4

3·4- 1 = 11

3·11- 6= 27

3·27+3 = 84

3·84+0 = 252

3·252+50= 806

3·806-68 = 2350  0

4

-2·4-1 = -9

-2·(-9)-6= 12

-2·12+3 = -21

-2·(-21)= 42

-2·42+50= -34

-2·(-34)-68= 0

Таким образом получаем, что многочлен имеет три множителя (х - (-1)) = (х + 1) и представим в виде f(x)= (х + 1)³(х² + х - 1), где коэффициенты многочлена х² + х - 1 взяты из предпоследней строки таблицы, в которой получен последний нулевой остаток.

Ответ: кратность корня равна трем.

Задача 4.

Отделить кратные корни многочлена f(x) = x⁵ - 2x⁴ - x³ + 5 x² - 4x + 1.

Решение:

Если многочлен имеет корень кратности k, то его производная имеет этот же корень кратности (k - 1). Найдем производную данного многочлена:

f ^/(x) = 5x⁴ - 8x³ - 3x² + 10x - 4

Найдем наибольший общий делитель многочлена и его производной по алгоритму Евклида:

(f(x), f ^/(x)) = x² - 2x + 1. Заметим, что это полный квадрат (x - 1)², следовательно, f ^/(x) содержит корень 1 кратности 2, а f(x) содержит этот корень 1 кратности 2 + 1 = 3. Т.к. в наибольшем общем делителе других множителей нет, то и кратных корней у многочлена тоже больше нет.

Разделим f(x) на (x - 1)³ по схеме Горнера:

Получим f(x) = (x - 1)³(х² + х - 1).Остальные 2 корня многочлена - простые (в этом случае действительные иррациональные числа).

Ответ: f(x) = (x - 1)³(х² + х - 1).

Задача 5.

Разложить многочлен f(x) = x⁶ + x⁵ - 4x⁴ - 2x³ + 5x² + x - 2 в произведение линейных множителей, отделив его кратные корни.

Решение:

f ^/(x) = 6x⁵ + 5x⁴ - 16x³ - 6x² + 10x + 1

(f(x), f ^/(x)) = x³ - x² - x + 1

Т.к. наибольший общий делитель может тоже содержать кратные множители, продолжим процесс и найдем f ^//(x):

f ^//(x) = 30x⁴ + 20x³ - 48x² - 12x + 10

( f ^/(x), f ^//(x)) = x - 1. Следовательно, в f ^//(x)) имеется корень равный 1 кратности 1, значит в f ^/(x) этот корень входит с кратностью 2. Разделим первую производную многочлена на (x - 1)² = (х² - 2х + 1). Получим: f ^/(x) = (x - 1)²(х + 1). Т.е. в f ^/(x) корень равный 1 входит с кратностью 2. Значит в f (x) он входит с кратностью 3. В f ^/(x) корень равный -1 входит с кратностью 1, значит в f (x) он входит с кратностью 2. Т.к. f (x) - многочлен шестой степени, а найденные нами корни кратности - 2 и 3, то у f (x) есть еще один корень, который является простым.

Разделим f (x) на (x - 1)³ и на (x + 1)² по схеме Горнера:

Получим: f (x) = (x - 1)³(x + 1)²(х + 2)

Ответ: f (x) = (x - 1)³(x + 1)²(х + 2)

Задача 6.

При помощи кратных корней, найти точку (точки) х, в которых график функции f(x)= х⁶ - 4х⁵ - 2х⁴ + 16х³ + 5х² - 20х - 12 касается оси ОХ, но не пересекает ее.

Решение: f(x)= х⁶ - 4х⁵ - 2х⁴ + 16х³ + 5х² - 20х - 12.

Найдем производную многочлена: f ^/(x)= 6х⁵ - 20х⁴ - 8х³ + 48х² + 10х - 20.

НОД (f (x), f ^/(x)) = х³ - 3х - 2.

Найдем вторую производную, т.к. линейные множители пока выделить мы не можем: f ^//(x)) = 30х⁴ - 80х³ - 24х² + 96х + 10.

НОД (f ^/(x), f ^//(x)) = х + 1. Таким образом: f ^//(x)) = (х +1)q₁(x), следовательно: f ^/(x) = (х +1)²q₂(x), разделив f ^/(x) на (х +1)², получим f ^/(x) = (х +1)²(x - 2).

Следовательно, f (x) = (х +1)³(x - 2)²q₃(x). Разделив f (x) на (х +1)³(x - 2)² получим f (x) = (х +1)³(x - 2)²(x - 3).

Таким образом, имеем х = -1 - трехкратный корень многочлена, х = 2 - двукратный корень, х = 3 - простой корень. Следовательно, в точке х = 1 график имеет точку перегиба (нечетная кратность), в точке х = 2 график касается оси ОХ, но не пересекает ее (четная кратность), в точке х = 3 график пересекает ось ОХ (простой корень).

Ответ: х = 2.

Индивидуальные задания

1. Проверить по определению, будет ли число с корнем многочлена f(x):

1. f(x) = x³ - 4x² + 7x + 1470, с = -10;

Решение:

Подставляя вместо переменной число -10, имеем:

f(x) = (-10)³ - 4•(-10)² + 7•(-10) + 1470=-1000-400-70+1470=0

Следовательно, -10 - корень многочлена.

I.Проверить по схеме Горнера, будет ли число с корнем многочлена f(x):

1. f(x) = x⁵ - 7x³ - 4, с = 4;

Решение:

В первую строку таблицы записываем коэффициенты многочлена (с учетом того, что при степенях, равных 1,2 и 4 коэффициент равен нулю), значения во второй строке подсчитываем, пользуясь формулами.

По следствию из теоремы Безу (многочлен не делится нацело на (х - 4)), делаем вывод, что число 4 корнем многочлена не является.

II.Проверить с помощью деления углом и при помощи схемы Горнера, будет ли множитель х - с входить в разложение многочлена f(x):

1. f(x) = x⁵ - 4x⁴ + 7x² - 4, х - 2;

Решение:

В первую строку таблицы записываем коэффициенты многочлена (с учетом того, что при степенях, равных 1 и 3 коэффициент равен нулю), значения во второй строке подсчитываем, пользуясь формулами.

По следствию из теоремы Безу (многочлен не делится нацело на (х - 2)), (число 2 корнем многочлена не является), следовательно х-2 не входит в разложение многочлена f(x)

Проверим с помощью деления углом:

III. Определить по схеме Горнера, какова кратность корня с = -1 для многочлена f(x):

1. f(x) = x⁴ - 2x³ - 12х² - 14х - 5;

Решение:

Проверяем по схеме Горнера, подсчитывая каждую следующую строку в зависимости от коэффициентов предыдущей: