МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ

Ульяновский авиационный колледж

Математический и общий

естественнонаучный цикл

МАТЕМАТИКА

ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ

по специальностям СПО

100701 Коммерция (по отраслям) базовой подготовки

080114 Экономика и бухгалтерский учет базовой подготовки

100801 Товароведение и экспертиза качества потребительских товаров углубленной подготовки

Ульяновск

2014

ОДОБРЕН

на заседании ЦМК математических и

общих естественнонаучных дисциплин

Протокол № 1

от «31» августа 2013 г.

Председатель ЦМК МЕН:

_________________ Яковлева И. В.

УТВЕРЖДАЮ

Зам. директора по УПР

_______________ Н.А. Попова

«____»__________ 20 __ г.

РАЗРАБОТЧИК: Ершова Н. А., преподаватель первой категории Ульяновского авиационного колледжа.

Брындина И. С., Заслуженный учитель РФ, преподаватель высшей категории Ульяновского авиационного колледжа.

Подкладкина Л. Н., Почетный работник СПО, преподаватель высшей категории Ульяновского авиационного колледжа.

Яковлева И. В., преподаватель высшей категории Ульяновского авиационного колледжа.

Методические указания для студентов по выполнению практических работ содержат цели, формируемые образовательные результаты, краткие теоретические сведения, методические указания к заданиям, контрольные вопросы для проверки и задания для самостоятельного решения.

Данные методические указания составлены в соответствии с ФГОС СПО по специальностям по специальностям СПО:

100701 Коммерция (по отраслям) базовой подготовки

080114 Экономика и бухгалтерский учет базовой подготовки

100801 Товароведение и экспертиза качества потребительских товаров углубленной подготовки

СОДЕРЖАНИЕ

15

• ПР 3 Вычисление пределов функции и исследование функции на непрерывность……………………………………………………….

20

• ПР 4 Вычисление производных функций………………………….

28

• ПР 5 Исследование функции с помощью производной…………..

35

• ПР 6 Исследование функции по общей схеме и построение графика……………………………………………………………….

39

• ПР 7 Вычисление неопределенного и определенного интегралов……………………………………………………………

42

• ПР 8 Решение несложных задач на определение различных величин с помощью определенного интеграла……………………

50

• ПР 9 Выполнение действий над комплексными числами в алгебраической, тригонометрической и показательной формах…

57

• ПР 10 Решение простейших задачи на вычисление вероятности события……………………………………………….........................

62

• СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………………….

70

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Данные методические рекомендации предназначены для студентов по выполнению практических работ по УД «Математика» обучающихся на специальности СПО:

100701 Коммерция (по отраслям) базовой подготовки

080114 Экономика и бухгалтерский учет базовой подготовки

100801 Товароведение и экспертиза качества потребительских товаров углубленной подготовки

На УД «Математика» формируются следующие образовательные результаты:

ЗНАНИЯ

З 1

Значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы

З 2

Основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности

З 3

Основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики, линейной алгебры, теории комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики

З 4

Основы интегрального и дифференциального исчисления

ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЕ КОМПЕТЕНЦИИ

ПК 1.8

Использовать основные методы и приемы статистики для решения практических задач коммерческой деятельности, определять статистические величины, показатели вариации и индексы

ПК 2.1

Использовать данные бухгалтерского учета для контроля результатов и планирования коммерческой деятельности, проводить учет товаров (сырья, материалов, продукции, тары, других материальных ценностей) и участвовать в их инвентаризации

ПК 2.9

Применять методы и приемы анализа финансово-хозяйственной деятельности при осуществлении коммерческой деятельности, осуществлять денежные расчеты с покупателями, составлять финансовые документы и отчеты

ПК 3.7

Производить измерения товаров и других объектов, переводить внесистемные единицы измерений в системные

ОБЩИЕ КОМПЕТЕНЦИИ

ОК 02

Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

Для данной УД «Математика», где формируются следующие образовательные результаты:

п/п

Наименование практической работы

Формируемые образовательные результаты

РАЗДЕЛ 1 Определители и их свойства

ПР 1

Вычисление определителей

У1, З3, ОК2,ПК1.8

ПР 2

Решение систем линейных уравнений с 3-мя переменными по формулам Крамера и методом Гаусса.

У1, З3, ОК2,ПК1.8

РАЗДЕЛ 2 Дифференциальное и интегральное исчисление

ПР 3

Вычисление пределов функции и исследование функции на непрерывность.

У1, З4, ОК 2

ПР 4

Вычисление производных функций

У1, З4, ОК 2

ПР 5

Исследование функции с помощью производной

У1, З4, ОК 2

ПР 6

Исследование функции по общей схеме и построение графика

У1, З4, ОК 2

ПР 7

Вычисление неопределенного и определенного интегралов

У1, З4

ПР 8

Решение несложных задач на определение различных величин с помощью определенного интеграла

У1, З4

РАЗДЕЛ 3 Основы теории комплексных чисел. Теории вероятностей, математической статистики и дискретной математики.

ПР 9

Выполнение действий над комплексными числами в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.

У2,З2

ПР 10

Решение простейших задачи на вычисление вероятности события

У5,З2,

ПК2.1, 2.9,ОК2

ОТЧЕТ по каждой практической или лабораторной работе составляется на отдельных листах формата А4 по следующему образцу:

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.

ЦЕЛЬ: формирование навыков выполнения арифметических действий над матрицами;

формирование навыков вычисления определителей различных порядков.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ: задания находятся внутри практической работы, а варианты формируются преподавателем.

ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ПОДГОТОВКИ: [2], [3], [5], [7].

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ:

1. Определение матрицы. Виды матриц и их определения (матрица-строка, матрица-столбец; квадратная, диагональная, единичная матрицы).

2. Определение транспонированной матрицы. Правила сложения и вычитания матриц, умножение матрицы на число.

3. Правило нахождения произведения двух матриц.

4. Понятие определителя второго и третьего порядка и правила их вычисления.

5. Свойства определителей.

6. Способы вычисления определителей n-го порядка.

СОДЕРЖАНИЕ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ВАРИАНТА:

Задание 1. Выполнение арифметических действий над заданными матрицами.

Задание 2. Вычисление определителей второго, третьего и четвертого порядков.

Задание 3. Решение уравнения, содержащего определитель.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ВЫПОЛНЕНИЯ: задания выполняются в любом порядке

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЯМ:

Матрицей размером m×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Матрицу заключают в круглые скобки и обозначают заглавной буквой латинского алфавита. В общем виде матрицу размером m×n записывают так

, где числа a_ij называются элементами матрицы.

Диагональная матрица Е называется единичной, если все ее диагональные элементы равны 1.

Арифметические действия над матрицами:

1. Равенство матриц.

Для матриц и A=B, если a₁₁ = b₁₁, a₁₂ = b₁₂, a₂₁ = b₂₁ и a₂₂ = b₂₂.

2. Транспонирование матриц.

Для матрицы транспонированной будет матрица .

3. Сложение матриц.

Примечание: складывать матрицы можно только те, размер которых совпадает.

4. Умножение матрицы на число.

5. Произведение матриц.

Примечание: перемножать две матрицы можно только в том случае, если количество столбцов в первой матрице совпадает с количеством строк во второй матрице.

Определителем второго порядка, соответствующим квадратной матрице второго порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом: .

Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:

.

Правило «треугольника» для вычисления определителя третьего порядка: три произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников: , берутся со знаком "+", а три произведения элементов, стоящих на второй диагонали и в вершинах двух других треугольников: , берутся со знаком "-". Другими словами:

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 1. Выполните арифметические действия над заданными матрицами, используя основные правила.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 2. С помощью понятий определителей второго и третьего порядка вычислите заданные определители. Для вычисления определителя четвертого порядка разложите его по элементам первой строки на сумму определителей третьих порядков.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 3. Используя понятие определителя, найдите x из заданного уравнения.

ОТЧЕТ ДОЛЖЕН СОДЕРЖАТЬ:

1. Номер практической работы, ее название, номер выполняемого варианта.

2. Номер задания, условие решаемой задачи, решение задачи и результат решения задачи.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

ЗАДАНИЕ 1. Выполнение арифметических действий над заданными матрицами.

1.1

если

1.2

если

1.3

если

1.4

если

1.5

если

1.6

если

1.7

если

1.8

если

1.9

если

1.10

если

1.11

если

1.12

если

1.13

если

1.14

если

1.15

если

ЗАДАНИЕ 2. Вычисление определителей второго, третьего и четвертого порядков.

б)

в)

2.10

а)

б)

в)

2.11

а)

б)

в)

2.12

а)

б)

в)

2.13

а)

б)

в)

2.14

а)

б)

в)

2.15

а)

б)

в)

ЗАДАНИЕ 3. Решение уравнения, содержащего определитель.

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

3.10

3.11

3.12

3.13

3.14

3.15

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №2

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ ПО ФОРМУЛАМ КРАМЕРА И МЕТОДОМ ГАУССА

ЦЕЛЬ: формирование навыков решения систем линейных уравнений с тремя переменными по формулам Крамера;

формирование навыков решения систем линейных уравнений с тремя переменными методом Гаусса.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ: задания находятся внутри практической работы, а варианты формируются преподавателем.

ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ПОДГОТОВКИ: [2], [3], [5], [7].

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ:

1. Понятие системы линейных уравнений, матрицы системы и расширенной матрицы системы.

2. Определение решения системы линейных уравнений.

3. Определитель второго порядка и правило его вычисления.

4. Определитель третьего порядка и правила его вычисления.

5. Теорема Крамера.

6. Элементарные преобразования системы линейных уравнений.

7. Содержание метода Гаусса.

СОДЕРЖАНИЕ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ВАРИАНТА:

Задание 1. Решение системы линейных уравнений с тремя переменными по формулам Крамера.

Задание 2. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ВЫПОЛНЕНИЯ: задания выполняются в любом порядке.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЯМ:

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где a_ij и b_i (i=1,…,m; b=1,…,n) - некоторые известные числа, а x₁,…,x_n - неизвестные.

Матрицей системы называются коэффициенты при неизвестных переменных, записанные в виде матрицы:

Совокупность n чисел c₁,…,c_n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c₁,…,c_n вместо соответствующих неизвестных x₁,…,x_n.

Решение систем линейных уравнений:

1. Правило Крамера.

Для заданной системы линейных уравнений необходимо вычислить следующие определители:

,

;

Неизвестные переменные можно найти с помощью теоремы Крамера:

, где d  0.

Примечание: если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно; если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений.

2. Метод Гаусса.

Для заданной системы линейных уравнений необходимо выписать расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований матрицы привести ее к треугольному виду. Затем снова возвращаются к системе линейных уравнений и из вновь полученной системы находят значения неизвестных переменных.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 1. Для решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными вычислите определители d, d₁, d₂, d₃. Используя теорему Крамера, найдите неизвестные переменные.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 2. Для заданной системы уравнений выпишите расширенную матрицу системы. С помощью элементарных преобразований приведите матрицу к треугольному виду. От полученной матрицы перейдите вновь к новой системе уравнений с теми же неизвестными и, начиная с последнего уравнения системы, найдите все значения неизвестных.

ОТЧЕТ ДОЛЖЕН СОДЕРЖАТЬ:

1. Номер практической работы, ее название, номер выполняемого варианта.

2. Номер задания, условие решаемой задачи, решение задачи и результат решения задачи.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

ЗАДАНИЕ 1. Решение системы линейных уравнений с тремя переменными по формулам Крамера.1.1

а)

б)

1.2

а)

б)

1.3

а)

б)

1.4

а)

б)

1.5

а)

б)

1.6

а)

б)

1.7

а)

б)

1.8

а)

б)

1.9

а)

б)

1.10

а)

б)

1.11

а)

б)

1.12

а)

б)

1.13

а)

б)

1.14

а)

б)

1.15

а)

б)

ЗАДАНИЕ 2. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

2.10

2.11

2.12

2.13

2.14

2.15

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №3

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИИ И ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА НЕПРЕРЫВНОСТЬ.

ЦЕЛЬ: формирование навыков вычисления пределов функции с помощью раскрытия неопределенностей вида ;

формирование навыков отыскания области определения функции, исследование характера точек разрыва.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ: задания находятся внутри практической работы, а варианты формируются преподавателем.

ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ: [2], [4], [5], [8], [9]

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ:

1. Определение предела функции в точке, обозначение предела.

2. Определение предела функции на бесконечности.

3. Основные теоремы о пределах.

4. Табличные пределы.

5. Замечательные пределы.

6. Действия при раскрытии неопределенностей различных видов.

7. Определение непрерывности функции и в точке и на промежутке.

8. Определение точек разрыва и их классификация.

СОДЕРЖАНИЕ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ВАРИАНТА:

Задание 1. Вычисление пределов функций, раскрывая неопределенность вида _.

Задание 2. Вычисление пределов функций, раскрывая неопределенность вида , зависящую от иррациональности.

Задание 3. Вычисление пределов функций, раскрывая неопределенность вида _.

Задание 4. Вычисление предела функции, используя первый или второй замечательные пределы.

Задание 5. Построение графика функции, нахождение значений функции в точках, определение точек разрыва.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ВЫПОЛНЕНИЯ: задания выполняются в любом порядке.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЯМ:

Число b называется пределом функции у = f(x) в точке а (или при х, стремящемся к а), если для всех значений х, достаточно близких к а и отличных от а, значения функции f(x) сколь угодно мало отличаются от числа b, т.е. выполняется условие |f(x) - b| < , где - сколь угодно малое положительное число окрестности точки а, то есть .

Число b называется пределом функции у = f(x) на бесконечности, если при всех достаточно больших по модулю значений аргумента х соответствующие значения функции f(x) сколь угодно мало отличаются от числа b.

Табличные пределы:1

2

3

4

Свойства пределов функции:

Если существуют и , то

1. , где с = const

4. где

5. где с = const

6. Если f₁(x) f(x) f₂(x) и , то

9. .

Первый замечательный предел функции.

или .

Следствия из первого замечательного предела:

Второй замечательный предел функции.

или ,

Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке, который равен значению функции в этой точке, т.е. .

Точка а называется точкой разрыва функции f(x), если в этой точке НЕ выполняется условие непрерывности .

Классификация точек разрыва функции:

Разрыв I рода. В этом случае в точке х_о существуют конечные односторонние пределы (слева и справа).

При этом, если . Тогда говорят, что точка х_о - точка устранимого разрыва.

Если , то говорят, что х_о - точка скачка. И скачком функции f(x) в точке х_о называется разность .

Разрыв II рода. В этом случае в точке х_о в которой хотя бы один из односторонних пределов (слева и справа) не существует или бесконечен.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 1. Подставьте данное значение x в функцию и вычислите значение предела. Если значение предела равно , то разложите на множители выражения в числителе и знаменателе. Сократите необходимые выражения и снова подставьте значение x в новое выражение. При необходимости повторите разложение на множители.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 2. Подставьте данное значение x в функцию и вычислите значение предела. Если значение предела равно и в выражении присутствует радикал (квадратный корень), то числитель и знаменатель следует домножить на выражение сопряженное иррациональному. Упростите полученное выражение, сократив при необходимости некоторые множители. Снова подставьте значение x в новое выражение. При необходимости повторите действия.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 3. Подставьте данное значение x в функцию и вычислите значение предела. Если значение предела равно , то каждое слагаемое в числителе и знаменателе разделите на x в наивысшей степени всего выражения. При необходимости воспользуйтесь свойствами степеней. После того, как упростите выражение, подставьте значение x в полученное выражение и вычислите значение предела, используя табличные значения пределов.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 4. Преобразуйте выражения под знаком предела к такому виду, чтобы можно было воспользоваться первым или вторым замечательными пределами.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 5. Постройте график функции на заданных интервалах. Для соответствующих значений аргумента найдите значение функции, используя само задание функции или график. Определите характер заданных точек разрыва функции.

ОТЧЕТ ДОЛЖЕН СОДЕРЖАТЬ:

1. Номер практической работы, ее название, номер выполняемого варианта.

2. Номер задания, условие решаемой задачи, решение задачи и результат решения задачи.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задание 1. Вычисление пределов функций, раскрывая неопределенность вида _.1.1

а) ,

1.6

а) ,

1.11

а) ,

б) ,

б) ,

б) ,

1.2

а) ,

1.7

а) ,

1.12

а) ,

б) ,

б) ,

б) ,

1.3

а) ,

1.8

а) ,

1.13

а) ,

б) ,

б) ,

б)

1.4

а)

1.9

а) ,

1.14

а) ,

б) ,

б) ,

б) ,

1.5

а) ,

1.10

а) ,

1.15

а) ,

б)

б)

б)

Задание 2. Вычисление пределов функций, раскрывая неопределенность вида , зависящую от иррациональности.2.1

2.6

2.11

2.2

2.7

2.12

2.3

2.8

2.13

2.4

2.9

2.14

2.5

2.10

2.15

Задание 3. Вычисление пределов функций, раскрывая неопределенность вида _.3.1

а)

,

б)

.

3.2

а)

,

б)

.

3.3

а)

,

б)

.

3.4

а)

,

б)

.

3.5

а)

,

б)

.

3.6

а)

,

б)

.

3.7

а)

,

б)

.

3.8

а)

,

б)

.

3.9

а)

,

б)

.

3.10

а)

,

б)

.

3.11

а)

,

б)

.

3.12

а)

,

б)

.

3.13

а)

,

б)

.

3.14

а)

,

б)

.

3.15

а)

,

б)

.

Задание 4. Вычисление предела функции, используя первый или второй замечательные пределы.4.1

.

4.9

4.2

.

4.10

4.3

.

4.11

4.4

.

4.12

4.5

.

4.13

4.6

.

4.14

4.7

.

4.15

4.8

.

4.16

.

Задание 5. Построение графика функции, нахождение значений функции в точках, определение точек разрыва.

5.1

а)

Построить график.

б)

Найти .

в)

Исследовать функцию на непрерывность в точке .

5.2

а)

Построить график.

б)

Найти .

в)

Исследовать функцию на непрерывность в точке .

5.3

а)

Построить график.

б)

Найти .

в)

Исследовать функцию на непрерывность в точке .

5.4

а)

Построить график.

б)

Найти .

в)

Исследовать функцию на непрерывность в точке .

5.5

а)

Построить график.

б)

Найти .

в)

Исследовать функцию на непрерывность в точке .

5.6

а)

Построить график.

б)

Найти .

в)

Исследовать функцию на непрерывность в точке .

5.7

а)

Построить график.

б)

Найти .

в)

Исследовать функцию на непрерывность в точке .

5.8

а)

Построить график.

б)

Найти .

в)

Исследовать функцию на непрерывность в точке .

5.9

а)

Построить график.

б)

Найти .

в)

Исследовать функцию на непрерывность в точке .

5.10

а)

Построить график.

б)

Найти .

в)

Исследовать функцию на непрерывность в точке .

5.11

а)

Построить график.

б)

Найти .

в)

Исследовать функцию на непрерывность в точке .

5.12

а)

Построить график.

б)

Найти .

в)

Исследовать функцию на непрерывность в точке .

5.13

а)

Построить график.

б)

Найти .

в)

Исследовать функцию на непрерывность в точке .

5.14

а)

Построить график.

б)

Найти .

в)

Исследовать функцию на непрерывность в точке .

5.15

а)

Построить график.

б)

Найти .

в)

Исследовать функцию на непрерывность в точке .

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №4

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ФУНКЦИИ.

ЦЕЛЬ: формирование навыков вычисления производных функций;

формирование навыков дифференцирования сложной функции;

формирование навыков вычисления производных второго и третьего порядков;

формирование навыков записи дифференциала функции.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ: задания находятся внутри практической работы, а варианты формируются преподавателем.

ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ПОДГОТОВКИ: [2], [4], [5], [8], [9]

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ:

1. Определение производной и ее обозначения.

2. Понятие дифференцирования.

3. Определение сложной функции, правила и алгоритм нахождения производной.

4. Правила и формулы дифференцирования.

5. Определение дифференциала. Формула нахождения дифференциала функции.

6. Определение производных второго и третьего порядков.

СОДЕРЖАНИЕ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ВАРИАНТА:

Задание 1. Нахождение производной функций.

Задание 2. Вычисление производных сложных функций.

Задание 3. Нахождение производных второго и третьего порядков.

Задание 4. Вычисление дифференциалов функций.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ВЫПОЛНЕНИЯ: задания выполняются в любом порядке.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ:

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, т.е.

Дифференцирование - операция нахождения производной.

Правило вычисления производной функции в точке: Чтобы вычислить производную функции в точке , нужно в общее выражение производной вместо независимой переменной х подставить числовое значение , т.е. вычислит значение . Таким образом, производная в данной точке есть число, т.е.

Теорема (Необходимое условие существования производной): Если функция дифференцируема в данной точке, то в этой точке она непрерывна.

Производная второго порядка (вторая производная) от функции

есть производная от ее производной: _.

Производная третьего порядка (третья производная) от функции есть производная от ее второй производной: _.

Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента: dy =f '(x) dx.

Если y есть функция от : , где в свою очередь есть функция от аргумента : , то называется сложной функцией от : .

Правило вычисления сложной функции: Производная сложной функции равна производной заданной функции по промежуточному аргументу, умноженной на производную этого аргумента по независимой переменной, т.е. или

Правила дифференцирования

Если и - функции, зависящие от

1

3

, где с - const

2

4

Формулы дифференцирования

и - дифференцируемые функции, зависящие от ;

- постоянные величиныПроизводная сложной

функции

1

(с)' = 0

степенная функция

2

(x)' = 1

3

(x)ⁿ = n × x ^n-1, х  0, n > 1

(u)ⁿ = n × u ^n-1u', u  0, n > 1

4

, х  0

, u  0

5

, х  0

, u  0

показательная функция

6

7

логарифмическая функция

8

9

10

тригонометрическая функция

11

12

13

14

обратная тригонометрическая функция

15

16

17

18

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 1. Вычислите производную функцию, использую правила и формулы дифференцирования элементарных функций. Если необходимо найти значение производной функции в заданной точке, то сначала вычислите производную функции, а затем в найденную производную подставьте значение x.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 2. Найдите производную сложной функции, используя правила дифференцирования и таблицу производных сложных функций.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 3. Найдите сначала производную первого порядка от заданной функции. Затем найдите производную от найденной производной - это и будет вторая производная функции. После найдите производную от второй производной - это и будет производная третьего порядка для заданной функции.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 4. Найдите производную функции. Используя понятие дифференциала функции запишите дифференциал для заданной функции.

ОТЧЕТ ДОЛЖЕН СОДЕРЖАТЬ:

1. Номер практической работы, ее название, номер выполняемого варианта.

2. Номер задания, условие решаемой задачи, решение задачи и результат решения задачи.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задание 1. Нахождение производной функций.1.1

а)

б)

1.2

а)

б)

1.3

а)

б)

1.4

а)

б)

1.5

а)

б)

1.6

а)

б)

1.7

а)

б)

1.8

а)

б)

1.9

а)

б)

1.10

а)

б)

1.11

а)

б)

1.12

а)

б)

1.13

а)

б)

1.14

а)

б)

1.15

а)

б)

ЗАДАНИЕ 2. Вычисление производных сложных функций.2.1

а)

2.3

а)

б)

б)

в)

в)

2.2

а)

2.4

а)

б)

б)

в)

в)

2.5

а)

2.11

а)

б)

б)

в)

в)

2.6

а)

2.12

а)

б)

б)

в)

в)

2.7

а)

2.13

а)

б)

б)

в)

в)

2.8

а)

2.14

а)

б)

б)

в)

в)

2.9

а)

2.15

а)

б)

б)

в)

в)

2.10

а)

б)

в)

ЗАДАНИЕ 3. Нахождение производных второго и третьего порядков._а)

,

_3.6

а)

_,

_б)

,

б)

_,

3.2

_а)

,

_3.7

а)

_,

_б)

,

б)

_,

3.3

_а)

,

_3.8

а)

_,

_б)

,

б)

_,

3.4

_а)

,

_3.9

а)

_,

_б)

,

б)

_,

3.5

_а)

,

_3.10

а)

_,

_б)

,

б)

_,

3.11

_а)

,

_3.14

а)

_,

_б)

,

б)

_,

3.12

_а)

,

_3.15

а)

_,

_б)

,

б)

_,

3.13

_а)

,

_б)

ЗАДАНИЕ 4. Вычисление дифференциалов функций.4.1

а)

б)

4.2

а)

б)

4.3

а)

б)

4.4

а)

б)

4.5

а)

б)

4.6

а)

б)

4.7

а)

б)

4.8

а)

б)

4.9

а)

б)

4.10

а)

б)

4.11

а)

б)

4.12

а)

б)

4.13

а)

б)

4.14

а)

б)

4.15

а)

б)

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №5

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ.

ЦЕЛЬ: формирование навыков исследования функции на монотонность, экстремумы, выпуклость и точки перегиба с помощью производной функции.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ: задания находятся внутри практической работы, а варианты формируются преподавателем.

ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ПОДГОТОВКИ: [2], [4], [5], [8], [9]

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ:

1. Определение убывающей и возрастающей функции, монотонности.

2. Нахождение монотонности с помощью первой производной.

3. Правило нахождения монотонности функции с помощью первой производной.

4. Определения точек минимума и максимума, точек экстремума, критических точек.

5. Нахождение точек минимума и максимума.

6. Правило нахождения экстремумов функции с помощью первой производной.

7. Определение выпуклости вниз и вверх.

8. Нахождение выпуклости вниз или вверх с помощью второй производной.

9. Определение точек перегиба.

10. Нахождение точек перегиба с помощью второй производной.

11. Правило нахождения точек перегиба.

СОДЕРЖАНИЕ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ВАРИАНТА:

Задание 1. Исследование функции на монотонность.

Задание 2. Исследование функции на экстремумы.

Задание 3. Исследование функции на выпуклость и точки перегиба

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ВЫПОЛНЕНИЯ: задания выполняются в любом порядке.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЯМ:

Достаточное условие возрастания (убывания функции). Пусть функция дифференцируема на интервале . Если во всех точках этого интервала , то функция возрастает на этом интервале, а если , то функция убывает на этом интервале.

Точка x = x₀ называется точкой максимума, а число - максимумом функции, если для всех точек из некоторой окрестности точки x₀, не совпадающих с x₀ , выполняется неравенство .

Точка x = x₀ называется точкой минимума, а число - минимумом функции, если для всех точек из некоторой окрестности точки x₀ , не совпадающих с точкой x₀ , выполняется неравенство .

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Достаточное условие существования экстремума. Если функция непрерывна в точке x = x₀ , дифференцируема в некоторой окрестности этой точки, и при переходе через точку x₀ производная меняет знак,

то x = x₀ - точка:

а) - максимум, если , при и , при .

б) - минимум, если , при и , при .

</ Достаточные условия точки перегиба. Если функция дважды дифференцируема, график этой функции имеет в этой точке касательную и при переходе через эту точку меняет знак, то x₀ - точка перегиба графика функции .

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 1. Для заданной функции найдите область определения. Найдите производную функцию и критические точки первого рода, приравняв первую производную функции к нулю. Исследуйте производную функции методом интервалов, включая область определения функции, и сделайте вывод о монотонности заданной функции.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 2. Для заданной функции выясните характер монотонности и на основе ее монотонности сделайте вывод о существовании точек экстремумом. Для найденных точек экстремумов вычислите соответствующие значения экстремумов функции.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 3. Для заданной функции найдите область определения. Вычислите производную функции. Вычислите вторую производной для данной функции. Найдите критические точки второго рода, приравняв вторую производную функции к нулю. Исследуйте вторую производную функции методом интервалов, включая область определения функции. Сделайте вывод о выпуклости заданной функции и о существовании точек перегиба. Для найденных значений аргумента точек перегиба найдите соответствующие значения функции.

ОТЧЕТ ДОЛЖЕН СОДЕРЖАТЬ:

1. Номер практической работы, ее название, номер выполняемого варианта.

2. Номер задания, условие решаемой задачи, решение задачи и результат решения задачи.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задание 1. Исследование функции на монотонность.

1.1

1.6

1.11

1.2

1.7

1.12

1.3

1.8

1.13

1.4

1.9

1.14

1.5

1.10

1.15

ЗАДАНИЕ 2. Исследование функции на экстремумы.

2.1

2.6

2.11

2.2

2.7

2.12

2.3

2.8

2.13

2.4

2.9

2.14

2.5

2.10

2.15

ЗАДАНИЕ 3. Исследование функции на выпуклость и точки перегиба.

3.1

3.6

3.11

3.2

3.7

3.12

3.3

3.8

3.13

3.4

3.9

3.14

3.5

3.10

3.15

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №6

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ПО ОБЩЕЙ СХЕМЕ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА.

ЦЕЛЬ: формирование навыков исследования по общей схеме функции, заданной аналитически;

формирование навыков построения графика функции по известным ее свойствам.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ: задания находятся внутри практической работы, а варианты формируются преподавателем.

ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ПОДГОТОВКИ: [2], [4], [5], [8], [9]

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ:

1. Область определения функции.

2. Точки разрыва.

3. Четность и нечетность функции.

4. Периодичность функции.

5. Нули функции.

6. Промежутки знакопостоянства функции.

7. Монотонность функции.

8. Экстремумы функции.

9. Выпуклость функции.

10. Точки перегиба функции.

11. Асимптоты функции.

СОДЕРЖАНИЕ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ВАРИАНТА:

Задание. Исследование функции по общей схеме и построение её графика.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ВЫПОЛНЕНИЯ: задания выполняются в любом порядке.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЯМ:

Общая схема исследования функции, заданной аналитически:

1. Область определения и точки разрыва.

2. Четность и нечетность функции, периодичность.

Для определения четности/нечетности функции в данную функцию подставляют (-х) и проверяют выполнение условий:

Для выяснения периодичности следует проверить выполнение условия:

f(x - T) = f(x) = f(x + T) , где Т - период.

3. Точки пересечения графика с осями координат Ох и Оу:

а) с осью Ох: у = 0;

б) с осью Оу: х = 0.

4. Промежутки знакопостоянства.

5. Монотонность функции и экстремумы.

6. Выпуклость функции и точки перегиба.

7. Асимптоты графика:

а) вертикальные асимптоты;

или  х = а

б) горизонтальные асимптоты;

или  х = b

в) наклонные асимптоты.

,  y = kx + b

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ. Заданную функции исследуйте по общей схеме и по полученным данным постройте её график. Если недостаточно, то рассмотрите дополнительные точки.

ОТЧЕТ ДОЛЖЕН СОДЕРЖАТЬ:

1. Номер практической работы, ее название, номер выполняемого варианта.

2. Номер задания, условие решаемой задачи, решение задачи и результат решения задачи.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задание. Исследуйте функцию по общей схеме и постройте её график.

1

11

21

2

12

22

3

13

23

4

14

24

5

15

25

6

16

26

7

17

27

8

18

28

9

19

29

10

20

30

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №7

ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ И ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.

ЦЕЛЬ: формирование навыков вычисления неопределенных интегралов различными методами;

формирование навыков вычисления значения определенных интегралов различными методами.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ: задания находятся внутри практической работы, а варианты формируются преподавателем.

ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ПОДГОТОВКИ: [2], [4], [5], [8], [9]

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ:

1. Понятие интегрирования.

2. Понятие первообразной, ее свойство и геометрический смысл.

3. Понятие и обозначение неопределенного интеграла.

4. Основные свойства неопределенного интеграла.

5. Таблица интегралов.

6. Понятие определенного интеграла.

7. Основные свойства определенного интеграла.

8. Методы интегрирования интегралов.

СОДЕРЖАНИЕ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ВАРИАНТА:

Задание 1. Вычисление неопределенных интегралов непосредственным интегрированием.

Задание 2. Вычисление неопределенных интегралов методом замены.

Задание 3. Нахождение значений определенных интегралов непосредственным интегрированием.

Задание 4. Нахождение значений определенных интегралов методом замены.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЯМ:

Функция у = F(x) называется первообразной для функции у = f(x) на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется условие .

Основное свойство первообразной: Если y = F(x) - первообразная для функции f(x) на некотором промежутке, то у функции f(x) бесконечно много первообразных, и все эти первообразные имеют вид y = F(x) + С.

Множества функций F(x) + С всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается так: .

Интегрирование - это действие нахождения (восстановления) функции по заданной производной или дифференциалу.

Свойства неопределенных интегралов:

,

где k -const

4)

Таблица интегралов:

a > 0

a  1

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Свойства определенных интегралов:

Формула Ньютона-Лейбница

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 1. С помощью свойств и таблицы интегралов вычислите неопределенные интегралы.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 2. Сделайте замену части подынтегральной функции через новую переменную. Выразите всё оставшееся выражение под знаком интеграла через новую переменную. При необходимости упростите подынтегральное выражение от новой переменной и вычислите интеграл с помощью таблицы интегралов. Не забудьте сделать обратную замену, т.е вернуться к заданной переменной.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 3. С помощью свойств и таблицы интегралов вычислите интегралы. Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислите значение интеграла при заданных пределах интегрирования.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 4. Сделайте замену части подынтегральной функции через новую переменную. Выразите всё оставшееся выражение под знаком интеграла через новую переменную. Не забудьте перейти к новым пределам интегрирования. При необходимости упростите подынтегральное выражение от новой переменной и вычислите интеграл с помощью таблицы интегралов. С помощью формулы Ньютона-Лейбница вычислите значение интеграла.

ОТЧЕТ ДОЛЖЕН СОДЕРЖАТЬ:

1. Номер практической работы, ее название, номер выполняемого варианта.

2. Номер задания, условие решаемой задачи, решение задачи и результат решения задачи.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задание 1. Вычисление неопределенных интегралов непосредственным методом.1.1

а)

б)

в)

1.2

а)

б)

в)

1.3

а)

б)

в)

1.4

а)

б)

в)

1.5

а)

б)

в)

1.6

а)

б)

в)

1.7

а)

б)

в)

1.8

а)

б)

в)

1.9

а)

б)

в)

1.10

а)

б)

в)

1.11

а)

б)

в)

1.12

а)

б)

в)

1.13

а)

б)

в)

1.14

а)

б)

в)

1.15

а)

б)

в)

ЗАДАНИЕ 2. Вычисление неопределенных интегралов методом замены.2.1

а)

в)

д)

б)

г)

е)

2.2

а)

в)

д)

б)

г)

е)

2.3

а)

в)

д)

б)

г)

е)

2.4

а)

в)

д)

б)

г)

е)

2.5

а)

в)

д)

б)

г)

е)

2.6

а)

в)

д)

б)

г)

е)

2.7

а)

в)

д)

б)

г)

е)

2.8

а)

в)

д)

б)

г)

е)

2.9

а)

в)

д)

б)

г)

е)

2.10

а)

в)

д)

б)

г)

е)

2.11

а)

в)

д)

б)

г)

е)

2.12

а)

в)

д)

б)

г)

е)

2.13

а)

в)

д)

б)

г)

е)

2.14

а)

в)

д)

б)

г)

е)

2.15

а)

в)

д)

б)

г)

е)

ЗАДАНИЕ 3. Нахождение значений определенных интегралов непосредственным интегрированием.3.1

а)

б)

в)

3.2

а)

б)

в)

3.3

а)

б)

в)

3.4

а)

б)

в)

3.5

а)

б)

в)

3.6

а)

б)

в)

3.7

а)

б)

в)

3.8

а)

б)

в)

3.9

а)

б)

в)

3.10

а)

б)

в)

3.11

а)

б)

в)

3.12

а)

б)

в)

3.13

а)

б)

в)

3.14

а)

б)

в)

3.15

а)

б)

в)

ЗАДАНИЕ 4. Нахождение значений определенных интегралов методом замены.4.1

а)

б)

в)

4.2

а)

б)

в)

4.3

а)

б)

в)

4.4

а)

б)

в)

4.5

а)

б)

в)

4.6

а)

б)

в)

4.7

а)

б)

в)

4.8

а)

б)

в)

4.9

а)

б)

в)

4.10

а)

б)

в)

4.11

а)

б)

в)

4.12

а)

б)

в)

4.13

а)

б)

в)

4.14

а)

б)

в)

4.15

а)

б)

в)

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №8

РЕШЕНИЕ НЕСЛОЖНЫХ ЗАДАЧ НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ВЕЛИЧИН С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

ЦЕЛЬ: формирование навыков применения определенных интегралов к решению несложных задач.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ: задания находятся внутри практической работы, а варианты формируются преподавателем.

ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ПОДГОТОВКИ: [2], [4], [5], [8], [9]

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ:

1. Геометрический смысл определенного интеграла.

2. Основные расположения плоских фигур в системе координат.

3. Геометрические приложения определенного интеграла.

4. Физические приложения определенного интеграла.

СОДЕРЖАНИЕ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ВАРИАНТА:

Задание 1. Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной линиями.

Задание 2. Вычисление объема тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями.

Задание 3. Вычисление пути, пройденного точкой.

Задание 4. Вычисление работы силы.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ВЫПОЛНЕНИЯ: задания выполняются в любом порядке.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЯМ:

Геометрический смысл определенного интеграла: определенный интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной:прямыми х = а и х = b;

осью Ох ( у = 0);

частью графика непрерывной и неотрицательной функции

Формула Ньютона-Лейбница

Основные случаи расположения плоской фигуры.

1

2

3

4

5

6

Некоторые приложения определенного интеграла.

1

Объем тела вращения

V

y = f(x)

a, b

-

-

-

объем тела вращения, м³;

функция, график которой есть кривая, вращающаяся вокруг оси ОХ и образующая;

пределы интегрирования.

2

Путь, пройденный точкой

S

-

путь, пройденный точкой, м;

 = f(t)  0

-

переменная скорость, м/с²;

[t₁; t₂]

-

рассматриваемый промежуток времени.

3

Работа силы

А

-

работа силы, Дж;

F = F(x)

-

переменная сила, действующая при перемещении оси ОХ материальной точки;

[a; b]

-

перемещение материальной точки.

При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон Гука

F = kx

F

-

сила, Н;

х

-

абсолютное удлинение пружины (м), вызванной силой F (Н);

k

-

коэффициент пропорциональности, н / м.

4

Сила давления жидкости

Р

-

сила давления жидкости, Н;



-

плотность жидкости, кг/м³;

g

-

ускорение свободного падения, g  9,81 м/с²;

S(x)

-

переменная площадь площадки, м²;

a  х  b

-

глубина погружения площадки, м.

5

Длина дуги плоской кривой

l

-

длина дуги плоской кривой;

y = f(x)

-

непрерывная функция (уравнение кривой);

y' = f'(x)

-

непрерывно-дифференцируемая функция

a  х  b

-

рассматриваемый промежуток длины дуги плоской кривой.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 1. В одной системе координат постройте заданные линии и определите фигуру, площадь которой следует найти. Ориентируясь на полученное изображение и приравнивая соответствующие линии, найдите пределы интегрирования. Выберите формулу из таблицы расположения плоских фигур и подсчитайте площадь.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 2. В одной системе координат постойте заданные линии и определите фигуру, которую следует вращать. Найдите пределы интегрирования. Подставьте все найденные значения в формулу объема и вычислите его.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 3. Используя формулы из таблицы приложений определенного интеграла, вычислить значение нужной величины.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 4. Используя формулы из таблицы приложений определенного интеграла, вычислить значение нужной величины.

ОТЧЕТ ДОЛЖЕН СОДЕРЖАТЬ:

1. Номер практической работы, ее название, номер выполняемого варианта.

2. Номер задания, условие решаемой задачи, решение задачи и результат решения задачи.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задание 1. Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной линиями.

Задание 2. Вычисление объема тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями.

Задание 3. Вычисление пути, пройденного точкой.Тело движется прямолинейно со скоростью (V - в м/с). Найдите длину пути, пройденного телом за 5-ю секунду его движения.

3.2

Точка движется прямолинейно с ускорением (а - в м/с²). Найти уравнение скорости, если м/с.

3.3

Скорость движения тела меняется по закону (V - в м/с). Найти закон движения тела, если м.

3.4

Скорость прямолинейного движения тела задана уравнением (V - в м/с). Вычислите его путь, пройденный телом за четвертую секунду.

3.5

Найдите путь, пройденный движущимся по прямой телом от начала движения до остановки, если скорость его определяется по формуле . (V - в м/с)

3.6

Скорость прямолинейного движения точки . Найдите закон движения точки, если за время t = 2 с она прошла путь 8 м.

3.7

Скорость прямолинейного движения точки задана формулой . Найдите закон движения точки, если в момент точка находилась на расстоянии S = 4 м от начала отсчета.

3.8

Два тела одновременно выходят из одной точки: одно - со скоростью м/с, другое - со скоростью м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 20 с, если движутся по прямой в одном направлении?

3.9

Два тела одновременно начали прямолинейное движение из некоторой точки в одном направлении со скоростями м/с и м/с. Через сколько секунд расстояние между н6ими будет равно 250 м?

3.10

Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью м/с. Какова наибольшая высота, на которую оно поднимется, если скорость тела и ?

3.11

Тело брошено вертикально вверх со скоростью, которая изменяется по закону (V - в м/с). Найдите наибольшую высоту подъема.

3.12

Найдите длину пути, пройденного телом от начала движения до остановки, если его скорость изменялась по закону (м/с).

3.13

Два тела начинают движение одновременно из одной и той же точки по одной и той же прямой в одном и том же направлении: одно со скоростью (м/с), другое со скоростью (м/с). На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 10 с?

3.14

Скорость прямолинейного движения определяется формулой (м/с). Определите путь, пройденный телом за четвертую секунду.

3.15

Скорость падающего в пустоте тела определяется по формуле (м/с). Какой путь пройдет тело за первые 20 с падения?

Задание 4. Вычисление работы силы.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №9

ВЫПОЛНЕНИЕ ДЕЙСТВИЙ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ, ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ И ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФОРМАХ.

ЦЕЛЬ: формирование навыков выполнения арифметических действий над комплексными числами;

формирование навыков перехода от одной формы комплексного числа к другой и обратно;

формирование навыков выполнения арифметических действий над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ: задания находятся внутри практической работы, а варианты формируются преподавателем.

ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ПОДГОТОВКИ: [3], [5], [7].

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ:

1. Определение мнимой единицы. Алгебраическая форма комплексного числа.

2. Понятие сопряженного и противоположного комплексных чисел.

3. Решение квадратных уравнений.

4. Геометрическая интерпретация комплексного числа.

5. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

6. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

7. Действия над комплексными числами в показательной форме.

СОДЕРЖАНИЕ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ВАРИАНТА:

Задание 1. Решение квадратных уравнений.

Задание 2. Выполнение действий над комплексными числами в алгебраической форме.

Задание 3. Выполнение действий над комплексными числами в тригонометрической форме.

Задание 4. Выполнение действий над комплексными числами в показательной форме.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЯМ:

Алгебраическая форма записи .

Мнимой единицей называется величина .

Тригонометрическая форма записи , где - модуль комплексного числа и , - аргумент комплексного числа и и .

Показательная форма записи , где .

Решение квадратного уравнения при :два равных действительных корня

если

два различных действительных корня и

если

два различных комплексных корня

и .

Действия над комплексными числами

иТригонометрическая

форма

Показательная форма

сравнение

сложение

------------------

---------------------

вычитание

------------------

---------------------

умножение

деление

возведение в степень

Используя формулы сокращенного умножения и

извлечение корня n-ой степени

------------------

,

где

Таблица значений тригонометрических функций числового аргумента

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 1. Решите заданные квадратные уравнения, учитывая при вычислении дискриминанта .

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 2. Используя основные формулы для выполнения арифметических действий над комплексными числами, выполните действия в алгебраической форме.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 3. Переведите заданные комплексные числа в тригонометрическую форму и выполните заданные действия над числами в этой форме.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 4. Переведите комплексные числа в показательную форму и выполните заданные действия над ними в этой форме.

ОТЧЕТ ДОЛЖЕН СОДЕРЖАТЬ:

1. Номер практической работы, ее название, номер выполняемого варианта.

2. Номер задания, условие решаемой задачи, решение задачи и результат решения задачи.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задание 1. Решение квадратных уравнений.1.1

1.9

1.2

1.10

1.3

1.11

1.4

1.12

1.5

1.13

1.6

1.14

1.7

1.15

1.8

ЗАДАНИЕ 2. Выполнение действий над комплексными числами в алгебраической форме2.1

2.9

2.2

2.10

2.3

2.11

2.4

2.12

2.5

2.13

2.6

2.14

2.7

2.15

2.8

ЗАДАНИЕ 3. Выполнение действий над комплексными числами в тригонометрической форме: , где - номер варианта.

3.9.

3.2.

3.10.

3.3.

3.11

3.4

3.12

3.5

3.13

3.6

3.14

3.7

3.15

3.8

ЗАДАНИЕ 4. Выполнение действий над комплексными числами в показательной форме: , где - номер варианта.

4.9

4.2

4.10

4.3

4.11

4.4

4.12

4.5

4.13

4.6

4.14

4.7

4.15

4.8

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №10

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЙ.

ЦЕЛЬ: формирование навыков решения комбинаторных задач;

формирование навыков решения простейших задач на вычисление вероятности события.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ: задания находятся внутри практической работы, а варианты формируются преподавателем.

ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ПОДГОТОВКИ: [3], [5], [7].

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ:

1. Понятие случайного события. Совместные и несовместные события. Возможные, невозможные и равновозможные события.

2. Сочетание, размещение, перестановка.

3. Классическое определение вероятности.

4. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

5. Условная вероятность.

6. Формула полной вероятности.

СОДЕРЖАНИЕ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ВАРИАНТА:

Задание 1. Решение комбинаторной задачи.

Задание 2. Решение комбинаторного уравнения для всех натуральных n.

Задание 3. Решение задач на определение вероятности события.

Задание 4. Решение задач на формулу полной вероятности.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ВЫПОЛНЕНИЯ: задания выполняются в любом порядке.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ:

=

3

Формула сочетания

=

=

4

Теорема сложения

а) Несовместимые события

б) Совместимые события

а)

б)

5

Теорема умножения

а) Несовместимые события

б) Совместимые события

а) )

б)

6

Формула классического определения вероятности

7

Формула условной вероятности

8

Формула полной вероятности

9

Формула Байеса

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 1. Используя формулы комбинаторики, вычислите количество способов.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 2. Используя формулы комбинаторики решите уравнение. Не забудьте учесть, что n - натуральное число.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 3. Подсчитайте число всех исходов случайного события. Подсчитайте число благоприятствующих исходов. С помощью классического определения вероятности случайного события вычислите необходимую вероятность.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 4. Определите случайное событие. Задайте гипотезы. Вычислите вероятности выполнения гипотез и случайного события при выполнении гипотез. Используя формулу полной вероятности случайного события вычислите вероятность.

ОТЧЕТ ДОЛЖЕН СОДЕРЖАТЬ:

1. Номер практической работы, ее название, номер выполняемого варианта.

2. Номер задания, условие решаемой задачи, решение задачи и результат решения задачи.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

ЗАДАНИЕ 1. Решение комбинаторной задачи.

1. А) Саша, Петя, Денис, Оля, Настя часто ходят в кафе. Каждый раз, обедая там, они рассаживаются по-разному. Сколько дней друзья смогут это сделать без повторения?

Б) Свете на день рождения подарили 4 плюшевых игрушки, 2 мяча и 5 кукол. Мама положила все игрушки в большую коробку. Сколькими способами Света сможет достать из коробки 1 плюшевую игрушку, 1 мяч и 1 куклу?

2. А) Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 6, 7, 9?

Б) Мисс Марпл, расследуя убийство, заметила отъезжающее от дома мистера Дэвидсона такси. Она запомнила первую цифру "2". В городке номера машин были трехзначные и состояли из цифр 1,2,3,4 и 5. Скольких водителей, в худшем случае, ей придется опросить, чтобы найти настоящего убийцу?

3. А) В группе 6 человек (Галя, Света, Катя, Оля, Максим, Витя) учатся на все пятерки. Департамент образования премировал лучших студентов путевками в Анапу. Но, к сожалению, путевок всего четыре. Сколько возможно вариантов выбора студентов на отдых?

Б) На выборах победили 9 человек - Сафонов, Николаев, Петров, Кулаков, Мишин, Гусев, Володин, Афонин, Титов. Из них нужно выбрать председателя, заместителя и профорга. Сколькими способами это можно сделать?

4. А) В ювелирную мастерскую привезли 6 изумрудов, 9 алмазов и 7 сапфиров. Ювелиру заказали браслет, в котором 3 изумруда, 5 алмазов и 2 сапфиров. Сколькими способами он может выбрать камни на браслет?

Б) В районе построили новую школу. Из пришедших 25 человек нужно выбрать директора школы, завуча начальной школы, завуча среднего звена и завуча по воспитательной работе. Сколькими способами это можно сделать?

5. А) В студенческом общежитии в одной комнате живут трое студентов Петя, Вася и Коля. У них есть 6 чашек, 8 блюдец и 10 чайных ложек (все принадлежности отличаются друг от друга). Сколькими способами ребята могут накрыть стол для чаепития (так, что каждый получит чашку, блюдце и ложку)?

Б) В кабинете заведующего ювелирного магазина имеется код, состоящий из двух различных гласных букв русского алфавита, за которой следуют 3 различные цифры. Сколько вариантов придется перебрать мошеннику, чтобы раздобыть драгоценности, которые там хранятся?

6. А) Сколькими способами можно составить трехцветный флаг из полос разной ширины, если имеются материи из 8 тканей?

Б) На 1 курсе 15 дисциплин. Диспетчеру колледжа нужно составить расписание на субботу, если в этот день 5 предметов. Сколько различных вариантов расписания можно составить, если все предметы различные?

7. А) В огороде у бабушки растут 3 белые, 2 алые и 4 чайных розы. Сколькими различными способами можно составить букет из трех роз разного цвета?

Б) К 60-летию Победы группа студентов отправилась по местам боевых действий в Смоленской области. Они планировали осуществить поход по маршруту деревни Сосновка-Быковка- Масловка- Видово. Из С в Б можно проплыть по реке или пройти пешком, из Б в М- пешком или на автобусе, из М в В - по реке, пешком или автобусе. Сколько вариантов похода есть у студентов?

8. А) Сколькими различными способами можно рассадить за круглым столом 10 гостей? Один способ отличается от другого, если у кого-то из гостей меняется хотя бы один сосед.

Б) Имеется пять кусков материи разных цветов. Сколько различных флагов можно скроить из этих кусков, если каждый флаг состоит из трёх горизонтальных полос разного цвета?

9. А) Каждая из 5 различных коммерческих организаций намеревается принять на работу одного из 5 выпускников коммерческого отделения факультета МЭО. В каждой из этих организаций выпускнику предлагается на выбор одна из 4 должностей. Сколько существует вариантов распределения этих 5 выпускников на работу?

Б) Сколько можно составить различных семизначных телефонных номеров? Сколько будет номеров, у которых все цифры разные?

10. А) Сколькими способами 7 различных путевок можно распределить в бригаде из семи рабочих?

Б) У одного человека есть 7 книг, а у другого - 9 книг. Сколькими способами они могут обменять три книги одного на три книги другого?

11. А) Сколько можно изготовить различных трехцветных флажков, если использовать следующие цвета: белый, синий, красный, желтый, зеленый, черный?

Б) Бригада строителей состоит из 16-ти штукатуров и 4-х маляров. Сколькими способами бригаду можно разделить на две бригады, чтобы в одной из них было 10 штукатуров и 2 маляра, а в другой 6 штукатуров и 2 маляра?

12. А) Сколькими способами можно увезти со склада 10 ящиков на двух автомашинах, если на каждую автомашину грузят по 5 ящиков?

Б) Сколькими способами можно разложить 10 книг на 5 бандеролей по две книги в каждой (порядок бандеролей не принимается во внимание)?

13. А) Группа из 28 учащихся обменялась фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?

Б) Сколькими способами колода в 52 карты может быть роздана 13-ти игрокам так, чтобы каждый игрок получил по одной карте каждой масти?

14. А) На погранзаставе 40 рядовых и 8 офицеров. Сколькими способами из них можно составить наряд по охране границы, если он состоит из двух офицеров и четырех рядовых?

Б) Сколькими способами можно расставить 10 книг на полке так, чтобы две определённые книги не стояли рядом? Чтобы три, четыре определенные книги не стояли рядом?

15. А) Сколькими способами можно разложить 6 одинаковых шаров по трём ящикам, если каждый ящик может вместить все шары?

Б) Десять участников финала разыгрывают одну золотую, одну серебряную и одну бронзовую медали. Сколькими способами эти награды могут быть распределены между спортсменами?

ЗАДАНИЕ 2. Решение комбинаторного уравнения для всех натуральных n.

2.1.

2.9

2.2

2.10

2.3

2.11

2.4

2.12

2.5

2.13

2.6

2.14

2.7

2.15

2.8

ЗАДАНИЕ 3. Решение задач на определение вероятности.

3.1 В магазин поступило 30 телевизоров, 5 среди которых имеют скрытые дефекты. Наудачу отбираются 2 телевизора для проверки. Какова вероятность того, что оба они не имеют дефектов?

3.2 Вероятность безотказной работы двух независимо работающих сигнализаторов равна 0,6 и 0,7. Вероятность того, что сработают: а) оба сигнализатора, б) хотя бы один сигнализатор.

3.3 Изделия проверяются на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартного равна 0,8. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартно.

3.4 Партия товара, состоящая из 15 ящиков, подлежит приемке, если при проверке наугад двух выбранных ящиков окажется, что содержащиеся в них изделия удовлетворяют стандарту. Найти вероятность приемки партии, содержащей в 5 ящиках нестандартные изделия.

3.5 В группе специалистов 3 экономиста и 5 юристов. Для проведения проверки работы фирмы наудачу отбираются 4 специалиста. Какова вероятность того, что эта группа состоит из двух юристов и двух экономистов?

3.6 В партии деталей 12 стандартных изделий и 3 нестандартных. 5 деталей, выбранных наудачу, проверяют на соответствие стандарту. Найти вероятность того, что среди них не окажется нестандартных.

3.7 В экзаменационном билете три вопроса. Вероятность ответа на первый вопрос - 0,9; на второй - 0,7; на третий - 0,5. Найти вероятности получения различных оценок.

3.8 На складе телевизионного ателье из имеющихся 20 микросхем 6 изготовлены первым заводом, остальные - вторым. Найти вероятность того, что две наудачу взятых микросхемы изготовлены первым заводом.

3.9 Студент знает 20 вопросов из 25-ти. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса?

3.10 В рабочем поселке 11 торговых точек, 8 из которых - ИП. Для проверки наудачу отбираются 5. Какова вероятность того, что в число проверяемых попадут только частные торговые предприятия?

3.11 В ящике в случайном порядке положено 10 деталей, из которых 4 стандартных. Контролер взял наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них оказалась стандартной.

3.12 Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 4, либо 5, либо тому и другому одновременно.

3.13 В урне находятся 20 белых и 15 черных шаров. Наудачу вынимают один шар, который оказался белым, и откладывают его в сторону. После этого берут еще один шар. Найти вероятность того, что тот шар также окажется белым.

3.14 В партии десять пар мужской обуви, восемь пар женской обуви и двенадцать пар - детской. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу пар обуви окажется две детские и четыре мужские.

3.15 В коробке лежат детали I, II, III сортов. Найти вероятность того, что из пяти взятых деталей две детали окажутся I сорта, две - II сорта, одна - III сорта, если всего деталей I сорта - 10 штук, II сорта - 15 штук, III сорта - 5 штук.

ЗАДАНИЕ 4. Решение задач на формулу полной вероятности

4.1 Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,06, на втором - 0,02. Производительность первого автомата втрое больше, чем второго. Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь нестандартна.

4.2 Три хлебокомбината города производят продукцию, обеспечивающую город хлебобулочными продуктами в пропорции 2:3:5. Первый хлебокомбинат производит 30% продукции высшего качества, второй - 40%, третий - 60%. Найти вероятность того, что приобретенное хлебобулочное изделие оказалось высшего качества. Приобретенный продукт оказался высшего качества, найти вероятность того, что это изделие изготовлено на втором хлебокомбинате.

4.3 Сообщение можно передать письмом, по телефону и по факсу с одинаковой вероятностью. Вероятность того, что сообщение дойдет до получателя в каждой из перечисленных возможностей соответственно равны 0,7, 0,6 и 0,9. Какова вероятность получения сообщения?

4.4 В группе 25 студентов: 4 отличника, 9 хорошистов, остальные - троечники. Вероятность получения оценки «отлично» на экзамене по математике для первых - 0,95, для хорошистов - 0,7, для троечников - 0,3. Какова вероятность того, что наудачу взятый студент получил на экзамене пятерку?

4.5 Из 1000 экземпляров однотипного товара 300 принадлежат первой партии, 500 - второй партии и 200 - третьей. В первой партии 6%, во второй 5% и в третьей 4% бракованного товара. Определить вероятность того, что наудачу выбранный экземпляр оказался стандартным.

4.6 В торговое предприятие поступают однотипные изделия из трех фирм-производителей: 30% с первой, 50% со второй, 20% с третьей. Среди изделий первой фирмы 80% первосортных, второй - 90%, третья фирма изготавливает 70% первосортных изделий. Куплено одно изделие. Оно оказалось не первосортным. Найти вероятность того, что оно изготовлено третьей фирмой.

4.7 В ящике три детали, причем равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей. В этот ящик брошена стандартная деталь. После чего, наудачу извлекается одна деталь. Найти вероятность того, что эта деталь окажется стандартной.

4.8 В урне 7 белых и 3 красных шара. Из урны удаляются два шара, о цвете которых неизвестно. После этого из урны извлекается один шар. Найти вероятность того, что этот шар красный.

4.9 На двух станках производятся одинаковые детали. Вероятность того, что деталь стандартная, для первого станка равна 0,8, для второго станка - 0,9. Производительность второго станка втрое больше, чем первого. Найти вероятность того, что взятая наудачу бракованная деталь сделана на первом станке.

4.10 В компьютерном классе институте 7 IBM типа Pentium и 5 компьютеров других модификаций. Вероятность сбоя в работе в течение учебного занятия для Pentium равна 0,9, для других компьютеров - 0,7. Студент на занятии работает за произвольно выбранным компьютером. Найти вероятность того, что в течении занятия его компьютер не «зависнет».

4.11 В забеге участвуют три спортсмена: первого, второго и третьего разрядов. Вероятности выполнения ими контрольного норматива соответственно равны: 0,6; 0,4; 0,2. Известно, что контрольный норматив выполнил один спортсмен. Какова вероятность того, что им окажется спортсмен первого разряда?

4.12 В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных; во втором - 30 деталей, из них 24 стандартных; в третьем - 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу выбранного ящика окажется стандартной.

4.13 В ящике восемь ламп, причем три из них из серии высокой надежности, пять малой надежности. Лампы первой серии ломаются с вероятностью 0,05, второй серии - 0,1. После испытания лампы выяснилось, что она сломалась. Какова вероятность, что эта лампа принадлежит к первой серии.

4.14 У рыбака есть три места рыбалки, которые он посещает с одинаковой вероятностью. Вероятность клева на первом месте - 1/3, на втором - 1/2, на третьем - 1/4. Рыбак забросил удочку в наудачу выбранном месте и рыбка клюнула. Найти вероятность того, что он удил рыбу на первом месте.

4.15 У сборщика имеется 80 деталей, 36 из которых изготовлены в первом цехе, 24 - во втором, 20 - в третьем. Вероятность того, что деталь, изготовленная в первом цехе стандартная равна 0,8, во втором - 0,6, в третьем- 0,8. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется стандартной?

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ОСНОВНЫЕ ИСТОЧНИКИ:

1. Башмаков М. И. Математика. Сборник задач профильной направленности : Учебное пособие для студентов учреждений среднего профессионального образования / М. И. Башмаков. - М.: Академия, 2013.

2. Григорьев С. Г. Математика. Учебник для студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования, изд. 9-е / С. Г. Григорьев, С. В. Иволгина, В. А. Гусев. - М.: Академия, 2013.

3. Гусев В.А. Математика для профессий и специальностей социально-экономического профиля / В. А. Гусев, С. В. Иволгина. - М.: Академия, 2011.

4. Курбатова Э. В. Математика. Учебное пособие, изд. 9-е. / Э. В. Курбатова, В. П. Омельченко. - Ростов на/Д.: Феникс, 2014

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ИСТОЧНИКИ:

5. Богомолов Н. В. Математика. Среднее профессиональное образование, 7-е изд., стереотипное / Н. В. Богомолов, П. Самойленко. - М.: Дрофа, 2010.

6. Богомолов Н. В. Сборник дидактических заданий по математике: учебное пособие для Ссузов, 3-е изд., стереотипное / Н. В. Богомолов. - М.: Дрофа, 2011.

7. Дадаян А. А. Сборник задач по математике : Учебное пособие. Гриф МО РФ / А. А Дадаян. - М.: Форум, 2013.

8. Колягин Ю. М. Математика. Книга 1: Учебник. Среднее профессиональное образование / Ю. М. Колягин, Г. Л. Луканкин, Г. Яковлев. - М.: ОНИКС 21 век, 2009.

9. Пехлецкий И. Д. Математика: Учебник для студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования. Гриф МО РФ / И. Д. Пехлецкий. - М.: Академия, 2013.