Разработка урока (10 класс)

ТЕМА: Множества и операции над ними.

Цели урока:

• образовательные: знакомство с понятием множества, подмножества и элементами множеств; способами задания множеств; видами множеств; знакомство с операциями, выполняемыми над множествами.

• развивающие: развитие познавательного интереса учащихся; развитие интеллектуальной сферы личности, развитие умений сравнивать и обобщать.

• воспитательные: воспитывать аккуратность и внимательность при решении заданий.

Ход урока:

I этап. Сообщение темы, цели, задач урока и мотивация учебной деятельности.

II этап. Ознакомление с новым материалом.

Одним из основных понятий математики является понятие множества, и, как каждое основное понятие, не поддаётся точному определению (например, понятия "точка", "прямая" являются одними из основных понятий геометрии).

«Множество есть многое, мыслимое нами как единое» (Г. Кантор)

Понятие множество связано с таким известным в математике именем как Кантор (Cantor) Георг (1845-1918) - немецкий математик, логик, теолог, создатель теории трансфинитных (бесконечных) множеств, оказавшей определяющее влияние на развитие математических наук на рубеже 19- 20 вв. В семидесятые годы ХIX века немецкий математик Георг Кантор, исследуя тригонометрические ряды и числовые последовательности, встал перед необходимостью сравнить между собой бесконечные совокупности чисел. Для решения возникших при этом проблем Кантор и выдвинул понятие множества. Это понятие, введенное в достаточно узкой области математики для довольно специальных целей, вскоре стало с успехом применяться в других ее областях. Посвященные ему исследования приобрели самостоятельный интерес и выделились в особый раздел математики - теорию множеств.

Теория множеств появилась на свет 7 декабря 1873 года.

Кантора заинтересовал вопрос, каких чисел больше - натуральных или действительных?

В одном из писем адресованных к своему приятелю Рихарду Дедекинду, Кантор писал, что ему удалось доказать посредством множеств, что действительных чисел больше, чем натуральных. День, которым было датировано это письмо, математики считают днем рождения теории множеств.

Множество - одно из основных понятий современной математики, используемое почти во всех её разделах. К сожалению, основному понятию теории - понятию множества - нельзя дать строгого определения. МНОЖЕСТВОМ называется собрание, совокупность объектов, объединенных по какому-нибудь общему признаку, свойству.

Понятие множества поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество точек на прямой (точечное множество) и т. д.. Множества обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита (без индексов или с индексами). Например: B, C, … , X, Y, … ,A₁,B_{1, …}

Математический смысл слова "множество" отличается от того, как оно используется в обычной речи. Так, в обычной речи понятие "множество" связывают с большим числом предметов, в математике же этого не требуется. Здесь могут рассматриваться множества, содержащие один объект, много объектов, несколько объектов или не содержащие ни одного объекта.

Объекты, из которых состоит множество, называются его ЭЛЕМЕНТАМИ. Элементы множества обозначаются строчными (малыми) буквами латинского алфавита. Например: b,c, … , x, y, … , a_1, b₁, … Если элемент х принадлежит множеству М, то записывают х М, если не принадлежит - x M.

Множества можно задать, перечислив все его элементы или указав характеристическое свойство элементов, т.е. такого свойства, которым обладает любой элемент данного множества и не обладает ни один элемент, не принадлежащий ему.

Примеры множеств:

1. множество дней недели;

2. множество планет солнечной системы;

3. множество месяцев;

4. множество знаков зодиака;

5. числовые множества.

Приведите свой пример множества.

С множествами связаны различные парадоксы, самый простой из парадоксов - это "парадокс брадобрея". Появление парадоксов связано с тем, что далеко не всякие конструкции и не всякие множества можно рассматривать.

Одному солдату было приказано брить тех и только тех солдат его взвода, которые сами себя не бреют. Неисполнение приказа в армии, как известно, тягчайшее преступление.

Однако возник вопрос, брить ли этому солдату самого себя. Если он побреется, то его следует отнести к множеству солдат, которые сами себя бреют, а таких брить он не имеет права. Если же он себя брить не будет, то попадёт во множество солдат, которые сами себя не бреют, а таких солдат согласно приказу он обязан брить. Бриться или не бриться - вот в чём вопрос!

Два множества А и В называются равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А.

Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то множество А называется подмножеством В. Обозначение: А Ì В.

Знак « Ì » - знак включения.

Рассмотрим некоторые операции над множествами.

Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее их всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно.

Символически пересечение множеств А и В обозначается так: АВ, где символ  - знак пересечения множеств. Используя характеристическое свойство, определение можно записать следующим образом:

Р = А  В= {x xA и xB}.

Объединением двух множеств А и В называется такое множество С, которое состоит из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.

Символически объединение двух множеств А и В обозначается так:

А  В, где  - символ объединения множеств. Определение можно записать с помощью характеристического свойства:

С = А  В={x xA или xB}.

III этап. Динамическая пауза с просмотром видеоролика «множество звёзд на небе»

IV этап. Первичное осмысление и закрепление связей и отношений в объектах изучения.

1. Приведите примеры множества, элементами которого являются: а) животные; б) составные числа; в) простые числа; г) треугольники.

2. Перечислите элементы множеств: а) частей света; б) деревьев; в) материков; г) цветов радуги.

3. Среди перечисленных ниже множеств укажите конечные и бесконечные множества: а) множество чисел, кратных 11; б) множество делителей числа 5; в) множество океанов; г) множество натуральных чисел; д) множество рек Ростовской области; е) множество корней уравнения х - 3 = 10; ж) множество решений неравенства х + 2 < 3.

БЛИЦ-ОПРОС:

1. Какие названия применяются для обозначения множеств животных?

2. Какие названия применяются для обозначения множеств военнослужащих?

3. Как называется множество цветов, стоящих в вазе?

4. Какие названия применяют для обозначения множеств кораблей?

5. Как называется множество царей (фараонов, императоров и т.д.) данной страны, принадлежащих одному семейству?

6. Как называется множество точек земной поверхности, равноудаленных от обоих полюсов?

7. Как называется множество картин?

8. Как называется множество документов?

V этап. Постановка задания на дом.

• § 3, № 3.1., № 3.2., № 3.9.

• </ Сообщение на тему «Множество Мандельброта».

VI этап. Подведение итогов урока.

Продолжите слова:

сегодня я узнал… теперь я могу… я научился… было интересно…

меня удивило… я приобрел… мне захотелось…