Исследовательская работа по теме: «Решение квадратных уравнений различными способами.»

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 19» ИМРСК

Исследовательская работа по теме:

«Решение

квадратных уравнений

различными способами.»

работа выполнена в течении 4 месяцев

Работа ученицы 9^б класса,

Ванян Лилии.

Руководитель:

учитель математики школы № 19,

Ерёмина Екатерина Дмитриевна.

2014г.

Содержание работы:

1. Определение квадратного уравнения, его виды ________________стр. 3

2. Из истории квадратных уравнений __________________________стр. 4

3. Различные способы решения квадратных уравнений:

1) Разложение левой части уравнения на множители ________________стр. 6

2) Метод выделения полного квадрата ____________________________стр. 6

3) Решение квадратных уравнений по формуле _____________________стр. 7

4)Решение уравнений с использованием теоремы Виета _____________ стр. 8

5) Решение уравнений способом переброски _______________________стр. 9

6)Свойства коэффициентов квадратного уравнения ________________стр. 10

7) Графическое решение квадратного уравнения __________________ стр. 13

8) Решение квадратных уравнений с помощью

циркуля и линейки _________________________________________стр. 14

9) Решение квадратных уравнений с помощью

номограммы _____________________________________________стр. 18

10) Геометрический способ решения квадратных уравнений _________стр. 20

4. Дидактический материал __________________________________стр. 22

5. Литература _______________________________________________стр. 24

1. Определение квадратного уравнения, его виды.

Определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида

ax² + bx + c = 0,

где х- переменная, а,b и с-некоторые числа, причем, а ≠ 0.

Если в квадратном уравнении ах² + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:

1) ах² + с = 0, где с ≠ 0;

2) ах² + bх = 0, где b ≠ 0;

3) ах² = 0.

2. Из истории квадратных уравнений.

а) Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

х² + х = , х² - х = 14

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

б) Квадратные уравнения в Индии.

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабахаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ах² + bх = с, а > 0

В уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть отрицательными. Правило Брахмагупта по существу совпадает с нашим.

в) Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. Итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемный труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI-XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду

х² + bх = с,

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М.Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

3. Различные способы решения квадратных уравнений.

1) Разложение левой части уравнения на множители.

● Примеры.

1. Решим уравнение х² + 10х - 24 = 0.

Разложим левую часть уравнения на множители:

х² + 10х - 24 = х² + 12х - 2х - 24 = х (х + 12) - 2 (х +12) = (х + 12)(х - 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х - 2) = 0.

Так как произведение равно нулю, то по крайне мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = - 12. это означает, что числа 2 и - 12 являются корнями уравнения х² + 10х - 24 = 0.

2) Метод выделения полного квадрата

Поясним этот метод на примере.

● Пример

Решим уравнение х² + 6х - 7 = 0

Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение

х² + 6х в следующем виде:

х² + 6х = х² + 2· х ·3.

В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3², так как

х² + 2· х ·3 + 3² = (х + 3)² .

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х² + 6х - 7 = 0,

прибавляя к ней и вычитая 3^2. Имеем:

х² + 6х - 7 = х² + 2· х ·3 + 3² - 3² - 7 = (х + 3)² - 9 - 7 = (х + 3)² - 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3)² -16 = 0, т.е. (х + 3)² = 16.

Следовательно, х = 3 = 4, х₁ = 1, или х +3 = - 4 , х₂ = - 7.

3) Решение квадратных уравнений по формуле

Вывод формулы:

Умножим обе части уравнения

ах² + bх + с = 0, а ≠ 0,

на 4а и следовательно имеем:

4а²х² + 4аbс + 4ас = 0.

((2ах)² + 2ах · b + b²) - b² + 4ас = 0,

(2ах + b)² = b² - 4ас,

2ах + b = ±

2ах = - b ±

Х_1,2 =

● Примеры

Решим уравнения:

а) 4х²+ 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b² - 4ас = 7² - 4· 4 ·3 = 49 - 48 = 1, D >два разных корня;

х = , х = ; х = , х₁ = , х = , х₂ = -1

Таким образом, в случае положительного дискриминанта,

т. е. при b² - 4ас≥0 уравнение ах² + bх + с = 0 имеет два различных корня.

б) 4х² - 4х + 1 = 0,

а =4, b= - 4, с = 1. D = b² - 4ас= 16 - 4∙4∙1 = 0, D = 0, один корень;

х=

Итак, если дискриминант равен нулю, т. е. = b² - 4ас= 0, то уравнение ах² + bх + с = 0 имеет единственный корень, х =

в) 2х² +3х + 4 = 0, а =2, b= 3, с = 4, D = b² - 4ас= 9 - 4∙2∙4 =9 - 32 = - 13,

D < 0. Уравнение не имеет корней.

Итак, если дискриминант отрицателен, т. е. = b² - 4ас< 0, то уравнение

ах²+ bх + с = 0 не имеет корней.

4) Решение уравнений с использованием теоремы Виета

(прямой и обратной)

а) Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

х² + px + q = 0. (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а = 1 имеет вид

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и qможно предсказать знаки корней).

а) Если свободный член qприведенного уравнения (1) положителен (q >0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p.

Если p>0, то оба корня отрицательные, если p<0, то оба корня положительны.

Например,

х² - 3х + 2 = 0; х₁ = 2 и х₂ = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 <0;

х² +8х + 7 = 0; х₁ = - 7 и х₂ = - 1, так как q = 7 > 0 и p = 8 >0.

б) Если свободный член qприведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p<0, или отрицателен, если p>0.

Например,

х² + 4х - 5 = 0; х₁ = - 5 и х₂ = 1, так как q = - 5<0 и p = 4 > 0;

х² - 8х - 9 = 0; х₁ = 9 и х₂ = - 1, так как q = - 9<0 и p = - 8 >0.

б) Теорема Виета для квадратного уравнения

ах² +вх +с = 0

имеет вид

Справедлива теорема, обратная теореме Виета:

Если числа х₁ и х₂ таковы, что х₁+х₂ = -р, х₁х₂ = q, то х₁ и х₂ - корни квадратного уравнения

х² +рх + q = 0.

Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней.

● Примеры

1. Решить уравнение

х² - 9х + 14 =0

Попробуем найти два числа х₁ и х₂ , такие, что

х₁ +х₂ = 9

х₁х₂ = 14

Такими числами являются 2 и 7. По теореме, обратной теореме Виета, они и служат корнями заданного квадратного уравнения.

2. Решить уравнение

х² +3х - 28 = 0

Попробуем найти два числа х₁ и х₂ , такие, что

х₁ +х₂ = - 3

х₁х₂ = - 28

Нетрудно заметить, что такими числами будут - 7 и 4. Они и являются корнями заданного уравнения.

5)Решение уравнений способом «переброски»

Рассмотрим квадратное уравнение

ах² + bх + с = 0, а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а² х² + а bх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = ; тогда приходим к уравнению

у² + by + ас = 0,

равносильного данному. Его корни у₁ и у₂ найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х₁ = и х₁ = . При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

● Примеры

Решим уравнение 2х² - 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у² - 11y +30 = 0.

Согласно теореме Виета

Ответ: 2,5;3.

6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

А. Пусть дано квадратное уравнение

ах² + bх + с = 0, а ≠ 0.

1.Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х₁ = 1, х₂ = .

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

х² + х + = 0.

Согласно теореме Виета

По условию а + b + с = 0, откуда b = - а - с. Значит,

Получаем х₁ = 1, х₂ = , что и требовалось доказать.

2. Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х₁ = - 1, х₂ = - .

Доказательство. По теореме Виета

По условию а - b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

т.е. х₁ = - 1 и х₂ = , что и требовалось доказать.

● Примеры

1. Решим уравнение 345х² - 137х - 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 - 137 - 208 = 0), то х₁ = 1, х₂ = = .

Ответ: 1; - .

2. Решим уравнение 132х² + 247х + 115 = 0

Решение. Т. к. а-b+с = 0 (132 - 247 +115=0), то

х₁= - 1, х₂= -

Ответ: - 1; -

Б. Если второй коэффициент b = 2k - четное число, то формулу корней

х_1,2 =

можно записать в виде

х_1,2 =

● Пример

Решим уравнение 3х² - 14х + 16 = 0.

Решение. Имеем: а = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;

D = k² - ac = (- 7)² - 3 · 16 = 49 - 48 = 1, D>0, два различных корня;

х =

Ответ: 2; .

В. Приведенное уравнение

x² + px + q = 0

совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, p и c = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

х_1,2 =

принимает вид:

х_1,2 = или х_1,2 = - (3).

Формулу (3) особенно удобно использовать, когда p - четное число.

● Примеры

1. Решим уравнение х² - 14х - 15 = 0.

Решение. Имеем: х_1,2 = 7±= 7±= 7±8.

Ответ: х₁ = 15, х₂ = - 1 .

7. Графическое решение квадратного уравнения

Если в уравнении

x² + px + q = 0

перенести второй и третий члены в правую часть, то получим

x² = - px - q .

Построим графики зависимостей у = х² и у = - px - q .

График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат.

График второй зависимости - прямая.

Возможны следующие случаи: прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

- прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка),т.е. уравнение имеет одно решение;

- прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

у

у=х²

у = - рх - q

х₁ х₂ х

● Пример

1.Решим графически уравнение

х² - 3х - 4 = 0.

Решение. Запишем уравнение в виде

х² = 3х + 4

Построим параболу у = х² и прямую у = 3х + 4.

Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0;4) и

N (3;13).

Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и B с абсциссами х₁ = - 1 и

х₂ = 4.

у

у=х² у = - 3х + 4

- 1 4 х

Ответ: х₁ = - 1 , х₂ = 4 .

8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то потребуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.

Предлагаем следующий способ нахождения корней квадратного

уравнения

ах² + bх + с = 0

с помощью циркуля и линейки.

Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в

точках B (х₁ ;0) и D (х₂ ;0), где х₁ и х₂ - корни уравнения

ах² + bх + с = 0, и проходит через точки А (0;1) и С (0;) на

оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем ОВ∙ОD = ОА ∙ ОС, откуда

ОС = .

у

С(0; )

S ()

А(0; 1)

К

В(х₁, 0) D(х₂, 0) х

Центр окружности находиться в точке пересечения перпендикуляров

SF и SK , восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому

SK = ,

SF = .

Итак:

1. построим точки S(; ) (центр окружности) и А (0;1);

2. проведем окружность с радиусом SA;

3. абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS>SK, или R>), окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис.а) B (х₁ ; 0) и D (х₂ ;0), где

х₁ и х₂ - корни квадратного уравнения ах² + bх + с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SВ, или R = ), окружность касается оси Ох (рис.б) в точке B (х₁ ; 0 ), где

х₁ - корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра (AS < SВ, или R < ), окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. в), в этом случае уравнение не имеет решения.

У у у

S

S S

А

1. А 1. х. А 1 х

В

х₁ В х₂ х₁ В

а) б) в)

а) AS > SВ, или R > . б) AS = SВ, или R = .

Два решения х₁ и х₂. Одно решение х_1.

в) AS < SВ, или R < .

Нет решения.

● Примеры

1.Решим графически уравнение

х² - 2х - 3 = 0.

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

х = -

у = =

Проведем окружность радиуса S A, где А (0;1).

у

1 А

- 1 3 х

S(1; - 1)

Ответ: х₁ = - 1 , х₂ = 3 .

2. Решим уравнение

х² - 5х + 4 = 0.

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

х = -

у = =

Проведем окружность радиуса A, где А (0;1).

у

Ответ: х₁ = 1 , х₂ = 4 .

S(2,5; 2,5)

1 А

1 4 х

3. Решим уравнение

х² +4х + 4 = 0.

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

х = -

у = =

Проведем окружность радиуса A, где А (0;1).

у

S ( - 2; 2,5)

А

- 2 х

Ответ: х = - 2 .

4. Решим уравнение

х² - 2х + 3 = 0.

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

х = -

у = =

Проведем окружность радиуса A, где А (0;1).

у

S(1; 2)

А

х

Ответ: уравнение не имеет решения.

9. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. - М., Просвещение, 1990).

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z² + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам:

ОВ = , АВ =

Полагая ОС = р, ЕD = q, ОЕ = а ( все в см), из подобия треугольников САН и СDF получим пропорцию

,

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z² + pz + q = 0,

причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

p q

О В Е

F D

H A

C

● Примеры

1. Для уравнения

z² - 9z + 8 = 0.

Номограмма дает корни

z₁ = 8, 0 и z₂ = 1, 0 (рис. 12).

2. Решим с помощью номограммы

номограммы уравнение

2z² - 9 z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого

уравнения на 2,получим уравнение

z^{2 -} 4, 5 + 1 = 0.

Номограмма дает корни z₁ = 4 и z₂ = 0,5.

3. Для уравнения

z² + 5 z - 6 = 0

номограмма дает положительный

корень z₁ = 1,0, а отрицательный

корень находим, вычитая

положительный корень

из - р, т.е. z₂ = - р - 1 =

= - 5 - 1 = - 6,0 (рис.13.)

4. Для уравнения

z² - z - 8 = 0

номограмма дает положительный

корень z₁ = 4,0, отрицательный

равен z₂ = - р - z₁ =

= 2 - 4 = - 2,0.

5. Для уравнения

z² + 4 z + 3 = 0, оба корня которого

отрицательные числа, берем

z₁ = - t и находим по номограмме два ,64

положительных корня t₁ и t₂

уравнения t² - 4 t + 3 = 0, это

t₁ = 1 и t₂ = 3, а затем z₁ = - t₁ = - 1

и z₂ = - t₂ = - 3. если коэффициенты

p и q выходят за пределы шкалы, то

выполняют подстановку z = kt

и решают с помощью номограммы

уравнение

t² +

где k берут с таким расчетом, чтобы имели место неравенства

- 12,6≤.

6. Для уравнения

z² - 25z + 66 = 0

коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку

z = 5t, получим уравнение

t ² - 5t + 2,64 = 0,

которое решаем посредством номограммы и получим

t₁ = 0,6 и t₂ = 4,4, откуда z₁ = 5 t₁ = 5 • 0,6 = 3,0

и z₂ = 5 t₂ = 5 • 4,4 = 22,0.

10.Геометрический способ решения квадратных уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведем ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал-Хорезми.

● Примеры

Решим уравнение х² + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39».

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,

следовательно, площадь каждого равна 2 . Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата АВСD, достраивая в углах четыре

равных квадрата, сторона каждого из них 2, а площадь 6

D x C

6

2

6

2

x²

2

6

2

6

A х B

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х², четырех прямоугольников

(4 ∙ 2 = 10х ) и четырех пристроенных квадратов(6), т.е.

S = х² + 10х = 25. Заменяя х² + 10х числом 39, получим что S = 39+ 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата АВСD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

х = 8 - 2 - 2 = 3

2. А вот, например, как древние греки решали уравнение

у² + 6у - 16 = 0.

Решение представлено на рис., где

у² + 6у = 16, или у² + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение .Выражения у² + 6у - 16 +9 - 9 = 0 - одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у₁ = 2, у₂ = - 8.

у у 3

у²

3у

3у

9

3

3. Решить геометрически уравнения у² - 6у - 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаем

у² - 6у = 16.

На рис. находим «изображения» выражения у² - 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3.

Значит, если к выражению у² - 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у - 3. Заменяя выражение у² - 6у равным ему числом, получаем: (у - 3)² = 16 +9, т.е. у - 3 = ± или у - 3 = ± 5, где у₁ = 8 и у₂ = - 2.

у у 3

у - 3

у - 3

3

3

9

4. Дидактический материал к работе.

1. Решите квадратное уравнение, разлагая его левую часть на множители:

а) х² - х = 0; е) х² - 4х + 4 = 0;

б) х² + 2х = 0; ж) х² + 6х + 9 = 0;

в) 3 х² - 3х = 0; з) х² + 4х +3 = 0;

г) х² - 81 = 0; и) х² + 2х - 3 = 0.

д) 4 х² - = 0;

2. Решите уравнения по формуле:

а) 2х² - 5х + 2= 0 г) 4х² - 12х +9 = 0

б) 6х² + 5х + 1=0 д) 10х² - 6х + 0,9 = 0

в) 3х² - 7х - 1 = 0 е) 2х² - 3х + 2 = 0

3. Не решая квадратного уравнения, определите знаки его корня:

1) х² - 2х - 15 = 0 7) х² - 2х + 1 = 0

2) х² + 2х - 8 = 0 8) х² + 4х + 4 = 0

3) х² + 10х + 9 = 0 9) х² - 6х + 9 = 0

4) х² - 12х + 35 = 0 10) 4х² + 7х - 2 = 0

5)3 х² +1 4х + 16 = 0 11) 5х² - 9х - 2 = 0

6) х² - 5х + 6 = 0 12) х² - 11х + 15 = 0

4. Решите уравнения, используя метод «переброски»:

1. 2х² - 9х +9 = 0 5) 3х² + х - 4 = 0

2. 10х² - 11х + 3 = 0 6) 5х² - 11х + 6 = 0

3. 3х² +11х +6 = 0 7) 2х² + х - 10 = 0

4. 4х² +12х + 5 = 0 8) 6х² +5х - 6 = 0

5. Решите уравнения, используя свойства коэффициентов:

1. 5х² - 7х + 2 = 0 5) 839х² - 448х - 391 = 0

2. 3х² + 5х - 8 = 0 6) 939х² + 978х +39 = 0

3. 11х² + 25х - 36 = 0 7) 313х² + 326х + 13 = 0

4. 11х² + 27х +16 = 0 8) 2006х² - 2007х + 1 = 0

6. Решите уравнения по формуле четного коэффициента:

1. 4х² - 36х + 77 = 0 3) 4х² + 20х + 25 = 0

2. 15х² - 22х - 37 = 0 4) 9х² - 12х + 4 = 0

7. Решите приведенные квадратные уравнения по формуле:

1. х² - 8х - 9 = 0 3) х² + 18х + 81 = 0

2. х² + 6х - 40 = 0 4) х² - 56х + 64 = 0

8. Решите графически уравнения:

1) х² - х - 6 = 0; 4) х² - 2х - 3 = 0;

2) х² - 4х + 4 = 0; 5) х² + 2х - 3 = 0;

3) х² + 4х +6 = 0; 6) 4х² - 4х - 1 = 0.

9. Решите с помощью циркуля и линейки следующие уравнения:

1) х² - 3х + 2 = 0; 4) 2х² - 7х + 5 = 0;

2) х² - 3х - 10 = 0; 5) х² - 6х + 9 = 0;

3) х² +4х + 3 = 0; 6) х² +4х + 5 = 0.

10. Решите с помощью номограммы уравнения:

1) z² - 7z + 6 = 0; 4) z² - z - 6 = 0 ;

2) z² + 5z + 4 = 0; 5) z² - 11z + 18 = 0;

3) z² - 4z + 4 = 0; 6) z² - 2z + 3 = 0.

Литература:

1. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / Г. В. Дорофеев и др. - М.: Дрофа, 2004

2. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. - М.: Просвещение, 1988

3. Глейзер Г. И. История математики в школе. - М.: просвещение, 1982

4. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для среденй школы. - м., просвещение, 1990

5. Окунев А. К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. - М.: Просвещение, 1972

6. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. М., Квант, №4/72. С.34.

7. Дидактические материалы по алгебре.

8. М., Математика (приложение к газете «Первое сентября»), №№ 21/96, 10/97, 24/97, 40/2000.