Проектно-исследовательская деятельность на уроках математики.

Захарова

Марина Юрьевна.

Мир невозможных фигур.

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ_______________________________________________________2

1.Сведения из истории.

1.1. Невозможные фигуры в искусстве.______________________________4

1.2. Невозможный треугольник и невозможная лестница Оскара Рейтерсвэрда.____________________________________________________5

1.3. Невозможный треугольник и невозможная лестница Пенроуза.______5

1.4. Невозможный треугольник и невозможная лестница в творчестве Маурица К. Эшера._______________________________________________6

1.5. Невозможный трезубец.________________________________________6

2. Невозможные фигуры в реальном мире._______________________________8

3. Невозможные фигуры из бумаги._____________________________________8

4. Программы Impossible Puzzle и Impossible Constructor.___________________9

5. Заключение._______________________________________________________9

6. Литература._______________________________________________________10

Приложение 1: Презентация.

Приложение 2: Атлас невозможных фигур.

Введение

Данная работа посвящена изучению невозможных объектов, систематизации знаний о них. Она может быть полезна тем, кто увлекается геометрией, в частности стереометрией.

Стереометрия - это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. При изображении объемных тел на тетрадном листе принято невидимые элементы обозначать пунктирными линиями.

Так выглядят пирамида и куб.( слайд 3)

Нарушим немного это правило. Получили что-то непонятное.(слайд 3)

Существует большой класс изображений, про которые можно сказать: "Что видим? Нечто странное". Это и рисунки с искаженной перспективой, и невозможные в нашем трехмерном мире объекты, и немыслимые сочетания вполне реальных предметов. Появившись в начале XI века, такие "странные" рисунки и фотографии сегодня стали целым направлением математического искусства, именуемого имп-артом. (слайд 4)

Объект исследования: несуществующие фигуры.

Предмет исследования: свойства несуществующих объектов, возможность их существования и составления.

Цели исследования:

1.Выяснить, как получаются несуществующие объекты.

2.Построить невозможные объекты в программах Impossible Puzzle и Impossible Constructor.

Задачи исследования:

1.Изучить искажение перспективы в картинах известных художников.

2.Определить области существования невозможных фигур.

3.Составить атлас невозможных фигур.

4.Научиться строить невозможные фигуры с помощью программ Impossible Constructor и Impossible Puzzle.

Методы исследования: изучение литературы по теме, практическая работа.

Ожидаемый результат: самостоятельное составление несуществующих объектов.

1. Сведения из истории невозможных объектов.

1.1. Невозможные фигуры в искусстве.

На протяжении всей истории люди сталкивались с оптическими иллюзиями того или иного рода. Достаточно вспомнить мираж в пустыне, иллюзии создаваемые светом и тенью, а также относительным движением. Широко известен следующий пример: луна, поднимающаяся из-за горизонта, кажется гораздо больше, чем высоко в небе. Все это - лишь несколько любопытных явлений, которые встречаются в природе. Когда эти явления, обманывающие зрение и ум, были впервые замечены, они стали волновать воображения людей.

С давних времен оптические иллюзии использовались, чтобы усилить воздействие произведений искусства или улучшить внешний вид архитектурных творений. Древние греки прибегали к оптическим иллюзиям, чтобы довести до совершенства внешний вид своих великих храмов. В эпоху Средневековья смещенную перспективу иногда использовали в живописи. Позднее многие другие иллюзии использовались в графике. Среди них единственный в своем роде и относительно новый вид оптической иллюзии известен как "невозможные объекты".

Невозможная фигура - это выполненный на бумаге трехмерный объект, который не может существовать в действительности, но который, однако, можно видеть как двухмерное изображение» из книги Оскара Рейтесвэрда "Невозможные фигуры". (слайд 6)

Намеренное использование невозможных объектов в дизайне встречалось еще в древние времена до появления классической перспективы. Художники пытались найти новые решения. Примером может служить датируемое XV веком изображение Благовещения на фреске собора Св. Марии в голландском городе Бреда. На картине изображен архангел Гавриил, приносящий Марии весть о ее будущем Сыне. Фреска обрамлена двумя арками, поддерживаемыми, в свою очередь тремя колоннами. Однако следует обратить внимание на среднюю колонну. В отличие от других, она исчезает на заднем плане за плитой. С практической точки зрения, художник использовал эту "невозможность" как особую технику, позволяющую избежать разделения сцены на две половины. (слайд 7)

Изображения невозможных фигур встречаются у ряда живописцев Средних веков. На полотне Питера Брейгеля «Сорока на виселице», созданном в 1568 году, видна виселица невозможной конструкции, которая придает эффект всей картине в целом.(слайд 8)

В начале XX века художник Марсель Дюшамп нарисовал рекламную картину «Apolinere enameled» (1916-1917), хранящуюся в Филадельфийском музее искусства. В конструкции кровати на полотне можно разглядеть невозможные трех- и четырехугольники . (слайд 9)

1.2. Невозможный треугольник и невозможная лестница Оскара Рейтерсвэрда.

Первым построившим и проанализировавшим невозможные объекты по праву считается шведский художник Оскар Рейтерсвэрд (Oscar Reutersvard), нарисовавший в 1934 г. первый невозможный треугольник, состоявший из девяти кубиков. Затем он усовершенствовал свою модель и получил фигуру, состоящую из двенадцати кубиков. Все кубики реальные, но их расположение в трехмерном пространстве невозможно.(слайд 10)

Этот же художник создал и прототип «невозможной лестницы» (1950). Перед нами предстает лестница, ведущая, казалось бы, вверх или вниз, но при этом человек, шагающий по ней, не поднимается и не опускается. Завершив свой визуальный маршрут, он окажется в начале пути. Если бы вам в самом деле пришлось пройти по этой лестнице, вы бы бесцельно поднимались и спускались по ней бесконечное число раз. Можно назвать это нескончаемым сизифовым трудом! (слайд 11)

1.3. Невозможный треугольник и невозможная лестница Пенроуза.

В 1954 году Роджер и Лайонел Пенроузы опубликовали в Британском журнале психологии статью о двух классических невозможных фигурах - и . В этой статье невозможный треугольник был представлен в его классическом виде - в виде трех соединяющихся под прямым углом балок, изображенных с эффектом перспективы. С тех пор она появлялась в печати чаще, чем какой-либо другой невозможный объект. (слайд 12)

1.4. Невозможный треугольник и невозможная лестница в творчестве Маурица К. Эшера.

"Бесконечной лестницей" с успехом воспользовался художник Мауриц К. Эшер, на этот раз в своей чарующей литографии "Восхождение и нисхождение", созданной в 1960 году. В этом рисунке, отражающем все возможности фигуры Пенроуза, вполне узнаваемая "Бесконечная лестница" аккуратно вписана в крышу монастыря. Монахи в капюшонах непрерывно движутся по лестнице в направлении по часовой стрелке и против нее. Они идут навстречу друг другу по невозможному пути. Им так и не удается ни подняться наверх, ни спуститься вниз. Соответственно, "Бесконечная лестница" стала чаще ассоциироваться с Эшером, перерисовавшим ее, чем с Пенроузами, которые ее придумали.На полотне изображены два ряда человечков: при движении по часовой стрелке человечки постоянно поднимаются, а при движении против часовой стрелки спускаются.( слайд 15)

В 1961 году М. К. Эшер (M. C. Escher) под впечатлением невозможного треугольника, нарисованного Пенроузом (Пенроузы отослали копию статьи Эшеру) создал знаменитую литографию "Водопад" ("Waterfall"). (слайд 16)

1.5. Невозможный трезубец.

Среди всех невозможных фигур особое место занимает невозможный трезубец («чертова вилка»). (слайд 17)

Если закрыть рукой верхнюю часть трезубца, то мы увидим вполне реальную картину - три круглых зуба. Если закрыть нижнюю часть трезубца, то мы тоже увидим реальную картину - два прямоугольных зубца. Но, если рассматривать всю фигуру целиком, то получается, что три круглых зубца постепенно превращаются в два прямоугольных.

Таким образом, можно увидеть, что передний и задний планы данного рисунка конфликтуют. То есть, то что было изначально на переднем плане уходит назад, а задний план (средний зуб) вылезает вперед. Кроме смены переднего и заднего планов в данном рисунке присутствует еще один эффект - плоские грани верхней части трезубца становятся круглыми в нижней.

Эффект невозможности достигается за счет того, что наш мозг анализирует контур фигуры и пытается подсчитать количество зубцов. Мозг сравнивает количество зубцов фигуры в верхней и нижней части рисунка, из-за возникает ощущение невозможности фигуры. Если количество зубцов у фигуры было значительно больше (например, 7 или 8), то это парадокс был бы менее ярко выражен.

Некоторые книги утверждают, что невозможный трезубец принадлежит к классу невозможных фигур, которые не могут быть воссозданы в реальном мире. На самом деле это не так. ВСЕ невозможные фигуры можно увидеть в реальном мире, но невозможными они будут выглядеть только с одной единственной точки зрения.

Никто не знает, кто первым придумал эту фигуру, потому что она появилась практически одновременно в различных изданиях в середине 60-х годов прошлого века. Наиболее известная иллюстрация была напечатана на обложке журнала "MAD" в марте 1965 года. ( слайд 18)

Многие художники использовали невозможный трезубец в своем творчестве. Японский художник Шигео Фукуда (Shigeo Fukuda) в 1985 нарисовал невозможную колоннаду.(слайд 19)

Психолог из Стенфорда Роджер Шепард (Roger Shepard) использовал идею трезубца для своей картины невозможного слона.(слайд 20)

2.Невозможные фигуры в реальном мире.

Многие люди думают, что невозможные фигуры действительно невозможны, и их нельзя увидеть в реальном мире. На самом деле их можно увидеть в реальности. Надо помнить, что любой рисунок на листе бумаги - это проекция трехмерной фигуры. Следовательно, любая фигура, нарисованная на листе бумаги должна существовать в трехмерном пространстве.
Конечно, ни одну из невозможных фигур нельзя создать, действуя прямолинейно. Например, невозможно взять три одинаковых деревянных бруска и скрепить их так, чтобы они составляли невозможный треугольник. Но можно взять три различных бруска и составить треугольник, представленный на фотографии ниже. В зеркале мы видим реальную фигуру. Получается, что приведенная фигура выглядит невозможным треугольником только с единственной точки зрения. Это касается всех невозможных фигур. (слайд 21)

Треугольник Пенроуза увековечен в виде статуи в Перте (Австралия). Созданный усилиями художника Брайна Мак Кея и архитектора Ахмада Абаса он был воздвигнут в парке Клайзебрук в 1999 году. (слайд 22)

Данный пример является не единственным способом построения невозможного треугольника в реальности. Бельгийский художник Матье Хемакерз (Mathieu Hamaekers) создал скульптуру, представленную на слайде. Фотография слева показывает фронтальный вид фигуры, при котором она выглядит невозможным треугольником, на остальных фотографиях эта скульптура с других точек зрения. (слайд 23)

Вот еще несколько примеров невозможных объектов выполненных из разных материалов. (слайды 24-27)

3. Невозможные фигуры из бумаги.

Сотрудником токийского университета Кокичи Сугихарой (Kokichi Sugihara), работающим в отделении информатики, разработаны конструкции невозможных фигур, которые можно склеить из бумаги. (слайд 28)

В результате работы получится вполне реальная фигура. Невозможные фигуры получаются путем попадания солнечного света на реальный объект в определенный момент времени.

Я тоже решил попробовать сделать невозможные фигуры по готовым разверткам. Вот что у меня получилось. ( слайды 29-34)

4.Программы Impossible Puzzle и Impossible Constructor.

Придумывать невозможные фигуры можно с помощью компьютера.

Влад Алексеев создал две интересные программы для построения невозможных объектов - Impossible Puzzle и Impossible Constructor .

Программа Impossible Puzzle предназначена для создания изображений невозможных фигур из элементарных треугольников путем складывания мозаики.

Программа Impossible Constructor предназначена для конструирования изображений невозможных фигур из кубиков.

Свои фигуры я создал, опираясь на то, что в них пересекаются скрещивающиеся прямые. (слайды 35-37)

5.Заключение.

Я планирую освоить новые алгоритмы создания невозможных фигур. Их описывает в своей статье «Принципы построения иллюзий» Дональд Симанек. Работая, над этой темой я собрал небольшую коллекцию парадоксов, которую надеюсь пополнять, в том числе и своими фигурами. Некоторые из них вы видите на слайдах

Дональд Е. Симанек высказал мнение, что понимание визуальных парадоксов является одним из признаков того вида творческого потенциала, которым обладают лучшие математики, ученые и художники. Многие работы с парадоксальными объектами можно отнести к "интеллектуальным математическим играм".

Если развесить такие рисунки в некоторых учреждениях, где ожидание своей очереди длится очень долго, они могли бы выступить в роли этаких "хронофагов", т.е. пожирателей времени.

Я предлагаю оформить стенд в рекреации школы. Считаю, это будет полезно и интересно учащимся.

Вывод.

Таким образом, можно сказать, что мир невозможных фигур чрезвычайно интересен и многообразен. Изучение невозможных фигур имеет довольно важное значение не только с точки зрения геометрии, но и с точки зрения искусства.

6.Литература:

1. Журнал «Наука и жизнь» 2005, №9

2. Н. Лэнгдон, Ч. Снейт «С математикой в путь» М: «Педагогика», 1987

3. festival@1september.ru

4. http://www.geocities.jp/ikemath/3Drireki.htm

5. http://www.impworld.narod.ru/.

6. http://www.simplex.t.u-tokyo.ac.jp/~sugihara/hobby/hobbye.html

7. http://www.rakov.de/.