Сабақ №1-2

Сабақтың тақырыбы: Қысқаша көбейту формулалары.

Анықтама: Екі өрнектің қосындысының квадраты мен айырмасының квадраты =бірінші мүшесінің квадраты қосу 2еселенген бірінші мүше мен екінші мүшенің көбейтіндісі қосу екінші мүшенің квадраты, яғни

(а±в)²=а²±2ав+в²

Мысалдар: 1. (х±у)²=х²±2ху+у²

1. (2а+9)²-а(4а+31)=4а²⁺36а+81-4а²-31а=5а+81

2. 51²=(50+1)²=50²+2*50*1+1²=2500+100+1=2601

3. 79²=(80-1)²=80²-2*80*1+1²=6400-160+1=6241

4. а²±2ав+в² = (а±в)²

Анықтама: Екі өрнектің айырмасының олардың қосындысына көбейтіндісі осы өрнектердің квадраттарының айырмасына тең: а²-в²=(а-в)(а+в)

№2 мысал:

1. (4-5а)(4+5а)=4²-(5а)²=16-25а²

2. (8+3х)(8-3х)=8²-(3х)²=64-9х²

3 (-m-7а)(7а-m)=(-1)(m+7a)(7a-m)=m²-49а²

Анықтама: Екі өрнектің кубтарының қосындысы осы өрнектердің қосындысын олардың айырмасының толмсыз квадратына көбейткенге тең.

а³+в³=(а+в)(а²-ав+в²)

а³-в³=(а-в)(а²+ав+в²)

Анықтама: Екі өрнектің қосындысының кубы бірінші өрнектің кубына, плюс бірінші өрнектің квадраты мен екінші өрнектің үш еселенген көбейтіндісіне, плюс бірінші өрнек пен екінші өрнектің квадратының үш еселенген көбейтіндісіне, плюс екінші өрнектің кубына тең болады. (а+в)³=а³+3а²в+3ав²+в³)

(а-в)³=а³-3а²в+3ав²-в³)

№1 Көпмүше түрінде жазыңыз:

а)_______________________________________________________

ә) __________________________________________________

б) ___________________________________________________

в) (3 - в)(в² + 3в +9 _________________________________________________

№2 өрнекті ықшамдаңыз:

а) (1 - )(1 + ) +5________________________________________________

ә) (2х - 3)(4х² + 6х + 9) + (х + 3)(х² - 3х + 9) ____________________________

__________________________________________________________________

№3 Есептеңіз:

а)

ә)

б)

Сабақ №3-4

Сабақтың тақырыбы: Алгебралық өрнектерді түрлендіру.

Анықтама: Құрамындағы барлық айнымалылардың мүмкін мәндері жиынында ақиқат болатын теңдікті теңбе-теңдік деп атайды. Өрнекті оған теңбе-тең өрнекпен алмастыруды теңбе-тең түрлендіру деп атайды.

Анықтама:

Бөлімдері әртүрлі рационал бөлшектерді қосу үшін оларды ортақ бөлімге келтіріп, сонан соң бөлімдері бірдей бөлшектер сияқты қосады:

Анықтама:

Бөлімдері әртүрлі рационал бөлшектерді қосу үшін оларды ортақ бөлімге келтіріп, сонан соң бөлімдері бірдей бөлшектер сияқты қосады:

Рационал өрнектерді теңбе-тең түрлендіру бөлшектерді қосу, азайту, көбейту және бөлу амалдары арқылы орындалады. Осы амалдарды қолдану арқылы алымы да бөлімі де көпмүшелер болатын бөлшек аламыз. Егер бірнеше түрлендіруле енгізу қажет болса, онда алдын ала қандай амалды орындау керектігін анықтап алған жөн. Мысалдар: 3ах², 2(х-2)(а²х-вх²)+сх,

Негізгі қасиеті:

№1 Сұрақтарға жауап беріңіз:

а) Бүтін өрнектер анықтама беріңіз: _______________________________

______________________________________________________________

ә)Бөлшек өрнектер анықтама беріңіз: ______________________________

______________________________________________________________

б)Алгебралық бөлшектер деп қандай бөлшекті айтады? __________________

__________________________________________________________________

в)Алгебралық бөлшектерге қандай амалдар қолданылады? _______________

__________________________________________________________________

№2 Бөлшектің мәнін табыңыз:

а) мұндағы _________________________________

__________________________________________________________________

_________________________________________________________________

ә) мұндағы _________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

б) екендігін ескеріп, өрнегінің мәнін табыңыз.

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

№3 Бөлшекті қысқартыңыз:

№4 Көбейтуді орындаңыз:

№5 Қосуды орындаңыз:

№6 Амалдарды орындаңыз:

Сабақ №5-6

Сабақтың тақырыбы: Пропорцияның қасиеттері .

Анықтама:Екі санның бөліндісі сол сандардың қатынасы деп аталады.

a:b=c:d немесе a/b=c/d

a, d - пропорцияның шеткі мүшелері

b, c - пропорцияның ортаңғы мүшелері

Егер берілген қатынастың алдыңғы мүшесін соңғы мүше етіп, ал соңғы мүшесін алдыңғы мүше етіп, орындарын ауыстырып жазссақ, онда берілген қатынасқа кері қатынас шығады.

Қатынастың екі мүшесін де нөлден өзге бірдей санға көбейтсек немесе бөлсек, берілген қатынасқа тең қатынас шығады.

1. a×d=b×c

2. a:b=x:d, x= a×d/b

3. x:b=c:d, x= b×c/d

№1 Пропорцияның белгісіз мүшесін аңықтаңыз:

1. а)

5. ә)

9. б)

13. в)

16. г)

20. №2 Теңдеуді шешіңіз:

21. а)

25. ә)

30. б)

35. в)

40. г)

47. Сабақ №7-8

48. Сабақтың тақырыбы: Дәреже және түбір.

50. Натурал көрсеткішті дәреже

51. Анықтама. Егер а кез-келген сан 6 ал n 1-ден үлкен натурал сан болса, онда а*а*а*...а көбейтіндісін а-санының n-ші дәрежесі деп атайды да, оны аⁿ - арқылы белгілейді.

52. a - негізі, n - дәреже көрсеткіші.

53. а¹=а

54. Негізгі қасиеттері:

55. 1º. 1). a^n+m = a ⁿ ⋅ a ^m

56. 2). (aⁿ)^m= a ^n⋅m

57. 3). = a ^-n (a ≠ 0)

58. 4). = a ^n-m (a ≠ 0)

59. Дербес жағдай: a ⁰ = 1 (a ≠ 0).

60. n - ші дәрежелі түбір шартын қанағаттандыратын x саны a санының n -ші дәрежелі түбірі деп аталады. Белгілеуі: .

61. Теріс емес санның n-ші дәрежелі теріс емес түбірі арифметикалық түбір деп аталады:

62. Арифметикалық квадрат түбірлері бар өрнектерді түрлендіру барысында квадрат түбірдің қасиеттері қолданылады. Ол қасиеттерді теоремалар арқылы берейік.

63. 1-теорема. Егер а≥0 және в≥0 болса, онда

65. (көбейтіндіден арифметикалық квадрат түбір табу үшін әрбір көбейткіштен жеке түбір тауып, нәтижелерін көбейту керек.

66. 2-теорема. Егер а≥0 және в>0 болса, онда

68. 3-теорема. Кез келген х үшін

70. теңдігі орындалады.

71. 4-теорема. Егер х≥0 және п натурал сан болса, онда

73. 1-анықтама.Оң а санының рационал көрсеткішті дәрежесі деп санынан алынған -ші дәрежелі түбірдің мәнін айтады.

74. =

75. а^m/n×a^p/q=a^{m/n +p/q}

76. a ^m/n÷ a ^p/q= a^m/n-p/q

77. aⁿ÷aⁿ=a^n-n=a⁰=1

78. (а^m/n)^p/q=a^{m/n *p/q}

79. (a*b) ^m/n× =a^{m/n *}b^m/n

80. №1 Есептеңіз:

1. а)

3. ә)

5. б)

8. в)

11. г)

14. №2 Амалдарды орындаңыз:

15. а)

19. ә)

23. б)

28. в)

30. №3 Түбірді тауып, оның болғандағы мәнін есептеңіз:

38. №4 Өрнекті ықшамдаңыз:

40. а)

42. ә)

45. б)

48. № 9-10

49. Сабақтың тақырыбы: Күрделі түбір формуласы.

51. Түбірлерді түрлендірудің күрделі түбір формуласы .
    
    
    
    ;
    
    Дәлелдеу үшін теңдіктің екі жағын да квадраттаймыз.
    
    
    
    Егер а²-в өрнегі толық квадрат болса, ол түрлендіру мен есептеуді оңайлатары рас.
    
    
    
    Мысалы: ;
    
    
    
    Кейде а²-в өрнегі толық квадрат болмағанның өзінде де күрделі түбір формуласы пайдалы.
    
    
    
    Мысалы:
    
    
    
    
    
    
    
    Сонда,
    
    
    
    ;
    
    №1 Есептеңіз:

52. а)

55. ә)

59. №2 Бөлімдегі иррационалдықтан құтылыңыз:

60. а)

66. ә)

70. б)

74. в)

78. г)

82. №3 Бөлшекті қысқартыңыз:

87. №11,12

89. Сабақтың тақырыбы: Тізбектер. Арифметикалық және геометриялық прогрессия
    
    Арифметикалық прогрессия

90. Анықтама: Бірінші мүшесі a₁, екінші мүшесі a₂ = a₁ + d, үшінші мүшесі a₃ = a₂ + d ,…, n-ші мүшесі a_n = a_{n -1} + d болатын сандар тізбегі арифметикалық прогрессия деп аталады.

91. Мұндағы d -тұрақты сан.

92. Мысалдар.

93. a). 1, 2, 3,… сандар тізбегі арифметикалық прогрессияны құрайды.

94. Бұнда a₁=1, a₂=2, a₃=3, d=1. Шынымен де a₁=1, a₂=a₁+1=1+1=2, a₃=a₂+1=2+1=3.

95. Бұл прогрессияның жалпы заңдылығы a_n=a_n-1+1.

96. b). 4, 7, 10, 13,… сандар тізбегі арифметикалық прогрессияны құрайды.

97. Бұнда a₁=4, a₂=7, a₃=10, a₄=13, d=3. Шынымен де a₁=4, a₂=a₁+3=4+3=7, a₃=a₂+3=7+3=10, a₄=a₃+3=10+3=13.

98. Бұл прогрессияның жалпы заңдылығы a_n=a_n-1+3.

99. Арифметикалық прогрессия мүшелерінің қасиеттері:

100. a). a_n=a₁+d·(n-1)

101. b). a_n=

102. c). a_n=, k

103. S_n символымен арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысын белгілейік.

104. Яғни S_n=a₁+a₂+…+a_n

105. Мысалы.

106. Жоғарыдағы 4, 7, 10, 13,… арифметикалық прогрессия үшін S₁=4, S₂=4+7=11, S₃=4+7+10=21.

107. Тұжырым.

108. S_n= · n немесе S_n= · n

109. Геометриялық прогрессия

110. Анықтама: Бірінші мүшесі b₁, екінші мүшесі b₂ = b₁ · q, үшінші мүшесі b₃ = b₂ · q ,…, n-ші мүшесі

111. b_n=b_{n -1} · q болатын сандар тізбегі геометрикалық прогрессия деп аталады.

112. Мұндағы q -тұрақты сан.

113. Мысалдар.

114. a). 1, 2, 4,… сандар тізбегі геометрикалық прогрессияны құрайды.

115. Бұнда b₁=1, b₂=2, b₃=4, q=2. Шынымен де b₁=1, b₂=b₁·q=2 · 1=2, b₃=b₂·q =2 · 2=4.

116. Бұл прогрессияның жалпы заңдылығы b_n=b_n-1 · 2.

117. b). 3, 3/10, 3/100,… сандар тізбегі геометрикалық прогрессияны құрайды.

118. Бұнда b₁=3, b₂=3/10, b₃=3/100, q=1/10. Шынымен де b₁=3, b₂=b₁ ·q=3 · 1/10=3/10, b₃=b₂ ·q=3/10·1/10=3/100.

119. Бұл прогрессияның жалпы заңдылығы b_n=b_n-1·1/10.

120. Геометрикалық прогрессия мүшелерінің қасиеттері:

121. a). b_n²=b_n-1·b_n+1

122. b). b_n²=b_n-k·b_n+k , k ≤ n

123. S_n символымен геометрикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысын белгілейік.

124. Яғни S_n=b₁+b₂+…+b_n

125. Мысалы.

126. Жоғарыдағы 1, 2, 4,… геометрикалық прогрессия үшін S₁=1, S₂=1+2=3, S₃=1+2+4=7.

127. Тұжырым.

128. S_n=

129. Егер |q|<1 болса онда S==b₁+b₂+…+b_n+…+ шегі бар болады әрі

131. № 1 { a_n}- арифметикалық прогрессия,

132. a). 1, 2, 3,… прогрессиясының S₅, S₁₀ -ді есептеніз;

139. b). a₁=3, a₂=10, a₃=17 болса S₁₀ неге тең?

146. №2 { в_n}- геометриялық прогрессия,

147. a). 6, 12, 24,… прогрессиясының S₂, S₄ -ді есептеніз;

155. b). b₁=3, b₂=9, b₃=27 болса S₄ неге тең?

160. №3

161. а) a_n=n²формуласымен берілген {a_n} тізбегінің алғашқы 5 мүшесін табыңдар

162. ә)Прогрессияның алғашқы бес мүшесін табыңдар, егер a₁=-2; d=3

163. №3 { a_n}- арифметикалық прогрессия, егер a₁₁=6; a₁₆=8,5; d -ны табыңдар.

164. №4 3; 6; … тізбегі - геометриялық прогрессия. S_{6 .}табыңыз.

165. 5 Кестені толтырыңыз:

167. № 13-14

168. Сабақтың тақырыбы: Квадрат теңдеулер және теңсіздіктер.

170. Анықтама. ах²+вх+с=0 (1)

171. түрінде берілген теңдеу квадрат теңдеу деп аталады.

172. Мұндағы а, в, с - нақты сандар және а≠0, ал х - айнымалы

173. а - бірінші коэффициент, в - екінші коэффициент, с - бос мүше.

174. Егер в≠0 және с≠0 болса, онда ол теңдеу толық квадрат теңдеу деп аталады.

175. Мысалы, х²-2х-1=0; 3х²-8х+5=0; 2,1х²+102,3х+0,8=0 толық квадрат теңдеулер.

176. в немесе с, немесе в мен с нөлге тең болатын дербес жағдайлардағы квадрат теңдеу толымсыз квадрат теңдеу деп аталады.

177. Толымсыз квадрат теңдеулер былай жазылады:

     1. ах²+вх=0 (мұндағы с=0)

     2. ах²+с=0 (мұндағы в=0)

     3. ах²=0 (мұндағы в=0, с=0)

     218. Егер толық квадрат теңдеудегі бірінші коэффициент 1-ге тең (а=1) болса, онда ол келтірілген квадрат теңдеу деп аталады. Келтірілген квадрат теңдеу

     219. х²+px+q=0

     220. түрінде жазылады. Мұндағы p және q - кез келген нақты сандар.

     221. Кез келген (1) түріндегі теңдеуді келтірілген квадрат теңдеуге түрлендіруге болады. Ол үшін теңдеудің екі жақ бөлігін а-ға бөлсе жеткілікті.

     222. ах²+вх+с=0, мұндағы а≠0

     223. х_1/2=

     224. в²-4ас өрнегі квадрат теңдеудің дискриминанты деп аталады және D әрпімен белгіленеді.

     225. Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласының оқылуы: квадрат теңдеудің түбірлері бөлімі екі еселенген бірінші коэффициенттен, ал алымы қарама-қарсы таңбамен алынған екінші коэффициент плюс пен минус дискриминанттың түбірінен тұратын бөлшекке тең.

     226. Квадрат теңдеудің түбірлер саны дискриминанттың мәніне байланысты. Бұл жерде үш жағдайды қарастырамыз:

     227. 1) дискриминант оң болса (D>0) , квадрат теңдеудің әр түрлі екі түбірі бар. Ол түбірлер

     228. х_1/2= формуласымен анықталады;

     229. 2) дискриминант нөлге тең болса (D=0), онда квадрат теңдеудің бір-біріне тең екі түбірі бар. Бұл жағдайда теңдеудің бір түбірі бар деп есептелініп, ол түбір х=- формуласымен табылады;

     230. 3) дискриминант теріс сан болса (D<0), квадрат теңдеудің түбірі болмайды.

     231. 2х²+3х-5=0 25х²-10х+1=0 9х²-3х+2=0

     232. D=3²+4*2*5 =49 D=(-10)²-4*25*1 =0 D=(-3)²-4*9*2 =-63

     233. х_1/2==1;- х= түбірі жоқ

     235. Кейбір жағдайларда квадрат теңдеудің в екінші коэффициенті жұп сан, яғни в=2п, мұндағы п бүтін сан болуы мүмкін. Ондай кезде квадрат теңдеудің түбірлерін х_1/2=

     236. формулаға қарағанда қарапайым формула арқылы анықтауға болады.

     237. х_1/2= шығады.

     238. х_1/2=

     239. 5х²-8х-4=0 в=-8 в=2*(-4)

     240. х_1/2=

     241. а-ның қандай мәнінде 3х²-2х-а=0 теңдеуінің түбірлері болмайды?

     242. Квадрат теңдеудің түбірлер санын анықтау дискриминантқа байланысты. Дискриминант нөлден кіші болғанда, квадрат теңдеудің түбірлері болмайтыны белгілі. Сондықтан дискриминантты анықтайық.

     243. D=2²+4*3*а=4+12а шыққан өрнек нөлден кіші болуы керек, ол үшін 4+12а<0 теңсіздігін шешеміз. Сонда а<. а

     244. Теорема. Келтірілген квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы қарама-қарсы таңбамен алынған екінші коэффициентке, ал көбейтінділері бос мүшеге тең.

     245. Теорема бойынша х₁+х₂=-р; х₁*х₂ = q.

     246. Бұл теорема Виет теоремасы деп аталады.

     247. 1-мысал: х²-8х+15=0 х₁+х₂=8 х₁*х₂ = 15 3+5 =8 3*5=15 х₁=3 х₂=5

     248. Теорема. (Виет теоремасына кері теорема). Егер екі санның қосындысы -р-ға, ал олардың көбейтіндісі q-ға тең болса, онда ол сандар х²+рх+q=0 теңдеуінің түбірлері болады.

     249. Анықтама. ах²+вх+с>0, ах²+вх+с<0, ах²+вх+с≥0, ах²+вх+с≤0 түріндегі теңсіздіктер квадрат теңсіздіктер деп аталады.

     250. Мұндағы а, в, с - нақты сандар және а≠0, х - айнымалы.

     251. Квадрат теңсіздікті шешу үшін ах²+вх+с квадрат үшмүшесінің таңбасы қалай өзгеретінін білу қажет.

     252. Квадрат теңсіздік парабола немесе интервалдар әдісі арқылы шешіледі.

     253. х-тің кез келген мәнінде ах²+вх+с квадрат үшмүшесінің таңбасы қалай өзгеретінін анықтайық.

     254. Ол үшін бірінші коэффициент және дискриминант таңбаларына байланысты квадрат үшмүше графиктерінің орналасуын қарастырайық.

     255. І жағдай. 1) а>0 және Д>0.

     256. Бұл жағдайда квадрат үшмүшенің х₁ және х₂ екі нақты түбірі болады. у=ах²+вх+с квадраттық функциясының графигі абсцисса осін х₁ және х₂ нүктелерінде қияды, парабола тармақтары жоғары бағытталған. Нақтылық үшін х₁<х₂ деп алайық. Егер х<х₁ немесе х>х₂ болғанда, ах²+вх+с>0 және х₁<х<х₂ болғанда, ах²+вх+с<0 болады.

     257. 

     259. 2) а<0 және Д>0.

     260. Бұл жағдайдың 1) пункттен айырмашылығы - парабола тармақтарының төмен бағытталғанында. Демек, х<х₁ және х>х₂ болғанда, ах²+вх+с<0 және х₁<х<х₂ болғанда, ах²+вх+с>0 теңсіздігі орындалады.

     261. 

     262. Квадрат үшмүшенің екі нақты және әр түрлі х₁ мен х₂ (х₂>х₁) түбірлері болса, онда (х₁;х₂) аралығына тиісті емес х-тің мәндерінде квадрат үшмүшенің таңбасы бірінші коэффициенттің таңбасымен бірдей; (х₁;х₂) аралығына тиісті х-тің мәндерінде квадрат үшмүшенің таңбасы бірінші коэффициенттің таңбасына қарама-қарсы.

     263. ІІ жағдай. 1) а>0 және Д=0.

     264. Бұл жағдайда квадрат үшмүшенің екі бірдей түбірі бар және х₁=х₂=.

     265. у=ах²+вх+с функциясының графигі абсцисса осін х= нүктесінде жанайды және Ох осінен

     266. жоғары орналасқан. Сондықтан ах²+вх+с>0 теңсіздігі х-тің х= мәнінен басқа кез келген мәнінде орындалады. Ал ах²+вх+с<0 теңсіздігінің шешімі болмайды.

     267. 2) а<0 және Д=0.

     268. Бұл жағдайда у=ах²+вх+с функциясының графигі абсцисса осін х= нүктесінде жанайды, бірақ Ох осінен төмен орналасқан. Сондықтан ах²+вх+с<0 теңсіздігі х-тің х= мәнінен басқа кез келген мәнінде орындалады. Ал ах²+вх+с>0 теңсіздігінің шешімі болмайды.

     269. 

     270. Квадрат үшмүшенің түбірлері нақты және өзара тең болса (х₁=х₂=), онда х-тің кез келген х≠ мәнінде квадрат үшмүшенің таңбасы бірінші коэффициенттің таңбасымен бірдей.

     271. ІІІ жағдай. 1) а>0 және Д<0.

     272. Бұл жағдайда квадрат үшмүшенің нақты түбірлері жоқ және у=ах²+вх+с функциясының графигі Ох осінен жоғары орналасқан, яғни абсцисса осімен қиылыспайды.

     273. Сондықтан ах²+вх+с>0 теісіздігіх-тің кез келген мәнінде орындалады, ал ах²+вх+с<0 теңсіздігінің шешімі болмайды.

     274. 2) а<0 және Д<0.

     275. Бұл жағдайда да квадрат үшмүшенің түбірі жоқ, бірақ у=ах²+вх+с функциясының графигі Ох осінен төмен орналасқан, абсцисса осімен қиылыспайды. Демек, ах²+вх+с<0 теісіздігі х-тің кез келген мәнінде орындалады, ал ах²+вх+с>0 теңсіздігінің шешімі болмайды.

     276. 

     277. Квадрат үшмүшенің нақты түбірлері болмаса, онда х-тің кез келген мәнінде ах²+вх+с квадрат үшмүшесінің таңбасы бірінші коэффициенттің таңбасымен бірдей, яғни а>0 болғанда, х-тің кез келген мәнінде квадрат үшмүшенің мәні оң, ал а<0 болғанда, х-тің кез келген мәнінде квадрат үшмүшенің мәні теріс.

     278. 1-мысал. 2х²-5х-3>0

     279. Теңсіздікті шешу үшін бірінші коэффициент пен дискриминантты анықтаймыз.

     280. а=2 және Д=49, демек, бұл а>0 және Д>0 жағдайына келеді.

     281. Енді квадрат үшмүшенің түбірлерін есептейік. Ол үшін 2х²-5х-3=0 теңдеуін шешеміз.

     282. х₁=-1/2 және х₂=3

     283. у=2х²-5х-3 функциясының графигі болатын парабола Ох осін -1/2 және 3 нүктелерінде қияды, ал тармақтары жоғары бағытталған, өйткені а=2>0.

     284. Сонда І жағдайдың тұжырымына сәйкес 2х²-5х-3>0 теңсіздігінің шешімі х<-1/2 және х>3 аралықтарына тиісті кез келген х саны болады.

     286. Жауабы: (-∞; -1/2) және (3; +∞)

     287. 2-мысал. -х²+х-1>0

     288. Квадрат үшмүшенің берілуі бойынша а=-1 және Д=-3, яғни а<0 және Д<0. ІІІ жағдайға сәйкес х-тің кез клеген мәнінде квадрат үшмүшенің таңбасы бірінші коэффициенттің таңбасымен бірдей болғандықтан, у=-х²+х-1 квадрат үшмүшесінің мәні теріс болады.

     289. Жауабы: шешімі жоқ.

     290. 3-мысал. 5х²-8х+3≤2х²+4х+5

     291. Алдымен берілген теңсіздікті түрлендіру арқылы 3х²-12х-2≤0 теңсіздігін аламыз. Енді 3х²-12х-2=0 теңдеуін шешу арқылы квадрат үшмүшенің түбірлерін табамыз.

     292. х₁= . Квадрат үшмүшенің екі түбірі бар және бірінші коэффициент нөлден үлкен.

     293. Жауабы: []

     294. 4-мысал. 5х²-8х+20<0

     295. Берілген квадрат үшмүше бойынша а=5 және Д=-336. Демек, 5х²-8х+20 квадрат үшмүшесінің таңбасы х-тің кез келген мәнінде бірінші коэффициент таңбасымен бірдей, яғни оң болады. Онда ІІІ жағдайға сәйкес берілген теңсіздіктің шешімі болмайды.

     296. Жауабы: шешімі жоқ.

     297. 5-мысал. х²-8х+15>0

     298. Мұнда а=1>0, Д=4>0. Демек, квадрат теңдеудің х₁=3 және х₂=5 екі түбірі бар. Сондықтан квадрат үшмүшені көбейткіштерге жіктеуге болады, яғни х²-8х+15=(х-3)(х-5). Сонда берілген теңсіздікті шешу (х-3)(х-5)>0 теңсіздігін шешуге әкеледі. Соңғы теңсіздік екі жағдайда орындалады.

     1. х-3>0, 2) х-3<0,

     299. яғни х>5 яғни х<3

     300. х-5>0, х-5<0,

     301. Бірінші жүйенің шешімі х>5, ал екінші жүйенің шешімі х<3. Демек, берілген теңсіздік х-тің 3-тен кіші және 5-тен үлкен мәндерінде орындалады.

     302. Жауабы: (-∞;3) (5; +∞)

     303. 6-мысал. (х-2)²<1

     304. (х-2)²<1 теңсіздігінен |x-2|<1 теңсіздігін аламыз. Онда модульдің анықтамасы бойынша -1<х-2<1 немесе 1<х<3 шығады.

     305. Берілген теңсіздік (1; 3) аралығына тиісті х-тің мәндерінде ғана орындалады.

     306. №1 Теңдеуді шешіңіз:

     307. а)12х² + 5х - 3 = 0

     315. ә)х² - х - 20 = 0;

     321. б)2(3 - 2х)² - (2х - 5)(2х + 5) = 0

     329. в)х² +8х = х² + 4

     335. г) х - (х - 32 + 2х²) = 0

     342. д) 3х² + 7 = 2х + 7

     350. ж) (х - 5)² - х² = 3

     359. №2 Теңсіздікті шешіңіз:

     360. а)1 -2у + у² > 0

     368. ә)(с - 1)² < 0

     375. б)

     377. в)

     386. г)х² > 2х -3

     395. №15-16

     397. Сабақтың тақырыбы: Туынды және оны қолдану

     398. Анықтама:

     399. х₂ - х₁ айырымын аргументтің х₁ нүктесіндегі өсімшесі д.а.

     401. - функция өсімшесі

     403. () ^,2х, ^, ,

     404. Туындыны табу ережелері

     410. () ^,2х, ^, ,

     411. функцияның графигіне жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті.

     412. жанаманың теңдеуі. Лагранж формуласы.

     414. Күрделі функцияның жалпы түрі: y=f(g(x))

     416. Тригонометриялық функциялардың туындысы

     417. = - sin x

     418. = cos x

     419. =

     421. =

     422. Күрделі функциялар: y = cos4 x, = - 4sin 4x

     424. f(x) +

     427. Мысалы: = 0,99

     428. №1 Берілген функциялардың туындысын табыңыздар:

     430. 1.

     431. 2.

     432. 3.

     433. 4.

     434. 5.

     435. 6.

     436. 7.

     437. 8.

     438. 9.

     439. 10.

     442. №2 Функцияның туындысын табыңдар:

     443. а) f(x) =

     446. ә) f(x) =

     450. б) f(x) = -

     454. №3 Жанаманың теңдеуін жаз:

     455. а) y = 8x + болса,

     462. ә) y = болса,

     469. №4 Теңдеуді шеш:

     470. а)f(x) = ,

     479. f(x) = ,

     487. №5 Функцияның туындысын тап:

     497. №17-18

     498. Сабақтың тақырыбы: Жұп, тақ функциялар

     499. Анықтамалар:

     500. Тақ функция - анықталу аймағы нөлге қатысты симметриялы болатын және f(-x)=-f(x) теңдігін қанағаттандыратын f(x) функциясы.

     501. Жұп функция - өзінің анықталу облысындағы барлық х үшін f(-x)=f(x) шартын қанағаттандыратын f(x) функциясы. Жұп функцияның анықталу облысы x=0 нүктесіне қарағанда симметриялы болады. Мысалы, x2, cosx, ln|x| Жұп функцияға жатады. Жұп функцияның графигі ордината осіне қарағанда симметриялы болып орналасады. Жұп функцияның қосындысы, айырмасы, көбейтіндісі, сондай-ақ, бөліндісі де Жұп функция</ болады; қ. Тақ функция.

     502. 

     503. -тақ функция -жұп функция тақ функция

     504. 

     505. , нежұп, нетақта емес

     507. №1 Сөйлемді толықтырыңыз:

     508. а) «Егер функциясының анықталу облысы ... қарағанда симетриялық болса және х аргументтің кез келген мәні үшін ... теңдігі тура болса, ол жұп функция деп аталалады».

     510. ә) «Егер функциясының анықталу облысы ... қарағанда симетриялық болса және аргументтің кез келген мәні үшін ... теңдігі тура болса, ол тақ функция деп аталалады»

     511. б) «Кез келген жұп функцияның графигі ... қарағанда симетриялы».

     512. в) «Кез-келген тақ функцияның графигі ... ... қатысты симетриялы».

     514. №2 Берілген функцияның жүп немесе тақтылығын анықтаңыз:

     515. а)

     519. ә)

     523. б)

     527. в)

     531. г)

     536. №3 Функциясының ең кіші оң периодын табыңыз:

     537. а)

     540. ә)

     543. б)

     547. в)

     551. г)

     555. №4 функциясының периоды -ке тең. табыңыз.

     23