Урок в 10 классе 'Функция y=arccos x' по алгебре и началам анализа, профильный уровень, автор А. Г. Мордкович

Урок в 10 классе «Функция y=arccos x».

Алгебра и начала анализа, профильный уровень, автор А. Г. Мордкович

Разработала учитель математики МБОУ Суземской СОШ №2 Романенкова В. М.

Цель урока:

1) ввести определение функции y=arccos x.

2) рассмотреть свойства функции y= arccos x.

3) ввести определение арккосинуса числа и его свойства.

Ход урока.

1. Мотивация урока.

Сегодня на уроке мы познакомимся с ещё одним видом обратных тригонометрических функций.

Какую обратную функцию изучим? y=arccos x.

2. Актуализация значений по функции y=cos x и её свойствам и теореме об обратной функции.

На экране график функции y=cos x

1) График какой функции на экране? y=cos x

2) Вспомните свойство монотонности функции y=cos x.

Функция y=cos x монотонно возрастает на [-π; 0], монотонно убывает на [0; π], монотонно возрастает на [π; 2π] и т.д. и принимает все значения от -1 до 1.

3) Что мы имеем по теореме об обратной функции?

Если функция y=f(x) монотонна на множестве x, то она обратима.

3. Введение определения функции y=arccos x (абстрактно-дедуктивный метод).

На каждом из промежутков функция y=cos x имеет обратную функцию. Среди них предпочтение отдают одной функции, обратной к функции y=cos x, x∈[0; π]. Её обозначают x=arccos y. Поменяв местами x и y, пишут: y=arccos x.

Итак: y=arccos x - это функция, обратная к функции y=cos x, x∈[0; π].

4) Вспомните, как получить график функции y=f^-1(x), обратной по отношению к функции y=f(x)?

Надо график функции y=f(x) преобразовать симметрично относительно прямой y=x.

5) Постройте в тетрадях график функции y=cos x на [0; π], симметрично отобразите его относительно прямой y=x и вы получите график функции y=arccos x, x∈[0; π].

На экране появляется образец построения.

4. Свойства функции.

Продолжите самостоятельно заполнение таблицы, которую начали на прошлом уроке.

Внесите в таблицу самостоятельно свойства функции y=arccos x.

D(f)

E(f)

нечётная, чётная

возрастает, убывает

непрерывность

y=arcsin x x∈[-π/2; π/2]

[-1;1]

[-π/2; π/2]

нечётная

возрастает

непрерывна

y=arccos x x∈[0; π]

[-1;1]

[0; π]

ни чётная, ни нечётная

убывает

непрерывна

y=arctg x x∈(-π/2; π/2)

y=arcctg x x∈(0; π)

На экране образец заполнения таблицы.

5. Формирование понятия арккосинуса числа.

Осуществим переход от функции y=arccos x, x∈[0; π] к понятию арккосинуса числа.

На экране запись: y=arccos x, x=cos y, 0≤y≤ π

cos(arccos x)=x, 0≤arccos x≤ π

Что называется arccos a?

Если |a|≤1, то arccos a - это такое число из отрезка [0; π], косинус которого равен a.

6. Введите понятие arccos a. На экране:

На экране геометрическая иллюстрация.

если |a|≤1, то

arccos a=t<=>{cos t=a, 0≤t≤ π

cos (arccos a) =a.

7. Свойство arccos a.

Для любого a∈[-1;1] верно arccos a + arccos (-a) = π.

Доказательство

Пусть a>0.

На чертеже: arccos a - длина дуги AM; arccos (-a) - длина дуги AP. Дуги AM и PC симметричны относительно вертикального диаметра окружности, значит, длины этих дуг равны.

arccos a + arccos (-a) = AM + AP = PC + AP = AC = π;

arccos (-a) = π - arccos a, где 0≤a≤1

8. Усвоение определений.

Задания на «да» и «нет» на доске.

условие

arccos a=t

|a|≤1

cos t=a

0≤t≤π

Вывод

arccos 1/2= π/3

+

+

+

да

arccos (-√2/2)=3π/4

+

+

+

да

arccos 0=π

+

-

+

нет

arccos 1=0

+

+

+

да

Подведение итогов.

С какими новыми понятиями вы сегодня познакомились?

Дайте определение функции y=arccos x, x∈[0; π]

Что вы узнали о функции y=arccos x?

С какими ещё новыми понятиями вы познакомились?

Дайте определение arccos a. (повторяются существенные признаки).

9. Закрепление понятий функции y=arccos x и арккосинуса числа.

Два ученика вызываются к доске. Один решает №21.21 (а; б), второй №21.15 (а; б). Устно №21.22.

10. Подведение итогов урока.

Что нового узнали?

Задание на дом. 21 п. 2 №21.21 (в; г), №21.15 (в; г), №

Урок в 10 классе.

Тема: " Уравнение касательной к графику функции".

Алгебра и начала анализа (профильный уровень) ; автор А. Г. Мордкович.

Разработала учитель математики МБОУ Суземской СОШ №2 Романенкова В. М.

Цель:

1. Научиться составлять уравнение касательной к графику функции.

2. Научиться применять уравнение касательной в нестандартной ситуации.

А.

Тип урока: совершенствование умений.

Ход урока.

1. Введение алгоритма.

1. Сегодня на уроке мы продолжим изучать тему «уравнение касательной к графику функции».

2. Напишите на доске уравнение касательной y=f(a)+f '(a)(x-a).

Задание и образец решения на доске.

Составьте уравнение касательной к графику функции y=tg x в точке х=а.

Решение:

1. X=a ;

2. F(a)=tg a ;

3. F '(x)= ;

4. F '(a)=;

5. y=tg a().

Чтобы быстро и верно составить уравнение касательной мы выполняем шаги.

1. Что мы делаем в начале?

Находим абсциссу точки касания;

2. Что делаем потом?

Находим f(a);

3. Что делаем дальше?

Находим f '(x);

4. Затем?

Находим f '(a);

5. И как составляли уравнение?

Подставили найденные выражения а; f(x) и f '(a) в формулу y=f(a)+f ' (a)(x-a).

Составьте самостоятельно алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y=f(x).

Алгоритм составления касательной к графику функции:

1. Найти абсциссу f(x) точки касания: a.

2. Вычислить f(a);

3. Найти f '(x);

4. Вычислить f'(a);

5. Подставить найденные числа a; f(a) и f '(a) в формулу y=f(a)=f '(a)(x-a)

2. Усвоение алгоритма.

На доске таблица:

Примеры

Шаг 1 a

Шаг 2 f(a)

Шаг 3 f '(x)

Шаг 4 f '(a)

Ответ

F(x)=x; a=3

3↓

9↓

2x↓

6

Y=9+6(x-3)

F(x)=x; a=1

1

1

3x

3

Y=1+3(x-1)

F(x)=2-x-x; a=0

0

2

-1-3x

-1

Y=2-(x-0)

F(x)=x-3x+5;

a=1

-1

7

2x-3

-5

Y=7-5(x+1)

F(x)=sin2x; a=

1

2cos2x

0

Y=1+0(x-)

F(x)=; a=2

2

4

7

Y=4+7(x-2)

F(x)=cos; a=0

0

1

-sin3x

0

Y=1+0(x-0)

1. Учащиеся самостоятельно заполняют 1-й столбик. Этот шаг проговаривается вслух. После данного шага проверка на экране.

2. Затем заполняют 2-й столбик. Второй шаг проговаривается вслух и т.д.

3. Закрепление умения.

Разработать пример 2.

К графику функции y= провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой у=4х-5.

Решение:

1. Найдем абсциссу точки касания;

2. K=4 , так как искомая касательная параллельна прямой y=4x-5;

3. K=f '(a) , значит f '(a)=4;

4. F '(x)=x;

5. x=4 , т.е. а=4; a=2; a=-2;

6. f (a)=; f(a)=;

7. f '(a)= f '(a)=4;

8. y=; y=4x-;

y=-+4(x+2); y=4x+.

Ответ : y=4x-; y=4x+.

Помогают учащиеся № 43.4 (а; б); 43.6 (а; б);

№ 43.7 (а; б); 43.29 (а; б);

№ 43.30 (а; б); 43.31 (а; б).

4. Самостоятельная работа (обучающая).

1В. 2В.

№43.3 (а); №43.3 (б); Решения на

№43.5 (а); №43.5 (б); обратной стороне

№43.8 (а); №43.8 (б); доски.

№43.15 (а); №43.15 (б);

Домашнее задание: §43; №43.3 (в; г); 43.4(в; г); 43.5 (в; г); 43.14 (в; г); 43. 29(в; г); 43.30 (в; г); 43.31 (в; г).

5. Подведение итогов. Что узнали на уроке? Чему научились? Где можно применить?