Конспект урока (подготовка к ОГЭ)

Тема урока: Графики функций, содержащих выражения под знаком модуля.

Цель урока: получение более широких знаний о модуле числа, различных способах решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины.

Задачи урока: использование различных методов исследования: теоретический и практический, расширение познавательного интереса к изучению алгебры, углубление знаний по теории модуля, выходящих за пределы школьных учебников.

Оборудование: мультимедийное оборудование, компьютер, классная доска.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Вступительное слово учителя.

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово , которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в физике, технике, программировании и других точных науках.

Например: В технике - это термин служит для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости.

+В физике - это модуль объемного сжатия, отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

3. Повторение

Вернемся к математике, и вспомним, что называется модулем числа.

Модулем числа а называют расстояние от начала координат до точки А(а).

Модуль некоторого числа а обозначается |а|

Например: если а=-3,то │-3│=АО = 3

Геометрический смысл модуля удобно использовать при решении некоторых уравнений.

Решим уравнение |х-6| = 9. Если число 6 мы изобразим точкой А (рис), то по определению модуля следует, что точка х стоит от точки А на 9 единиц. Но на числовой прямой таких точек две. Одна имеет координату х = 6 + 9 = 15, а вторая имеет координату х = 6-9 = -3.

Следовательно, данное уравнение имеет два решения: х = 15 и х = -3.

Объяснение нового материала.

При решении уравнений, содержащих несколько выражений со знаком модуля, удобнее пользоваться алгебраическим определением модуля числа:

Определение. Модулем или, иначе, абсолютной величиной отрицательного числа называется противоположное ему положительное число, модулем положительного числа и числа «нуль» называется само это число.

Кратко это определение можно записать так:

По определению получается, что решая уравнение содержащие выражение под знаком модуля, мы должны записать это уравнение без знака модуля, но рассмотреть при этом два случая: первый выражение неотрицательное, а второй выражение положительное.

Например: решить уравнение |х-6| = 9

Получается, что для уравнений, содержащих два выражения под знаком модуля, получается четыре комбинации, а для уравнений, содержащих три выражения со знаком модуля, получается восемь комбинаций, а потом обязательно проверить, какие из найденных значений х удовлетворяют данному уравнению. Согласитесь это неудобно, но можно упростить решение таких уравнений.

Пример. Решим уравнение |2х-12|+|6х+48|=160.

Решение. Найдем корни (нули) каждого выражения, содержащего знак модуля:

2х-12=0, х=6; 6х+48=0, х= -8.

Нанесём найденные корни на числовую прямую.

Найденные значения х разбивают числовую прямую на три промежутка:

х<-8, -8≤ х <6, х≥6 (рисунок ).

Решение этого уравнения рассматривается в каждом промежутке отдельно.

В промежутке х<-8 оба выражения, стоящие под знаком модуля, отрицательны. Поэтому в этом промежутке при записи уравнения без знаков модуля знаки этих выражений меняем на противоположные. Получим уравнение -(2х-12) -(6х+48)=160.

-2х+12-6х-48=160

-8х-36=160

-8х=196

х=-24,5

Проверяем это значение принадлежит ли оно рассматриваемому промежутку. Значит, оно является решением данного уравнения.

Во втором промежутке -8≤х<6 первое выражение отрицательно, а второе положительно. Следовательно, в этом промежутке уравнение запишется так:

-(2х-12)+(6х+48)=160.

-2х-12+6х+48=160

4х+60=160

4х=100

х=25 , проверяем не принадлежит промежутку.

В третьем промежутке х≥6 оба выражения положительны. Следовательно, в этом промежутке уравнение запишется так:

(2х-12)+(6х+48)=160.

2х-12+6х+48=160

8х+36=160

8х=124

х=15,5, проверяем, принадлежит.

Значит, решением данного уравнения будут значения х =-24,5 и х=15,5

Для построения графиков функций, содержащих выражения под знаком модуля, как и при решении уравнений, сначала находят корни выражений, стоящих под знаком модуля. Эти корни разбивают числовую прямую на промежутки. График строят в каждом промежутке отдельно.

В простейшем случае, когда только одно выражение стоит под знаком модуля и нет слагаемых без знака модуля, можно построить график функции, опустив знак модуля, и затем часть графика, расположенную в области отрицательных значений у, отобразить симметрично относительно оси Ох. Это вытекает из определения модуля числа.(например. Построить график функции у=|0,5х|.

Решение. Строим график функции у=0,5х и часть графика, расположенную ниже Ох, отображаем симметрично относительно Ох.

А теперь построим график функции у=|2х-4|+|6+3х|.

1.)Находим корни каждого выражения, стоявшего под знаком модуля:

2х - 4 = 0; х=2; 6 + 3х = 0, х = -2.

В результате ось Ох разбиваем на три промежутка. В каждом промежутке выражение, стоящее перед знаком модуля, имеет определенный знак. Опускаем знаки модуля, берём выражение в каждом промежутке с соответствующим знаком:

1. х<-2, у = -(2х-4)-(6+3х)=-5х-2;

2. -2≤ х < 2, у= -( 2х-4)+(6+3х)=х+10;

3. х≥ 2, у = 2х-4+6+3х = 5х+2

Получили в каждом промежутке выражение функции без знака модуля. Строим график функции в промежутке. При правильном построении в области определения график должен представлять непрерывную линию (рис).

5. Итог урока.

Построить функцию у=|х+1|-|х-1|-х.

6. Домашнее задание.

1)Решить уравнение:

а)│2Х - 5│ = 39

б)│56 - 8Х│+ │36Х + 144│ = 356

2)Построить график функции:

а) у = │3х + 1│

б) у = │х + 1│- │х - 1│ - х

Литература.

1. Детская энциклопедия. М., «Педагогика», 1990.

2. Дынкин Е.Б., Молчанова С.А. Математические задачи. М., «Наука», 1993.

3. Петраков И.С. Математика для любознательных. М., «Просвещение», 2000.

4. Талочкин П.Б. Неравенства и уравнения. М., «Просвещение», 1989.

Домашнее задание.

1)Решить уравнение:

а)│2Х - 5│ = 39

б)│56 - 8Х│+ │36Х + 144│ = 356

2)Построить график функции:

а) у = │3х + 1│

б) у = │х + 1│- │х - 1│ - х

Домашнее задание.

1)Решить уравнение:

а)│2Х - 5│ = 39

б)│56 - 8Х│+ │36Х + 144│ = 356

2)Построить график функции:

а) у = │3х + 1│

б) у = │х + 1│- │х - 1│ - х

Домашнее задание.

1)Решить уравнение:

а)│2Х - 5│ = 39

б)│56 - 8Х│+ │36Х + 144│ = 356

2)Построить график функции:

а) у = │3х + 1│

б) у = │х + 1│- │х - 1│ - х

Домашнее задание.

1)Решить уравнение:

а)│2Х - 5│ = 39

б)│56 - 8Х│+ │36Х + 144│ = 356

2)Построить график функции:

а) у = │3х + 1│

б) у = │х + 1│- │х - 1│ - х

Домашнее задание.

1)Решить уравнение:

а)│2Х - 5│ = 39

б)│56 - 8Х│+ │36Х + 144│ = 356

2)Построить график функции:

а) у = │3х + 1│

б) у = │х + 1│- │х - 1│ - х

Домашнее задание.

1)Решить уравнение:

а)│2Х - 5│ = 39

б)│56 - 8Х│+ │36Х + 144│ = 356

2)Построить график функции:

а) у = │3х + 1│

б) у = │х + 1│- │х - 1│ - х

Домашнее задание.

1)Решить уравнение:

а)│2Х - 5│ = 39

б)│56 - 8Х│+ │36Х + 144│ = 356

2)Построить график функции:

а) у = │3х + 1│

б) у = │х + 1│- │х - 1│ - х

Домашнее задание.

1)Решить уравнение:

а)│2Х - 5│ = 39

б)│56 - 8Х│+ │36Х + 144│ = 356

2)Построить график функции:

а) у = │3х + 1│

б) у = │х + 1│- │х - 1│ - х