Урок алгебры в 9 классе «Последовательности»

Поремская И.В., учитель математики

КГУ «Средняя школа №2 г. Тайынша»

Северо-Казахстанская область

Урок алгебры в 9 классе.

Тема: Последовательности.

Цель урока: обобщение знаний по данной теме.

Задачи:

• Обучающая - закрепить умения применять формулы при решении задач и проверка прочности знаний;

• Развивающая - расширить кругозор, развивать логическое мышление, вычислительных навыков и сообразительности;

• Воспитывающая - прививать интерес к предмету, формировать объективность при оценке ответов товарищей.

Тип урока: контрольно-обобщающий.

Если вы хотите участвовать в большой жизни, то заполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность.

М. И. Калинин.

Ход урока.

1. Мотивация и сообщение темы урока.

Ребята, сегодня у нас завершающий урок по теме: Последовательности. Вы должны показать свои знания и применить эти знания на практике, при решении задач.

2. Применение знаний в стандартной ситуации.

1. Проверочная работа с взаимопроверкой.

1. Для данной последовательности запиши формулу n-го члена.

• 2; 4; 6 . . . а_n=2n

• 1; 3; 5 . . . а_n=2n-1

• 1; ; ; ; . . . а_n= 1≤ n ≤5

2. Запиши в виде рекуррентной формулы.

• Каждый член последовательности равен разности предыдущего члена и числа 15. а_n+1=а_n-15

• Каждый член последовательности равен произведению двух предшествующих членов. а_n+1=а_n ∙ а_n-1

• Каждый член последовательности получают путем деления предыдущего члена на 2. а_n+1=

(текст проверочной работы проектируются графопроектором на экране. И ответы проектируются).

Проверочная работа.

1. Для данной последовательности запиши формулу n-го члена.

1. 2; 4; 6.

2. 1; 3; 5.

3. 1; ; ; ; .

2. Запиши в виде рекуррентной формулы:

1. Каждый член последовательности равен разности предыдущего члена и числа 15;

2. Каждый член последовательности равен произведению двух предшествующих членов;

3. Каждый член последовательности получают путем деления предыдущего члена на 2.

Ответы:

1. 1. а_n=2n

2. а_n=2n-1

3. а_n= 1≤ n ≤5

2. 1. а_n+1=а_n-15

2. а_n+1=а_n ∙ а_n-1

3. а_n+1=

Ребята проверяют ответы друг у друга и сразу же оценивают.

«5» - 6 ответов

«4» - 5 ответов

«3» - 3, 4 ответа

«2» - до 3-х ответов.

2. Сообщение о числах Фибоначчи.

Леонардо Фибоначчи - великий итальянский математик. Последовательностью числе Фибоначчи называется такая последовательность, у которой член равен сумме двух предыдущих, а первые два числа последовательности 0 и 1.

а_n+1=а_n + а_n-1

0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89 . . .

Эта последовательность имеет очень интересное свойство, как и числа арифметической и геометрической прогрессии.

а_n-1 ∙ а_n+1 - а_n² =±1

Н-р: 2; 3; 5 3; 5; 8

2 ∙ 5 - 3² = 1 3 ∙ 8 - 5² = - 1

(В это время один из учащихся заполняет открытый лист учета).

3. Применение знаний в нестандартной ситуации.

1. Проверка знаний определений и формул. На доске двое учащихся записывают формулы, которые нужны при решении задач с использованием арифметической и геометрической прогрессий.

Остальные учащиеся работают устно, проверяются определения арифметической и геометрической прогрессии.

2. Историческая справка об истории развития арифметической и геометрической прогрессиях.

3. Решение задач.

Устная работа:

1. определение ариф. прогрессии

2. определение геом. прогрессии

3. определить данная последовательность является ариф. или геом. прогрессией

• ; ; 1; . . . (геом. пр. q=2)

• ; ; . . . (геом. пр. q=

• 3; 7; 11; . . . (ариф. пр. d=4)

• 5; 10; . . . если a₃=15 (ариф. пр.d=5)

если b₃=20 (геом. пр. q=2)

Задача №1.

При свободном падении тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую на 9,8 м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло ее дна через 5 сек после начала падения?

Решение:

а₁=4,9 а₅=а₁+4d=4,9+4∙9,8=44,1 (м)

d=9,8

a₅=?

Ребята, где еще на практике можно применить способ решения задачи?

(найти глубину оврага, глубину впадины, высоты башни, высоту многоэтажного дома).

Задача №2.

В огороде 30 грядок, каждая длиной 16 м и шириной 2,5 м. поливая грядки, огородник приносит ведра с водой из колодца, расположенного в 14 м от края огорода и обходит грядки по меже, причем воды, приносимой за один раз, достаточно для поливки только одной грядки. Какой длины путь огородника при поливке всего огорода? Путь начинается и заканчивается у колодца.

Колодец16м 14м

2,5м

Решение:

1 грядка 14+16+2,5+16+2,5+14=65 м

2 грядка 14+2,5+16+2,5+16+2,5+2,5+14=65+5=70 м

При поливе каждой следующей грядки требуется пройти на 5 м больше.

Колодец16м 14м

65 (м)2,5м 14 м

2,5м

16 м

70 (м)

75 (м)

65+29 ∙ 5 (м)

а₁=65 S₃₀= ∙ 30=4125 (м)

d=5

S₃₀=?

Ребята, летом каждый из вас может посчитать, сколько потребуется пройти километров, чтобы полить свой огород.

Задача №3.

Некто продал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря: «Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит». Тогда продавец предложил другие условия: «Если цена лошади высока, то купи ее только подковные гвозди, а лошадь получишь придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первую гвоздь дай мне к, за второй 2к, за третий 1к и т.д.

Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что придется уплатить не более 10 руб. Насколько покупатель проторговался?

Решение:

b₁= q=2 S₂₄= = ()=4194303,8 (к) ≈ 42000 (руб)

n=24

S₂₄=?

Так, что ребята, когда будете покупать, например, куртку или шубу, не покупайте заклепки и пуговицы от них.

Задача №4 (игровая).

От стола учителя до двери 3 м. один из учеников идет от стола до двери по прямой. Первый шаг он делает длиной 1 м, второй м, третий м и т.д., так чтобы длина следующего шага была в 2 раза меньше предыдущего. Дойдет ли ученик до двери или нет?

1 + + + + . . .бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Решение:

1 + + + + . . .+

B₁=1 q=

S_n= = = = 2 (

При n→∞; →0; |q|<1

S_n===2

Если выполним все условия, то не дойдем до двери.

А как нужно изменить условия, чтобы дойти до порога? (сделать первых два шага по 1 м)

Задача №5 (игровая).

Шары расположены в форме треугольника, в первом ряду - 1 шар, во второй - 2 шара и т.д

Во сколько рядов расположены 120 шаров?

Сколько шаров нужно, чтобы составить 30 рядов?

Решение:

a₁=1 a₂=2 d=1

S₃₀ = ∙ 30= ∙ 30=465

S₃₀ = ∙ 30= ∙ 30=465

Ответ: 465 шаров нужно, Чтобы составить 30 рядов.

S_n =120

120= ∙ n

(2+n-1)∙ n=240 n₁==15

n²+ n-240=0 n₂==-16 (от)

Д=1+960=961

Ответ: 15 рядов

4. Контроль знаний:

1. Контрольный тест с выбором ответа.

2. Взаимопроверка и выставление оценок в открытый лист учета.

Контрольный тест.

I вариант

1. Вырази а₈ через а₁ и d.

А) а₈=а₁+7 d

Б) а₈=а₁∙ d⁷

В) а₈=а₁+8 d

2. b₂= 33; b₃=44

q=?

А) 11 Б) В) 1

3. а₁=3; d=2

а₅=?

А) 8 Б) 11 В) 14

4. -2, 1 . . . - геом. прогрессия

Найти

А) - Б) В)

5. 2; 7 . . . - ариф. прогрессия

Найти сумму членов с третьего по девятый включительно.

А) 198 Б) 189 В) 9

II вариант

1. Вырази b₆ через b₁ и q.

А) b₆= b₁+ q⁶

Б) b₆= b₁∙ q⁵

В) b₆= b₁∙ q⁶

2. а₄=15; а₅=10

d=?

А) 5 Б) - 5 В) 1,5

3. b₁= 18; q=

b₂=?

А) 2 Б) В) 18

4. -2, 1 . . . - ариф. прогрессия

Найти а₁₂ - а₆

А) 6 Б) 18 В) 13

5. 32; 16 . . . - геом. прогрессия

Найти сумму членов с третьего по шестой включительно.

А) 63 Б) 48 В) 15

Ответы:

I вариант

1. 1. А

2. 2. В

3. 3. Б

4. 4. В

5. 5. Б

II вариант

6. 1. Б

7. 2. Б

8. 3. А

9. 4. Б

5. В

5. Подведение итогов.

6. Д\з. повт. п. 1, 2, 5, 7.