Урок геометрии по теме: 'Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника' в 8 классе

Синус, косинус и тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике

Цель урока: ввести понятия синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника и ознакомит с правилом нахождения катета и гипотенузы, закрепить полученные сведения.

Образовательные задачи урока:

• научить восьмиклассников находить неизвестные элементы, синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника;

• сформировать познавательный интерес у школьников через исследовательскую деятельность;

Развивающие задачи урока:

• развивать творческие способности, дифференцируя учебный материал на несколько уровней, прививать навык самообразовательной деятельности;

• развивать умение осуществлять культурную коммуникацию с учителем и со сверстниками;

Воспитательные задачи урока:

• развивать навыки контроля и самоконтроля, способность преодолевать трудности при решении учебной задачи

Тип урока: урок объяснения нового материала

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная

Оборудование: презентация Power Point,мультимедиа проектор, опорные листы.

Ход урока

1.Организационный момент:

Здравствуйте, ребята меня зовут Оксана Валентиновна, сегодня я буду вести у вас урок геометрии. По мнению Галилео Галилея: «Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать»

2.Актуализация знаний

Один мудрец сказал: «Высшее проявление духа - разум, высшее проявление разума - геометрия. Клетка геометрии - это треугольник, он так же неисчерпаем, как и Вселенная»

Сегодня мы продолжим с вами беседу о прямоугольном треугольнике, а какие именно понятия мы изучим, это вы мне сейчас подскажете. (Слайд1)

1.Разгадайте ребус. (Синус)

2.Решите кроссворд:

1.Сторона прямоугольного треугольника лежащая против острого угла. (Катет)

2.Часть прямой, ограниченная двумя точками. (Отрезок)

3.Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на две равные части.(Биссектриса)

4.Сумма длин всех сторон треугольника. (Периметр)

5.Отрезок, соединяющий противоположные вершины четырехугольника. (Диагональ)

6.Геометрическая фигура состоящая из точки и двух лучей, и сходящих из нее. (Угол)

7.Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника, к прямой, содержащей противоположную сторон. (Высота)

3.Разгадайте загадку.(Тангенс)

Совершенно верно, тема сегодняшнего урока: «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника» (Слайд 2) Откройте тетради и запишите число и тему урока.

Цель нашего урока: познакомиться с определением синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, основным тригонометрическим тождеством, научимся решать задачи, используя вновь приобретенные знания. Задача каждого провести небольшие исследования, выполнять определенные задания. Давайте делиться своими идеями, которые придут вам в голову, и не бойтесь ошибиться, ведь недаром народная мудрость гласит «не ошибается тот, кто ничего не делает».

Наверное, многие из вас задавались вопросом: Почему в геометрии особое внимание уделяется прямоугольному треугольнику, хотя не часто встречаются предметы подобной формы? (Слайд3)

Ответ на этот вопрос очень прост: Как в химии изучают вначале элементы, а затем - их соединения, в биологии - одноклеточные, а потом - многоклеточные организмы, так и в геометрии сначала изучают точки, отрезки и треугольники, из которых состоят другие геометрические фигуры. Прямоугольный треугольник играет особую роль, т.к. любой многоугольник можно разбить на треугольники, в свою очередь, любой треугольник можно разбить одной из его высот на два прямоугольных треугольника, элементы которых связаны более простой зависимостью.

3. Повторение ранее изученного:

Прежде чем мы приступим к изучению нового материала, давайте вспомним уже известные вам факты о прямоугольном треугольнике. У вас на партах лежат опорные листы, подпишите их и ответьте на вопросы для повторения

≈ через 1 мин меняемся листочками и сверяем с верными ответами на доске. (Слайд 4)

В графе количество верных ответов поставьте число соответствующее числу правильно выбранных вариантов ответа.

4.Изучение нового материла:
А Итак, ребята, давайте еще раз озвучим, какой треугольник . … …. называется прямоугольным?
Совершенно верно, это треугольник у которого один угол прямой.

b c А может ли быть у прямоугольного треугольника еще один прямой …… или тупой угол?

С а В А почему? Конечно, т. к. сумма углов треугольника = 180, значит сколько градусов приходится на оставшиеся два угла? Действительно, оба они острые.

Начертите прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С.

Назовите катеты и гипотенузу этого треугольника.

То есть гипотенуза АВ лежит напротив прямого угла С. Обозначим ее маленькой буквой с .

Назовите катет лежащий против острого угла В, его мы обозначим b, катет лежащий против острого угла А, его мы обозначим а.

Какой катет прилежит углу В? Да, катет а .

Какой катет прилежит углу А? Да, катет b.

Введем определение: Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

если нам нужно выразить из этих формул катет или гипотенузу мы воспользуемся свойством пропорции

Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

отсюда,

Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

отсюда,

Ребята, как вы видите, мы получили очень много формул, но этого не нужно страшиться, ведь зная определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, вы всегда сможете вывести все остальные формулы.

Таким образом мы с вами сегодня немного приоткрыли дверь нового для вас раздела математики - тригонометрии - науки, изучающей связи между сторонами и углами в треугольнике. Истоки тригонометрии уходят в далекую древность, когда у людей возникла потребность следить за небесными светилами и по этим наблюдениям вести календарь, рассчитывали сроки сева, время разлива рек; ориентировались в пути по звездам.

Физминутка

Ребята, сейчас мы с вами немного отдохнем, попрошу вас встать, закрыть глаза и закрытыми глазами нарисовать прямую сначала слева направо, а затем справа налево, теперь так же, не открывая глаз, нарисуйте ими прямоугольный треугольник один раз, еще один раз, а теперь окружность по часовой стрелке один раз, еще один, а теперь против часовой стрелке один раз, второй. Теперь откройте глаза сейчас вы увидите на экране некоторые утверждения, если они правильные нужно поднять руки высоко вверх и потянуться, если утверждения не верные поставить руки на пояс и повернитесь слева направо, справа налево.

(Слайд 5)

1.На экране изображен прямоугольный треугольник. (верно)

2.Прямой угол треугольника С (нет)

3.ВС гипотенуза треугольника (нет)

4. Катет АВ лежит напротив угла С.(верно)

5. Сумма углов треугольника равна 180 (верно)

Молодцы, садитесь.

А теперь давайте еще раз скажем (Слайд 6)

Чему равен синус угла А

Чему равен косинус угла А

Чему равен тангенс угла А

Найдем отношение синуса угла А к косинусу угла А

Какой можно сделать вывод? Да тангенс А = отношению синуса угла к его косинусу

+ основное тригонометрическое тождество его доказательство вы проведете дома. (Слайд 7)

И в заключении нашей темы стоит отметить, что если острый угол одного прямоугольного треугольника = острому углу другого, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны

5.Закрепление изученного материала:

Ребята, а теперь возьмите ваши опорные листы и переверните их, перед вами прямоугольный треугольник, запишите верные соотношения для синусов, косинусов и тангенсов острых углов.

≈ через1мин поменяйтесь листочками и проверьте верность решения и, указав количество правильных ответов (Слайд 8)

Далее на ваших опорных листах вы видите треугольник на клеточной основе, (Слайд 9) необходимо составить задачу к этому рисунку в рамках данной темы

Дан прямоугольный треугольник с прямым углом

А, найдите синусы, косинусы, тангенсы углов В и С, если известно, что его катеты равны 3 и 4.

Все ли данные у нас есть для решения задачи?

То есть неизвестна гипотенуза, как нам ее найти?

Верно, по теореме Пифагора, ну а потом, зная все необходимые элементы треугольника, найдем Sin, Cos и Tg.

Решение:

По Теореме Пифагора ВС²=АВ²+АС² Sin∟C = = = 0,6

ВС²=3²+4²

ВС²= 25 Cos∟C = = = 0,8

ВС= 5

Tg∟C = = = 0,75

Ответ: Sin∟C=0,6 ; Cos∟C=0,8 ; Tg∟C=0,75 .

6.Дополнительная работа

Далее на своих опорных листах вы видите задачи на готовых чертежах, задача 1уровня оценивается в 3балла, задача 2уровня в 4балла и задача 3 уровня в 5 баллов, проанализируйте, пожалуйста условие каждой задачи, выберите ту, одну из трех, которую вы можете решить и оформите ее решение тут же на листах, дано писать не нужно, только решение.

Уровень1 Уровень2 Уровень3

А Найти: E 5 F Найти: А Найти: Cos∟C; Tg∟C

8 10 Sin∟A, Sin∟F, ВН-высота,

Cos∟A, 13 Tg∟F. Н АС=17

С 6 В Tg∟B. D В С

Решение:

Уровень 1 Уровень2 Уровень3

Sin∟A===0,6 Sin∟F== Cos∟C= =

Cos∟A===0,8 Tg∟F=== Tg∟C==

По Теореме Пифагора

Tg∟B== DF²=DE²+EF^{2 BC====13}

DE²= DF² - EF² По Теореме Пифагора

DE²=169 - 25=144 AС²=АВ²+BС²

DE=12 АВ²= АС² - ВС²

АВ² =289 - 169 =64

АВ=8

7.Домашнее задание №591 (а, в),для тех, кто увлекается геометрией и хочет иметь более глубокие знания доказать основное тригонометрическое тождество и составить и решить задачу в рамках данной темы.

8. Подведение итогов:

Какие определения вы сегодня узнали?

Что показалось самым трудным?

Какой этап урока был самым интересным для вас?

Ребята, я благодарю вас за урок, вы сегодня очень хорошо поработали особенно я хотела бы отметить…….

С каким настроением вы уйдете с урока, нарисуйте соответствующий смайлик на своем опорном листе и сдайте его. Результат выполненной работы вы узнаете на следующем уроке.