждение, что «сумма двух смежных углов равна 180⁰, т.е.угол4+угол3=180⁰».

3. Назовите внешний угол треугольника АДВ и внешний угол ВСД, обозначив их цифрами 3 и 4 соответственно. Что можно сказать об этих углах?

4. Заменим угол3=уголА+угол1, угол4=уголС+угол2, получим уголС+угол2+уголА+угол1=180⁰, заменим уголА=углом1, уголС=углом2, тогда угол2+угол2+угол1+угол1=180⁰;

2*(угол2+угол1)=180⁰;

угол2+угол1=180⁰:2,

угол2+угол1=90⁰, отсюда уголВ=угол1+угол2=90⁰, уголВ=90⁰, т.е. треугольник АВС - прямоугольный.

4. После окончания решения повторяем суждения, которые применяли при доказательстве.

Третья группа учащихся в качестве аргументов доказательства должна была воспользоваться следующими суждениями… (повторяем их). Кто готов пойти к доске?

Дано: треугольник АВС, ВД - медиана,

ВД= 1 АС.

2

Доказать: треугольник прямоугольный.

Решение.

Побуждающий диалог,

подводящий к цели.

1. Внешний угол построим при вершине В и обозначим его угол FВС.

1. При какой вершине нужно построить внешний угол? Как обозначим этот угол?

2.уголFВС=уголА+уголС (1). Мы использовали суждение первое.

2. Чему равен уголFВС?

3. Треугольник АДВ и треугольник ВДС равнобедренные

уголА=углу1, уголС=углу2.

Теперь мы использовали суждение второе.

3. Что можно сказать о треугольнике АДВ и треугольнике ВДС?

4. Заменим в (1) уголА=углу1, уголС=углу2, уголFВС=уголА+уголС=угол1+угол2. (2)

4. Чему равен уголВ в треугольнике АВС?

5.уголВ=угол1+угол2 (3)

-

6. Из (2) и (3) следует, что уголFВС=углуВ.

Углы FВС и уголВ являются равными и смежными.

5. Какими углами являются уголFВС и уголВ?

7. Если два смежных угла равны, то общая их сторона перпендикулярна к прямой, на которой лежат две другие стороны.

ВС - их общая сторона, ВС АF, ВС АВ и, следовательно, угол АВС=90⁰.

Треугольник АВС - прямоугольный.

6. Как звучит суждение третье?

8.Мы нашли три решения.

7. Сколько решений одной задачи мы сегодня нашли?

9. В первом опирались на два суждения (повторяем); во втором - на три, из них два такие же, как в первом; в третьем использовали три суждения, из них третье - отличное от двух первых.

8. В чем различие этих способов?

10. Научились решать одну и ту же задачу разными способами.

9. Что нового узнали вы сегодня на уроке? Чему научились?

III.Подведение итогов работы:

- как работал класс,

- кто из ребят особенно хорошо решал,

- в своих оценочных листах за ответы с места ставим один балл. А затем подводим итоги. Тем кто решал у доски отметки «5».

Информация о домашнем задании: пар.3, п.34, п.35 повторить, в.7-15 стр.90, попытаться найти еще одно (а может и больше) решение данной задачи.