Методическое пособие для подготовки к ОГЭ по теме: «Степени с целым показателем, квадратные корни и алгебраические выражения».

Методическое пособие для подготовки к ОГЭ по теме: «Степени с целым показателем, квадратные корни и алгебраические выражения».

Данное задание проверяет умение выполнять основные действия со степенями с целыми показателями, с многочленами и алгебраическими дробями; выполнять разложение многочленов на множители; выполнять тождественные преобразования рациональных выражений и применять свойства арифметических квадратных корней для преобразования числовых выражений, содержащих квадратные корни.

Справочные материалы.

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа называется неотрицательное число, квадрат которого равен и обозначается . Число называется подкоренным числом.

Свойства квадратных корней (для а≥0, b≥0).

Например:

2.

Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

,

b>0

Например:

3.

При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

Например:

Степенью называют выражение , - основание степени, - показатель степени.

раз

Степень с нулевым показателем.

Если , то

Например:

Степень с отрицательным показателем.

Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине отрицательного показателя.

Если и натуральное число, то

Например: =

Степень с дробным показателем.

Для того, чтобы возвести действительное число в степень нужно извлечь корень - ой степени из m-ой степени этого числа .

Если - натуральные числа, , то

Например: = = = 8.

Свойства степеней с рациональным показателем.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются

=

Например:

2.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются

Например:

3.

Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей

=

Например:

4.

Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя)

( =

Например:

5.

При возведении степени в степень их показатели перемножаются

) =

Например:

Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

Формулы сокращённого умножения.Формула разности квадратов

- = ( - b)

Формула квадрата разности

= - 2 +

Формула квадрата суммы

= + 2 +

Формула разности кубов

- = ( + )

Формула суммы кубов

= ( - )

Стандартный вид положительного действительного числа.

Любое положительное число можно представить в виде , где , а - целое число. Говорят, что число записано в стандартном виде, показатель называют порядком числа. Например: Пусть , тогда в стандартном виде .

Сравнение чисел, записанных в стандартном виде, выполняется так:

1. Сравнить степени десятки. Наибольшим будет то число, у которого эта степень больше;

2. Если степени одинаковые, начинаем сравнивать значащие цифры - как в обычных десятичных дробях. Сравнение идет слева направо, от старшего разряда к младшему. Наибольшим будет то число, в котором очередной разряд окажется больше;

3. Если степени десятки равны, а все разряды совпадают, то сами дроби тоже равны.

Разумеется, все это верно только для положительных чисел. Для отрицательных чисел все знаки меняются на противоположные.

Примеры заданий с решениями.

№1. Найдите значение выражения .

1)

2) -5

3)

4) 5.

Решение.

Применяем свойства степеней

Ответ: 3.

№2. Какое из данных чисел ; является рациональным?

1)

2)

3)

4) ни одно из этих чисел.

Решение.

По определению рациональные числа - это числа, которые могут быть представлены в виде дроби () где - целое число, а - натуральное число.

Вывод: число иррациональное

, где 9- целое число, 10- натуральное число,

Вывод: число рациональное

Ответ: 3.

№3. Какое из данных чисел является иррациональным?

1)

2)

3)

4) ни одно из этих чисел.

Решение.

По определению рациональные числа - это числа, которые могут быть представлены в виде дроби () где - целое число, а - натуральное число.можно представить в виде дроби , где 6 - целое число, 1 - натуральное число.

Вывод: число рациональное

, где 6- целое число, 10- натуральное число.

Вывод: число рациональное

Ответ: 1.

№4. Значения какого из выражений является числом рациональным?

1)

2)

3)

4) .

Решение.

По определению рациональные числа - это числа, которые могут быть представлены в виде дроби () где - целое число, а - натуральное число.

Корень не извлекается, значит представить в виде дроби ( где - целое число, а - натуральное число) невозможно.

Вывод: число иррациональное

. Можно представить в виде дроби -5 , где - целое число, 1 - натуральное число.

Вывод: число рациональное

Корень не извлекается, значит представить в виде дроби ( где - целое число, а - натуральное число) невозможно.

Вывод: число иррациональное

Корень не извлекается, значит представить в виде дроби ( где - целое число, а - натуральное число) невозможно.

Вывод: число иррациональное

Ответ: 2.

№5. Какое из следующих чисел является наименьшим?

1)

2)

3)

4) .

Решение.

Числа положительные и записаны в стандартном виде. Сравним степени десятки: значит наименьшим будет то из чисел, у которого значащая часть меньше : ;

значит .

№6. Значения какого из следующих выражений является наибольшим?

1)

2) 6,5

3)

4)

Решение.

Из положительных чисел наибольшим будет то число, квадрат которого больше.

Возведём в квадрат каждое число:

Так как , то .

Значит . Наибольшим является .

Ответ: 1.

№7. Найдите значение выражения

1)

2) 22

3)

4) .

Решение.

Применяем формулу квадрата суммы = + 2 + .

.

Ответ: 3.

№8. Найдите значение выражения .

1) 720

2)

3)

4) .

Решение.

Подкоренное выражение разложим на множители и извлечём корень из произведения

.

Ответ: 3.

№9. Найдите значение выражения

1) 40

2) 8

3)

4) .

Решение.

Подкоренное выражение числителя разложим на множители и извлечём корень из произведения

.

Ответ: 2.

№10. Найдите значение выражения

1) 576

2) 384

3) 24

4) 96.

Решение.

.

Ответ: 4.

№11. Найдите значение выражения .

1)

2)

3)

4) .

Решение.

Разложим на множители подкоренные выражения:

Применяем свойства корней.

Ответ. 4.

№12. Найдите значение выражения

1) 1452

2) 132

3) 1584

4)

Решение.

Применяем свойства корней.

Ответ: 2.

№13. Найдите значение выражения .

1) 0,0102

2) 0,00102

3) 102000

4) 0,000102.

Решение.

Перепишем выражение и сгруппируем сомножители:

Ответ: 2.

№14. Расположите в порядке возрастания числа .

1) , 7,

2) , , 7

3) 7, ,

4) , , 7.

Решение.

Возведём в квадрат каждое число:

Так как , то .

Значит

Ответ: 4.

Задания для самостоятельного решения.

1. Найдите значение выражения .

1) -3

2) 3

3)

4) − 

2. Найдите значение выражения .

1)

2)

3) -64

4) 64.

3. Значение какого из выражений является числом рациональным?

1)

2)

3)

4) .

4. Значения какого из выражений является числом иррациональным?

1)

2)

3)

4) .

5. Значения какого из выражений является числом иррациональным?

1) )

2)

3)

4) .

6. Какое из следующих чисел является наименьшим?

1)

2)

3) 7

4) 5.

7. Какое из следующих чисел является наибольшим?

1) 3

2) 2

3) 9

4) 9.

8. Значения какого из следующих выражений является наибольшим?

1) 13,5

2)

3) 6

4)

9. Значения какого из следующих выражений является наибольшим?

1)

2)

3)

4) .

10. Найдите значение выражения

1) 70

2)

3) 102

4) 70 .

11. Найдите значение выражения

1)

2) 38

3)

4) .

12. Найдите значение выражения .

1)

2) 30

3) 15

4) 15.

13. Найдите значение выражения .

1)

2) 5

3) 5

4) 100.

14. Найдите значение выражения

1) 2

2)

3) 2

4) 16.

15. Найдите значение выражения

1) 5

2)

3) 5

4) 40.

16. Найдите значение выражения 8

1) 24

2) 96

3) 384

4) 576.

17. Найдите значение выражения 8

1) 576

2) 24

3) 96

4) 384.

18. Найдите значение выражения .

1) 3

2) 6

3) 3

4) 3.

19. Найдите значение выражения .

1) 60

2) 12

3)

4) 12.

20. Найдите значение выражения

1)

2) 600

3) 120

4) 2880

21. Найдите значение выражения

1) 2268

2) 882

3)

4)

22. Найдите значение выражения .

1) 0,00369

2) 0,000369

3) 0,0369

4) 369000.

</

23. Найдите значение выражения .

1) 0,00000116

2) 0,000116

3) 11600000000

4) 0,0000116.

24. Расположите в порядке возрастания числа .

1) 2, 4, 3

2) 3, 4, 2

3) 2, 3, 4

4) 4, 2, 3.

25. Расположите в порядке убывания числа .

1) 4, 7,

2) , , 7

3) , , 7

4) ), 7, .