Открытый урок 'Линейные уравнения с параметрами. ' Содержание урока.

Государственное образование учреждение

средняя общеобразовательная школа №867 ЮАО г. Москвы

Линейные уравнения с параметрами.

Преподаватель математики:

Чернова Ольга Петровна

Содержание:

1. Введение………………………………………………………………………….3

Основная часть

2. Глава 1. Задачи на движения…………………………….……………………...6

3. Глава 2. Задачи на измерения……………………………………………….…12

4. Глава 3. Моделирования прикладных экономических задач…………….….15

5. Глава 4. Создание АСУ процессом подсчёта цены продаж по известной цене продавца………………………………………………………………………...18

6. Глава 5. Реализация межпредметных связей математики с биологией…….19

7. Заключение……………………………………………………………………..21

8. Библиографический список……………………………………………………22

9. Электронные приложения к проекту……………………………………….…23

Введение:

При изучении курса математики очень важно понимать, что возможность широкого использования математики к исследованиям реального мира основывается именно на том, что она сама взята из этого мира и выражает часть присущих ему форм, связей, и только поэтому вообще может использоваться. Использование математики в реальном мире возможно с помощью математических моделей, которые, как отдельный вид, имеют ряд характерных для них особенностей. В связи с практическими задачами в физике, биологии, экономике и т. д. возникает необходимость построения моделей процессов, содержащих параметры, а так же их исследование. Поэтому некоторые задачи с параметрами естественно рассматривать как параметрические модели прикладных процессов и как эвристические задачи.

Математическая модель - это специальный способ приближённого описания какой-либо проблемы, который позволяет при её анализе использовать формально-логический аппарат математики. При математическом моделировании мы имеем дело не с самим объектом, а с построенной его теоретической копией, которая выражает в математической форме его основные закономерности.

Моделирование - это построение модели, воспроизводящей особенности структуры, поведения, а так же свойства оригинала, и последующие её экспериментальное или мысленное исследование.

• существуют положения, связанные с понятием математической модели: схожесть реального объекта модели;

• идеализация, схематизация этого объекта при переходе к модели;

• игнорирование свойствами объекта, которые являются несущественными для проводящегося исследования;

• фундаментальная роль гипотез при построении моделей одного и того же объекта;

• требование адекватности свойств объекта, который исследуется и требование простоты модели;

• противоречивость этих требований, принципиально-приближённый характер модели.

Успешность работы по математическому моделированию зависит от умения учитывать указанные положения. Большую роль играет выявление элементов математического моделирования.

Применение математики в различных областях науки и практики имеет определённую общность, проходит через одни и те же этапы. Как метод познания математическое моделирование включает в себя:

• формирование адекватной математической модели, явления или процесса;

• внутри модельное решение задачи математическими средствами;

• интерпретация полученного решения с точки зрения исходной ситуации.

Первое знакомство с такими задачами лучше строить на интерпретации простейших функциональных зависимостей как параметрических моделей. Например, линейная функция как модель равномерного движения или математическая модель экономического научно-исследовательского или управленческого процесса. При этом разумно ставить вопросы, связанные с исследованием данной модели:

• вопрос существования решения данной модели;

• вопрос о единственности решения; поиск условий обеспечивающих единственность решений;

• как влияет на решение изменение тех или иных параметров модели;

• выявление, в зависимости от параметров содержательных свойств и особенностей модели и её решений;

• вопрос упрощения модели;

• выбор оптимального решения.

В этом ключе интересно рассматривать задачи на определение параметров в эмпирических формулах по экспериментальным данным. Интересны такие постановки, когда данных избыточное количество. Здесь сама задача может в известном смысле не иметь решения, но возможно построение такой её модификации, когда решение есть.

В данном проекте представлено пять примеров таких задач с параметрами, которые позволяют развивать эвристическое умение моделирования реальных процессов. Эти задачи имеют названия:

• задачи на движение;

• задачи на измерение;

• моделирование прикладных экономических задач;

• создание автоматизированной системы управления процессом подсчёта ценны продаж по известной цене продавца;

• реализация межпредметных связей математики с биологией.

Основная часть

Глава 1

Задачи на движение.

Теоретическое изучение и математическое моделирование многообразных процессов из различных областей науки, техники и практической деятельности человека часто приводят к достаточно сложным уравнениям, неравенствам или их системам, содержащим параметры.

Необходимой частью решения подобных задач является исследование характера и конечного результата процесса в зависимости от значения параметра. Сложность решения параметрических задач заключается в том, что при изменении параметров меняются не только коэффициенты, но и целый ряд других важных характеристик рассматриваемых задачей. Обычно это приводи к тому, что при разных значениях параметра приходится использовать различные методы и приёмы решения.

В задачах с несколькими параметрами оказывается, что решение зависит не от каждого параметра в отдельности, а от некоторого их характерного комплекса. В подобных случаях становится невозможным разбиение исходной задачи на совокупность задач с одним из параметров. Такие задачи требуют глубокого понимания сути процесса, свободного владения различными математическими методами и скрупулезного анализа. В настоящей главе рассмотрено решение физических задач на движение с изображением в координатно-параметрической плоскости зависимости координат от времени для каждого из движущихся тел. При решении задач на движение способов создания графической модели можно не только получить наглядный рисунок задачи на движение, но и выстроить простой алгоритм её будущей аналитической модели.

Пример 1: из пункта А в пункт Б с постоянной скоростью выехал автобус, через несколько минут в след за ним выехала машина, которая, догнав в пути автобус, поворачивает обратно и движется с прежней скоростью. Определить все значения скорости автобуса при которых машина возвращается в А позже чем автобус прибывает в Б. Графическая модель представлена на рисунке 1.

Пример 2: из А в Б выехала машина, а через некоторое время в след за ней мотоцикл. Мотоцикл догнал машину в пункте С и повернул обратно. Когда машина прибыла в Б, мотоцикл проехал половину пути от С к А. Найти расстояние между пунктами А и С. Графическая модель представлена на рисунке 2

Пример 3: расстояние между пунктами А и Б мотоциклист проехал за некоторое время. Сначала с одной скоростью, а затем с другой; причём время движения с каждой скоростью пропорционально самой скорости. Через некоторое время после выезда мотоциклист был на расстоянии С от пункта А. Найти скорости. Графическая модель представлена на рисунке 3

Пример 4: из пункта А в пункт Б выехал автомобиль. А через некоторое время с постоянной скоростью выехал второй. После остановки на некоторое время в пункте Б второй автомобиль поехал с той же скоростью назад. Найти расстояние от А до места первой встречи. Графическая модель представлена на рисунке 4.

Глава 2

Задачи на измерения.

Задача 1:

Футбольный мяч находится в точке А футбольного поля на расстояниях 23м и 24 м от оснований В и С стоек ворот. Футболист направляет мяч в ворота. Найдите угол α попадания мяча в ворота, если ширина ворот равна 7м.

Решение:

Рассмотрим треугольник АВС, вершинами которого являются точка А расположения мяча и точки В и С в основании стоек ворот. По условию задачи с=АВ=23 м, b=ВС=7 м. Эти данные позволяют решить треугольник АВС и найти угол α, равный углу А. С помощью теоремы косинусов определяем cosA: сosA=b²+c²-a² /2bc = 24²+23²-7²/2*24*23

Угол α находим по таблице α~16^° 57´

Задача 2:

Измерение расстояния до недоступной точки. Предположим, что нам нужно найти расстояние d от пункта A до недоступного пункта C .

Задача 3:

Измерение высоты предмета.

Решение задач на языке QBasic представлено в электронном приложении к проекту.

Глава 3

Моделирование прикладных экономических задач.

Задача 1:

Пусть известно, что в штате больницы состоит 6 санитарок, 8 медсестер, 10 врачей, 3 заведующих отделениями, главный врач, зав. Аптекой, заведующий хозяйством и заведующий больницей. Общий фонд зарплаты составляет 10 000 у.е. Необходимо определить какими должны быть оклады сотрудников больницы.

Построим модель решения этой задачи.

За основу возьмем оклад санитарки, а остальные оклады будем вычислять, исходя из него: во сколько-то раз или на сколько-то больше. Говоря языком математики, каждый оклад является линейной функцией от оклада санитарки:

Ai*C + Bi , где С - оклад, Ai и Bi - коэффициенты, которые для каждой должности определяются следующим образом:

- медсестра получает в 1,5 раза больше санитарки ( А2 = 1,5; В2 = 0);

- врач - в 3 раза больше санитарки ( А3 =3; В3 = 0);

- заведующий отделением - на 30 у.е. больше чем врач ( А4 = 3; В4 = 30);

- заведующий аптекой - в 2 раза больше санитарки ( А5 = 2; В5 = 0);

- заведующий хозяйством - на 40 у.е. больше медсестры ( А6 = 1,5; В4 = 40);

- главный врач - в 4 раза больше санитарки (А7 = 4; В7 = 0);

- заведующий больницей - на 20 у.е. больше главного врача ( А8 = 4; В8 = 20).

Зная количество человек на каждой должности, нашу модель можно записать как уравнение: N1*A1*C +N2(A2*C+B2) +…..+N8(A8*C + B8) = 10 000

где N1 - число санитарок; N2 - число медсестер и т. д. Решение задачи выполнено в программе EXCEL и представлено в таблице 1.

Таблица 1

Должность

Коэф. А

Коэф. B

Зарплата сотрудника

Кол-во сотрудников

Суммарная зарплата

Зарплата санитарки

Санитарка

1

0

150

6

900

150

Медсестра

1,5

0

225

8

1800

Врач

3

0

450

10

4500

Зав. Отделен.

3

30

480

1

480

Зав. Аптекой

2

0

300

1

300

Завхоз

1,5

40

265

1

265

Глав. Врач

4

0

600

1

600

Зав. Больницей

4

20

620

1

620

Итоги

9465

F11

=E2*D2+E3*D3+E4*D4+E5*D5+E6*D6+E7*D7+E8*D8+E9*D9

F2-F9

=D2*E2

D2-D9

=$G$2*B2+C2

Задача 2:

Для поддержания нормальной жизнедеятельности человеку необходимо потреблять не менее 118 г белков, 56 г жиров, 500 г углеводов, 8 г минеральных солей. Количество питательных веществ, содержащихся в 1 кг каждого вида потребляемых продуктов, а также цена 1 кг приведены в таблице 2. Составить дневной рацион, содержащий не менее минимальной суточной нормы человека в необходимых питательных веществах при минимальной общей стоимости потребляемых продуктов.

Таблица 2

Питательные вещества

Содержание (г) питательных веществ в 1 кг. продукта

Мясо

Рыба

Молоко

Масло

Сыр

Крупа

Картофель

Белки

180

190

30

10

260

130

4

Жиры

20

3

40

865

310

30

2

Углеводы

50

6

20

650

200

Минеральные соли

9

10

7

12

60

20

10

Цена 1кг. Продукта (руб.)

3000

2250

250

3700

5000

630

400

Минимальная суточная норма человека в питательных веществах в г.

Белки

118

Жиры

56

Углеводы

500

Минеральные соли

8

Решение задачи представлено в программе EXCEL и представлено в таблице 3.

Таблица 3

Мясо

Рыба

Молоко

Масло

Сыр

Крупа

Картофель

1967

1398

984

43660

2270

572

11800

8400

42000

350

240

904

1176

11200

2500

308334

125000

485

1000

2667

1800

286

2467

667

252

320

Глава 4

Создание автоматизированной системы управления процессом подсчёта ценны продаж по известной цене продавца.

Алгоритм решения задачи:

1. цена продавца умножается на процентную ставку налога на добавленную стоимость и получается сумма налога на добавленную стоимость;

2. цена продавца складывается с суммой налога на добавленную стоимость и получается цена продажи;

3. вводится помеха в операцию продажи. Допустим, продавец не учёл, что на рынке за место надо платить. Тогда для него этот непредвиденный платёж будет помехой.

4. из теории рыночной экономики известно, что цена продажи на рынке формируется автоматически. Это - так называемая равновесная цена.

5. находим разницу между целевой функции и выходом системы.

Решение задачи выполнено на языке QBasic и представлено в электроном приложении к проекту. Блок-схема изображена на рисунке 5.

Рисунок 5

Глава 5

Реализация межпредметных связей математики с биологией.

Блок-схема алгоритма поиска линейной зависимости, моделирующей эмпирические данные.

На рисунке 6 представлена математическая модель исследуемого эмпирического процесса, которая является линейной функцией. Для выбора параметров, наиболее соответствующих эмпирической зависимости, применялись понятия отклонение и дисперсия теории вероятностей. Решение задачи выполнено на языке QBasic и представлено в электроном приложении к проекту.

Рисунок 6

Заключение

В данном проекте представлены разделы практических приложений решения линейных уравнений с параметрами, которые позволяют:

1. рассчитывать заработную плату сотрудников любого экономического подразделения в рамках ограниченных финансовых ресурсов;

2. реализировать АСУ по достижению оптимально-максимальной прибыли любого современного предприятия;

3. реализировать научный подход к решению эмпирической задачи по биологии;

4. решение трёх задач на измерения, связанных с геометрией;

5. воспользоваться графической моделью исследования задач на движения для нахождения алгоритма решения и его аналитической интерпретации.

Для решения этих задач применялись программы Excel, QBasic, Живая геометрия.

Результаты исследований можно применять на уроках математики при решении задач повышенной сложности, на уроках экономики, в рамках прикладных элективных курсов.

Библиографический список

1. М. М. Поташник, «Требования к современному уроку», Москва, Центр педагогического образования, 2008.

2. Т. П. Лакоценина и др., «Современный урок» часть 5, Ростов на Дону, издательство «Учитель», 2007.

3. В. И. Арнольд «Переориентация науки на «прикладные исследования приведёт к снижению интеллектуального уровня страны», адрес сайта

4. Старпович А. С. «Реализация эвристического обучения учащихся на уроках математики» Минск, 2004

5. «Моделирование прикладных экономических задач», адрес сайта http://74205s38.edusite.ru/p24aa1.html

6. «Универсальный метод решения задач», адрес сайта

7. Е. И. Скафа «Организация эвристической деятельности по решению прикладных задач с параметрами», Донецк, 2009

8. Л. С. Атанасян и др. Геометрия 7-9, Москва, Просвещение, 2006.